python 回溯算法（Backtracking）
回溯算法（Backtracking）是一种通过试错的方式寻找问题的解的算法设计方法。它通常用于办理组合问题，通过递归地实验所有可能的解，并在发现当前路径不可能得到解时回退（回溯）。以下是使用Python实现回溯算法办理几个经典问题的示例：1. 八皇后问题（N-Queens Problem）
八皇后问题要求在 ( N \times N ) 的棋盘上放置 ( N ) 个皇后，使得它们互不攻击。
def solve_n_queens(n):
def is_safe(board, row, col):
# 检查列是否有冲突
for i in range(row):
if board == col:
return False
# 检查对角线是否有冲突
if abs(board - col) == abs(i - row):
return False
return True
def backtrack(row):
if row == n:
solutions.append(board[:])
return
for col in range(n):
if is_safe(board, row, col):
board = col
backtrack(row + 1)
board = -1# 回溯
solutions = []
board = [-1] * n# 初始化棋盘
backtrack(0)
return solutions
# 示例
n = 4
solutions = solve_n_queens(n)
for solution in solutions:
print(solution)
# 输出:
#
#
2. 数独求解（Sudoku Solver）
数独求解问题要求添补一个 ( 9 \times 9 ) 的数独网格，使得每行、每列和每个 ( 3 \times 3 ) 子网格都包罗数字 1 到 9。
def solve_sudoku(board):
def is_valid(row, col, num):
# 检查行和列
for i in range(9):
if board == num or board == num:
return False
# 检查 3x3 子网格
start_row, start_col = 3 * (row // 3), 3 * (col // 3)
for i in range(3):
for j in range(3):
if board == num:
return False
return True
def backtrack():
for row in range(9):
for col in range(9):
if board == 0:# 找到空白格
for num in range(1, 10):
if is_valid(row, col, num):
board = num
if backtrack():
return True
board = 0# 回溯
return False
return True
backtrack()
# 示例
board = [
,
,
,
,
,
,
,
,
]
solve_sudoku(board)
for row in board:
print(row)
# 输出:
#
#
#
#
#
#
#
#
#
3. 子集生成（Subset Generation）
生成一个聚集的所有子集。
def subsets(nums):
def backtrack(start, path):
result.append(path[:])
for i in range(start, len(nums)):
path.append(nums)
backtrack(i + 1, path)
path.pop()# 回溯
result = []
backtrack(0, [])
return result
# 示例
nums =
print(subsets(nums))
# 输出: [[], , , , , , , ]
4. 分列组合（Permutations and Combinations）
生成一个聚集的所有分列或组合。
分列（Permutations）
def permutations(nums):
def backtrack(path):
if len(path) == len(nums):
result.append(path[:])
return
for num in nums:
if num not in path:
path.append(num)
backtrack(path)
path.pop()# 回溯
result = []
backtrack([])
return result
# 示例
nums =
print(permutations(nums))
# 输出: [, , , , , ]
组合（Combinations）
def combinations(nums, k):
def backtrack(start, path):
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
for i in range(start, len(nums)):
path.append(nums)
backtrack(i + 1, path)
path.pop()# 回溯
result = []
backtrack(0, [])
return result
# 示例
nums =
k = 2
print(combinations(nums, k))
# 输出: [, , , , , ]
总结
回溯算法通过递归地实验所有可能的解，并在发现当前路径不可能得到解时回退。它实用于组合问题、分列问题、搜索问题等。通过公道地剪枝和回溯，可以高效地找到问题的解。
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