FIR数字滤波器设计——窗函数设计法——滤波器的时域截断
与IIR数字滤波器的设计类似，设计FIR数字滤波器也需要事先给出理想滤波器频率响应 H ideal ( e j ω ) H_{\text{ideal}}(e^{j\omega}) Hideal(ejω)，用实际的频率响应 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω)去逼近 H ideal ( e j ω ) H_{\text{ideal}}(e^{j\omega}) Hideal(ejω)，在此以低通FIR数字滤波器为例介绍窗函数设计法。https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ed368405e8914b6ea649102a408a844f.png
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线性相位的理想低通FIR数字滤波器频率响应为
H ideal ( e j ω ) = { e − j ω τ , 0 ⩽ ∣ ω ∣ ⩽ ω c 0 , ω c < ∣ ω ∣ ⩽ π H_{\text{ideal}}(e^{j\omega}) = \begin{cases} e^{-j\omega\tau}, & 0 \leqslant |\omega| \leqslant \omega_c \\ 0, & \omega_c < |\omega| \leqslant \pi \end{cases} Hideal(ejω)={e−jωτ,0,0⩽∣ω∣⩽ωcωc<∣ω∣⩽π
此中， ω c \omega_c ωc为停止频率，幅度函数为
H ideal ( ω ) = { 1 , 0 ⩽ ∣ ω ∣ ⩽ ω c 0 , ω c < ∣ ω ∣ ⩽ π H_{\text{ideal}}(\omega) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant |\omega| \leqslant \omega_c \\ 0, & \omega_c < |\omega| \leqslant \pi \end{cases} Hideal(ω)={1,0,0⩽∣ω∣⩽ωcωc<∣ω∣⩽π
对应的滤波器单位脉冲响应 h ideal ( n ) h_{\text{ideal}}(n) hideal(n)为
h ideal ( n ) = IDTFT [ H ideal ( e j ω ) ] = 1 2 π ∫ − ω c ω c e − j ω τ e j ω n d ω = sin [ ω c ( n − τ ) ] π ( n − τ ) h_{\text{ideal}}(n) = \text{IDTFT} \left[ H_{\text{ideal}}(e^{j\omega}) \right] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} e^{-j\omega\tau} e^{j\omega n} d\omega = \frac{\sin[\omega_c(n - \tau)]}{\pi(n - \tau)} hideal(n)=IDTFT=2π1∫−ωcωce−jωτejωndω=π(n−τ)sin[ωc(n−τ)]
可以看出， h ideal ( n ) h_{\text{ideal}}(n) hideal(n)为偶对称序列，对称中心为 n = τ n = \tau n=τ。
但 h ideal ( n ) h_{\text{ideal}}(n) hideal(n)也是一个无穷长的非因果序列，这在计算机或 DSP 中是无法实现的。轻便的办法就是对 h ideal ( n ) h_{\text{ideal}}(n) hideal(n)进行截断，也就是用一个有限时长的窗函数 w ( n ) w(n) w(n)与 h ideal ( n ) h_{\text{ideal}}(n) hideal(n)相乘。设窗函数长度为 N N N，则在时域截断后的滤波器单位脉冲响应 h ( n ) h(n) h(n)为
h ( n ) = h ideal ( n ) ⋅ w ( n ) h(n) = h_{\text{ideal}}(n) \cdot w(n) h(n)=hideal(n)⋅w(n)
此中，窗函数长度和形状是两个非常紧张的设计参数。
为保证 h ( n ) h(n) h(n)为因果序列，时域截断时取 n = τ n = \tau n=τ为对称中心，并且设 τ = N − 1 2 \tau = \frac{N-1}{2} τ=2N−1。这种截断方式就好比用一个 N N N点矩形窗 R N ( n ) R_N(n) RN(n)与 h ideal ( n ) h_{\text{ideal}}(n) hideal(n)相乘，即
h ( n ) = h ideal ( n ) ⋅ R N ( n ) = { h ideal ( n ) , 0 ⩽ n ⩽ N − 1 0 , 其他 n h(n) = h_{\text{ideal}}(n) \cdot R_N(n) = \begin{cases} h_{\text{ideal}}(n), & 0 \leqslant n \leqslant N-1 \\ 0, & \text{其他 } n \end{cases} h(n)=hideal(n)⋅RN(n)={hideal(n),0,0⩽n⩽N−1其他 n
由频域卷积定理可知，时域相乘对应频域卷积，故实际滤波器的频率响应为
H ( e j ω ) = DTFT [ h ideal ( n ) ⋅ w ( n ) ] = 1 2 π [ H ideal ( e j ω ) ∗ W N ( e j ω ) ] H(e^{j\omega}) = \text{DTFT} \left[ h_{\text{ideal}}(n) \cdot w(n) \right] = \frac{1}{2\pi} \left[ H_{\text{ideal}}(e^{j\omega}) * W_N(e^{j\omega}) \right] H(ejω)=DTFT=2π1
N N N点矩形窗 R N ( n ) R_N(n) RN(n)的 DTFT 结果为
W N ( e j ω ) = DTFT [ R N ( n ) ] = e − j N − 1 2 ω sin ( ω N / 2 ) sin ( ω / 2 ) W_N(e^{j\omega}) = \text{DTFT} \left[ R_N(n) \right] = e^{-j\frac{N-1}{2}\omega} \frac{\sin(\omega N/2)}{\sin(\omega/2)} WN(ejω)=DTFT=e−j2N−1ωsin(ω/2)sin(ωN/2)
N N N点矩形窗也是严格线性相位的 FIR 数字滤波器，其幅度函数为
W N ( ω ) = sin ( ω N / 2 ) sin ( ω / 2 ) W_N(\omega) = \frac{\sin(\omega N/2)}{\sin(\omega/2)} WN(ω)=sin(ω/2)sin(ωN/2)
由 DTFT 的时移特性可知，相位函数只会对 h ( n ) h(n) h(n)起时移作用，因此 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω)的幅度函数只取决于理想低通的幅度函数 H ideal ( ω ) H_{\text{ideal}}(\omega) Hideal(ω)和矩形窗的幅度函数 W N ( ω ) W_N(\omega) WN(ω)，即
H ( ω ) = 1 2 π [ H ideal ( ω ) ∗ W N ( ω ) ] H(\omega) = \frac{1}{2\pi} \left[ H_{\text{ideal}}(\omega) * W_N(\omega) \right] H(ω)=2π1
理想低通滤波器的通带幅度为 1，阻带幅度为 0，但实际的低通滤波器在通带和阻带都出现升沉振荡的现象，在其过渡带的边缘出现了正、负肩峰，即极大值和极小值。正肩峰出现在窗函数主瓣刚刚全部进入理想低通滤波器 ( ω = − ω c + 2 π N ) \left(\omega = -\omega_c + \frac{2\pi}{N}\right) (ω=−ωc+N2π)，以及窗函数主瓣即将移出理想低通滤波器 ( ω = ω c − 2 π N ) \left(\omega = \omega_c - \frac{2\pi}{N}\right) (ω=ωc−N2π)的时间。负肩峰表现卷积结果的极小值，负肩峰出现在窗函数主瓣即将进入理想低通滤波器 ( ω = − ω c − 2 π N ) \left(\omega = -\omega_c - \frac{2\pi}{N}\right) (ω=−ωc−N2π)，以及窗函数主瓣刚刚全部移出理想低通滤波器 ( ω = ω c + 2 π N ) \left(\omega = \omega_c + \frac{2\pi}{N}\right) (ω=ωc+N2π)的时间。
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只要确保 h ( n ) h(n) h(n)为偶对称或奇对称的，就可以不再“操心”线性相位的需求，“用心”思量FIR数字滤波器的幅度指标即可。
实际滤波器幅频响应升沉振荡的幅度取决于窗函数旁瓣的相对幅度，而升沉振荡的次数取决于窗函数旁瓣的数目。增加窗函数的长度（不改变窗函数的形状），过渡带的宽度变窄，振荡升沉变密，但是滤波器肩峰的相对值（相对于1大概0）保持8.95%不变，这种现象称作“吉布斯(Gibbs)效应”。
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我们知道信号的时域截断会引起频谱泄漏。窗函数法也是在时域进行截断，出现的“过渡带”“吉布斯效应”等其实都是频谱泄漏在FIR数字滤波器设计中的体现。只不过信号的时域截断引起的频谱泄漏主要是分析信号的频谱，这里的频谱泄露主要是分析系统（滤波器）的频谱。
这里只介绍使用窗函数法设计低通FIR数字滤波器，假如要设计其他范例的FIR数字滤波器，只需要接纳对应的理想滤波器频率响应即可，在此不再进一步讨论。
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