2012年西部数学奥林匹克试题(几何)
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△ A B C \triangle ABC △ABC 内有一点P P P,P P P 在A B AB AB,A C AC AC 上的投影分别为E E E,F F F, 射线B P BP BP,C P CP CP 分别交△ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆于点M M M,N N N.r r r 为△ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆半径,R R R 为△ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆半径. 求证:E F / M N ≥ r / R EF/MN \geq r/R EF/MN≥r/R.
证明: 设P P P 在B C BC BC 上的投影为点D D D.设S S S 为S △ A B C S_{\triangle ABC} S△ABC. 延伸A P AP AP 交( A B C ) (ABC) (ABC) 于点L L L.
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当P P P 位于心田I I I 时, 易证明E F EF EF 在( A B C ) (ABC) (ABC) 中,M N MN MN 在⨀ I \bigodot I ⨀I 中所对的圆周角 (锐角) 大小都为π / 2 − A / 2 \pi/2-A/2 π/2−A/2. 此时E F / M N = r / R EF/MN=r/R EF/MN=r/R.
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下证当P P P 不位于心田位置时,E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R.
△ L M N ∼ △ D E F \triangle LMN \sim \triangle DEF △LMN∼△DEF (证明略), 进而E F / M N = r ′ / R EF/MN=r'/R EF/MN=r′/R. ( r ′ r' r′ 为( D E F ) (DEF) (DEF) 的半径), 要证明E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R, 只需证明r ′ > r r'>r r′>r.
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设△ D E F \triangle DEF △DEF 的外心为O ′ O' O′.
S = S △ O ′ A B + S △ O ′ A C + S △ O ′ B C = 1 2 ( B C ⋅ d (
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