041_Compare_Matrix_Squre_Sum_in_MATLAB中矩阵平方和的比较
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/b4cac37d709d49ed8416585dcd7b148f.jpeg#pic_center#pic_center#pic_center矩阵平方和的盘算
矩阵平方和的定义
矩阵平方和的定义是对矩阵中的每一个元素进行平方，然后求和。
对于一个矩阵 A A A，其平方和定义为：
sum = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n A ( i , j ) 2 \text{sum} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} A(i,j)^2 sum=i=1∑mj=1∑nA(i,j)2
这个平方和盘算，在某些机器学习的算法中、大概特殊的优化题目中都会涉及到。
矩阵平方和的盘算方法
通常而言，前面的公式就给出了盘算的方法，无论怎么做，都会涉及到对矩阵中的每一个元素进行平方，然后求和。
因此算法的时间复杂度是 O ( m ∗ n ) O(m*n) O(m∗n)，此中 m m m是矩阵的行数， n n n是矩阵的列数，当 A A A是方阵时， m = n m=n m=n。
最终，算法的服从取决于矩阵的表现情势和对矩阵元素的访问方式。
当然，另有可能会有一些特殊的优化方法，好比矩阵的特殊性质，可以通过一些特殊的方法来盘算，这里不做思量。
最后，就是并行指令集的使用，好比SIMD指令集，这里也不进行相干的讨论。
下面，就主要是对在Matlab中实现矩阵平方和的几种方法进行比较。其实比较的是Matlab中访问矩阵元素的方式的性能差异。
Matlab的多少实现
我们非常随意的实现了一些方法。
此中最重要的就是所谓的基线方法。这个方法通常选择一个最简单/直观的方法，便于抓住算法中的核心要素。
然后作为对比的基准，也能够对差别算法的性能进行比较。
这种研究办法，是一种常见的研究方法。例如，在优化算法中，通常选择格子搜刮大概随机搜刮作为基线方法。
提出一种新的方法，通常希望能够对比基线方法有更好的性能，并且这种性能提升是明显的。
此外，也会结合新算法与基线算法的执行过程来解释算法上风的原理，这就是一般算法研究文章中非常重要的理论分析。
function sumRet = bench_loop_row_column(A)
% 按照行、列的方式进行循环求和，基线算法
% 内存：O(1)
% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)
= size(A);
sumRet = 0;
% 对行进行循环
for i = 1:m
% 对列进行循环
for j = 1:n
sumRet = sumRet + A(i, j) ^ 2;
end
% 列循环结束
end
% 行循环结束，
end
上面这个最为直观的算法，就是对矩阵的每一行进行遍历，然后对每一行的每一个元素进行平方，然后求和。
这个作为基线是一个恰当的选择。
相应的，我们就会想到先循环列，再循环行来作为对基线算法的改进。
function sumRet = bench_loop_column_row(A)
% 按照列、行的方式进行循环求和，第一次改进的算法
% 充分考虑到矩阵的存储方式：列优先
% 内存：O(1)
% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)
= size(A);
sumRet = 0;
for i = 1:n
for j = 1:m
sumRet = sumRet + A(j, i) ^ 2;
end
end
end
思量到Matlab能够直接索引列，我们就可以思量对每列进行循环，直接对列进行操纵。大概，换成对行进行操纵。
下面几个算法就是行、列操纵的情势，这里又有一个小小的差别，就是使用更多内存来直接进行向量加法，最后调用sum求和。
大概还可以在循环内部调用sum函数，这样内存的使用会从 O ( n ) \mathcal{O}(n) O(n)降低到
function s = bench_loop_column_sum(A)
% 直接循环列，采用向量化的方式访问每个列
% 用一个向量来存储每一列和
% 最终调用sum函数求和
% 内存：O(n)
% 时间：考虑到，向量加法的时间复杂度是O(n)
% 所以，这里的时间复杂度依然是O(m*n) ~ O(n^2)
N = size(A, 2);
v = zeros(size(A, 1), 1);
for i = 1:N
v = v + A(:, i) .^ 2;
end
s = sum(v);
end
function s = bench_loop_sum_column(A)
% 直接循环列，采用向量化的方式访问每个列
% 直接对列调用sum函数求列和，最终累加求和
% 内存：O(1)
% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)，这里同样认为.^ 的时间复杂度是O(n)
s = 0;
N = size(A, 2);
for i = 1:N
s = s + sum(A(:, i) .^ 2);
end
end
function s = bench_loop_row_sum(A)
% 直接循环行，采用向量化的方式访问每行
% 用一个向量来存储行和
% 最终调用sum函数求和
% 内存：O(n)
% 时间：考虑到，向量加法的时间复杂度是O(n)
% 所以，这里的时间复杂度依然是O(m*n) ~ O(n^2)
N = size(A, 1);
v = zeros(1, size(A, 2));
for i = 1:N
v = v + A(i, :) .^ 2;
end
s = sum(v);
end
function s = bench_loop_sum_row(A)
% 直接循环行，采用向量化的方式访问每个行
% 直接对行调用sum函数求行和，最终累加求和
% 内存：O(1)
% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)，这里同样认为.^ 的时间复杂度是O(n)
s = 0;
N = size(A, 1);
for i = 1:N
s = s + sum(A(i, :) .^ 2);
end
end
接下来，我们使用矩阵的向量访问方式来构造一个算法。
function s = bench_loop_vec(A)
% 直接将矩阵展开成一个向量，循环求和
% 内存：O(1)
% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)
s = 0;
N = numel(A);
for i = 1:N
s = s + A(i) .^ 2;
end
end
此外，sum函数也提供了两个算法变体，一个是调用两次（默认对行求和）
function s = bench_sum_sum(A)
% 直接两次调用sum函数，对矩阵进行求和
s = sum(sum(A .^ 2));
end
function s = bench_sum_all(A)
% 直接调用一次sum函数，对矩阵进行求和
s = sum(A .^ 2, 'all');
end
还可以把sum与矩阵列向量访问情势结合起来，构成一种算法。
function s = bench_sum_vec(A)
% 直接将矩阵展开成一个向量
% 进行元素.^计算，调用sum函数求和
s = sum(A(:) .^ 2);
end
最后还是使用矩阵的向量展开方式，就是两个其实一样的算法，由于dot函数内部就是调用矩阵乘法。
function s = bench_vec_dot(A)
% 直接将矩阵展开成一个向量，进行点积计算
s = dot(A(:), A(:));
end
function s = bench_matrix_mul(A)
% 直接将矩阵展开成一个向量，进行矩阵乘法计算
s = A(:).' * A(:);
end
这些算法都非常寻常，但是，通过上面的接洽，也能提升我们对Matlab的矩阵操纵的理解。
接下来就是对这些算法的性能进行比较。
性能比较
性能比较方法
时间性能比较，一般可以直接使用timeit函数来完成，这个函数会对一个函数进行多次调用，然后求中位数。
这个函数还能包括输出变量的构造时间。
使用这个函数，我们编了一个工具，对差别规模的矩阵进行比较。
这里代码的注释非常清楚，无需赘述。
%% Benchmark functions helper
function = bench_f_n(n, f)
% 按照给定的参数，对函数进行测试
% n: 矩阵大小
% f: 函数句柄
% 返回值：n, result
% n: 矩阵大小的向量， result: 运行时间的向量
arguments
n (:, :) {mustBePositive}
f function_handle
end
% 保证n是一个向量，并且是正整数
n = round(n(:));
result = zeros(1, numel(n));
%对每一个n进行测试，直接采用for循环，不使用arrayfun
for i = 1:numel(n)
A = rand(n(i), n(i));
result(i) = timeit(@()f(A));
end
% result = arrayfun(@(x) timeit(@()f(rand(x, x))), n);
% 这样也是可以的，但是，对于此处，上面的写法更加直观
% 这就是采用for循环的地方
% 为了代码的可读性，并且对性能的影响不大，因为这里的循环次数不多
end
性能比较代码
我们把前面的算法代码和上面的性能比较代码放在一个+benchobjs的目次中，就构成一个namespace命名空间，通过import benchobjs.*来导入这些函数。
编写如下的测试脚本：
[*]Matlab code
[*]设置测试范围
[*]运行测试获取数据
[*]可视化测试结果
%% import functions in benchobjs
import benchobjs.*;
%% setup problem
n = round(logspace(3, 4, 10));
functions = {@bench_loop_row_column, @bench_loop_column_row, ...
@bench_loop_column_sum, @bench_loop_sum_column, ...
@bench_loop_row_sum, @bench_loop_sum_row, ...
@bench_loop_vec, @bench_sum_sum, ...
@bench_sum_all, @bench_sum_vec, ...
@bench_vec_dot, @bench_matrix_mul};
markers = {'o', 'x', '+', '*', 's', 'd', '^', 'v', '>', '<', 'p', 'h'};
% 这里是常见的小技巧，将函数的句柄存储在一个cell数组中
% 这样可以方便的对这些函数进行遍历
% 同时，把线型标签也存储在一个cell数组中，这样可以方便的对这些线型进行遍历
%% calculation
results = cell(numel(functions), 2);
for i = 1:numel(functions)
= bench_f_n(n, functions{i});
results{i, 1} = n;
results{i, 2} = result;
fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
mat2str(n), mat2str(result));
end
cmd = sprintf('save compareMatrixSquareSum%dresults', maxNumCompThreads);
eval(cmd);
% 这里试图考虑到多线程的影响，目前在12核心的及其上进行了不同线程数的测试
% 发现对于这个问题，多线程并没有展现出过大的差别
%% Visualize
% 一般也会把原始数据画出来稍微看一下
% 为了确保数据的正确性，并且可以对数据进行初步的分析
figure;
clf;
for i = 1:numel(functions)
= results{i, :};
plot(n, result, 'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});
yscale('log');
hold on;
fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
mat2str(n), mat2str(result));
end
legend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...
functions, 'UniformOutput', false), ...
'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
xlabel('Matrix size');
ylabel('Time (s)');
grid on
% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-time.png', ...
% 'Resolution', 600);
%% Visualize 2
% 针对基准的加速比，这是最常见的基准测试结果的展示方式
figure;
clf;
for i = 2:numel(functions)
= results{i, :};
plot(n, results{1, 2} ./ result, ...
'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});
hold on;
fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
mat2str(n), mat2str(result));
end
legend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...
functions(2:numel(functions)), 'UniformOutput', false), ...
'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
xlabel('Matrix size');
ylabel('Time (s)');
grid on
% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-acc.png', ...
% 'Resolution', 600);
%% Visualize 2
% 去掉基准和两个最好的函数，这样可以进行更加细节的比较和分析
% 这里必要性不太大，主要是为了展示这种方式
figure;
clf;
for i = 2:numel(functions) - 2
= results{i, :};
plot(n, results{1, 2} ./ result, ...
'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});
hold on;
fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...
mat2str(n), mat2str(result));
end
legend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...
functions(2:numel(functions) - 2), 'UniformOutput', false), ...
'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
xlabel('Matrix size');
ylabel('Time (s)');
grid on
% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-acc-2.png',...
% 'Resolution', 600);```
性能比较结果
最终，可以得到如下的性能比较结果。
https://i-blog.csdnimg.cn/img_convert/3bbe51e2c5b6f84e2b1c6a044be0a2f6.png
起首，差别算法的性能有肯定差异。基本上，算法分为两组，也可以视为三组。
[*]第一组是基线算法，对每一行进行遍历，然后对每一个元素进行平方，然后求和。
[*]第二组是向量展开访问并调用矩阵乘法（mtimes直接调用BLAS二进制库）的两个算法，性能相当。
[*]其他就是各种循环的组合以及sum函数的组合。
这个分组，按照加速比来看，更加显着。
向量展开+矩阵乘法的算法在1000~10000的规模下，性能均有明显提升，从15倍到40倍。
https://i-blog.csdnimg.cn/img_convert/fb8bcb4ff9039a3a5344863c61030e1d.png
除去基线算法和向量化算法，其他算法的关系较为复杂，但是也能通过进行列访问、部分向量化来获得几倍的性能提升。
这充分显示了列优先矩阵访问对与盘算服从的影响。
https://i-blog.csdnimg.cn/img_convert/8ce01c66bb1aa9357e701c2f5cbcb20c.png
总结
[*]进行算法开发，肯定要按照基线算法、算法优化的思路来思量。
[*]对算法的服从进行比较，最好选择差别的规模来分析题目。
[*]加速比是一个很好的指标，能够直观的看出算法的性能提升。
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