python之二维几何学习笔记
一、概要资料泉源《机器工程师Python编程：入门、实战与进阶》安琪儿·索拉·奥尔巴塞塔 2024年6月
[*]点和向量：向量的缩放、范数、点乘、叉乘、旋转、平行、垂直、夹角
[*]直线和线段：线段中点、离线段最近的点、线段的交点、直线交点、线段的垂直中分线
[*]多边形：一样平常多边形、圆、矩形
[*]仿射变更
书中强调了单位测试的紧张性。
二、点和向量
数字比力
# geom2d/nums.py
import math
def are_close_enough(a,b,tolerance=1e-10):
return math.fabs(a-b)<tolerance
def is_close_to_zero(a,tolerance=1e-10):
return are_close_enough(a,0.0,tolerance)
def is_close_to_one(a,tolerance=1e-10):
return are_close_enough(a,1.0,tolerance) 点
# geom2d/point.py
import math
from geom2d import nums
from geom2d.vector import Vector
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
# 计算两点间的距离
def distance_to(self, other):
delta_x = other.x - self.x
delta_y = other.y - self.y
return math.sqrt(delta_x ** 2 + delta_y ** 2)
# 对点进行加操作
def __add__(self, other):
return Point(
self.x + other.x,
self.y + other.y
)
# 对点进行减操作
def __sub__(self, other):
return Vector(
self.x - other.x,
self.y - other.y
)
# 用向量移动点
def displaced(self, vector: Vector, times=1):
scaled_vec = vector.scaled_by(times)
return Point(
self.x + scaled_vec.u,
self.y + scaled_vec.v
)
# 比较点是否相等
def __eq__(self, other):
if self is other:
return True
if not isinstance(other, Point):
return False
return nums.are_close_enough(self.x, other.x) and \
nums.are_close_enough(self.y, other.y)
def __str__(self):
return f'({self.x},{self.y})'
向量
# geom2d/vector.py
import math
from geom2d import nums
class Vector:
def __init__(self, u, v):
self.u = u
self.v = v
# 向量的加法
def __add__(self, other):
return Vector(
self.u+other.u,
self.v+other.v
)
# 向量的减法
def __sub__(self, other):
return Vector(
self.u-other.u,
self.v-other.v
)
# 向量的缩放
def scaled_by(self,factor):
return Vector(factor*self.u,factor*self.v)
# 计算向量的范数
@property
def norm(self):
return math.sqrt(self.u**2+self.v**2)
# 验证向量是否为单位向量
@property
def is_normal(self):
return nums.is_close_to_one(self.norm)
# 计算单位长度的向量
def normalized(self):
return self.scaled_by(1.0/self.norm)
# 计算指定长度的向量
def with_length(self,length):
return self.normalized().scaled_by(length)
# 向量的投影
def projection_over(self,direction):
return self.dot(direction.normalized())
# 向量点乘
def dot(self,other):
return (self.u*other.u)+(self.v*other.v)
# 向量叉乘
def cross(self,other):
return (self.u*other.v)-(self.v*other.u)
# 检验两向量是否平行，即叉乘是否为0
def is_parallel_to(self,other):
return nums.is_close_to_zero(self.cross(other))
# 检验两向量是否垂直，即点乘是否为0
def is_perpendicular_to(self,other):
return nums.is_close_to_zero(self.dot(other))
# 向量的夹角（角度值）
def angle_value_to(self,other):
dot_product=self.dot(other)# 计算点乘值
norm_product=self.norm*other.norm # 范数的乘积
return math.acos(dot_product/norm_product) # （点乘值/范数乘积）取反余弦，即角度值
# 向量的夹角（带叉乘符号的角度值）
def angle_to(self,other):
value=self.angle_value_to(other)
cross_product=self.cross(other)
return math.copysign(value,cross_product) #math.copysign(x, y)函数返回x的大小和y的符号
# 向量的旋转,旋转一定角度
def rotated_radians(self,radians):
cos=math.cos(radians)
sin=math.sin(radians)
return Vector(
self.u*cos-self.v*sin,
self.u*sin+self.v*cos
)
# 垂直向量，旋转90度
def perpendicular(self):
return Vector(-self.v,self.u)
# 相反向量，旋转180度
def opposite(self):
return Vector(-self.u,-self.v)
# 向量的正旋和余弦
@property
def sine(self):
return self.v/self.norm
@property
def cosine(self):
return self.u/self.norm
# 比较向量是否相等
def __eq__(self, other):
# 检查是否在比较相同的实例
if self is other:
return True
# other不是Vector类的实例
if not isinstance(other,Vector):
return False
return nums.are_close_enough(self.u,other.u) and \
nums.are_close_enough(self.v,other.v)
def __str__(self):
return f'({self.u},{self.v}) with norm {self.norm}' #geom2d/vectors.py
# 向量工厂
from geom2d.point import Point
from geom2d.vector import Vector
# 创建一个从点p到点q的向量
def make_vector_between(p:Point,q:Point):
return q-p
# 创建单位方向向量
def make_versor(u:float,v:float):
return Vector(u,v).normalized()
# 在两点之间创建一个单位方向向量
def make_versor_between(p:Point,q:Point):
return make_vector_between(p,q).normalized() 向量范数
向量的范数(norm)是指它的长度。单位范数的长度为一个单位。拥有单位范数的向量在确认向量方向时非常有用，因此，我们经常会想知道一个向量的范数是否为单位范数（它是否是单位向量）。我们也经常需要归一化(normalize)一个向量：方向不变，长度变为1。
向量点乘
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8fe9760b49bd42ec99234d03463fd8f2.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/1f79679370564efca4128cef115a9f71.png
点乘(dot product)会得到一个标量，它可以反映两个向量方向的差异。
图上有一个参考向量https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D和另外三个向量：https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Ba%7D、https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bb%7D和https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bc%7D。一条垂直于https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D的直线将空间分成两个半平面。向量https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bb%7D在直线上，因此https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D和https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bb%7D的夹角θ等于90°。而cos(90°)=0，因此https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bb%7D%3D0。垂直向量的点乘为零。向量https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Ba%7D所在的半平面和https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D相同，因此，https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D%5Ccdot%5Cvec%7Ba%7D%3E%200。末了，https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bc%7D在与https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D相对的半平面上，因此，https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bc%7D%3C%200。
向量叉乘
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ae7302eb38ed443bbfa39b6592e82c84.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/a0f6d30e85aa48029582dc8b7daf3efd.png
向量叉乘(cross product)会得到一个垂直于这两个向量所在平面的新向量。向量的顺序很紧张，它决定了效果向量的方向。可以使用右手法则得到叉乘的方向。
叉乘不满足互换律：https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bu%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bv%7D%3D%20-%20%5Cvec%7Bv%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu%7D
二维向量叉乘的一个紧张应用是确定角度的旋转方向。https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bu%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bv%7D%3E%200，因为从https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bu%7D到https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D的角度为正（逆时针）。相反，从https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D到https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bu%7D的角度为负，因此叉乘https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bv%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu%7D%3C%200。末了，平行向量的叉乘为0，这很显然，因为sin 0=0。
向量旋转
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/aa23f5058f6d4cb1b33f26b4830ab81c.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/15b417697ef44d55aadfcc58879d0898.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/a6ac626ef4174c88a0629b730b3d6333.png
cos(π/2)=0, sin(π/2)=1，cos(π)=-1, sin(π)=0
向量的正弦和余弦
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/837a43ffd92249e39fef514690e0dd87.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/0e107c64e90146bf9be1416388a5694c.png
三、直线和线段
线段
# geom2d/segment.py
from geom2d.point import Point
from geom2d.vectors import make_vector_between,make_versor_between
from geom2d import tparam
class Segment:
def __init__(self,start:Point,end:Point):
self.start=start
self.end=end
# 线段的方向向量
@property
def direction_vector(self):
return make_vector_between(self.start,self.end)
# 线段的单位方向向量
@property
def direction_versor(self):
return make_versor_between(self.start,self.end)
# 垂直于线段方向的向量，法向量
# 调用self的direction_versor来得到线段的方向向量，同时也是Vector类的实例
# 调用perpendicular方法，返回垂直于线段方向的向量
def normal_versor(self):
return self.direction_versor.perpendicular()
# 线段的长度
@property
def length(self):
return self.start.distance_to(self.end)
# 使用参数t获取线段上的任意一点
def point_at(self,t:float):
tparam.ensure_valid(t)# 验证t值
return self.start.displaced(self.direction_vector,t)
# 线段的中点
@property
def middle(self):
return self.point_at(tparam.MIDDLE)
# 线段上的最近点
# 计算从线段的端点S到外部点P的向量v
# 计算在线段方向上投影的单位向量d
# 将投影的长度设为vs
def closest_point_to(self,p:Point):
v=make_vector_between(self.start,p)
d=self.direction_versor
vs=v.projection_over(d)
if vs<0:
return self.start
if vs>self.length:
return self.end
return self.start.displaced(d,vs)
线段的方向向量
方向(direction)是线段的一个紧张性子，定义为从起点S到尽头E的向量。用https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bd%7D来表现该向量。
方向向量(direction vector)是一个与线段平行且长度相同的向量，其方向是从起点到尽头。
单位方向(direction versor)是方向向量的归一化版本，即与方向向量的方向相同，但长度为一个单位。
垂直于线段的方向也同样紧张。将单位方向向量https://latex.csdn.net/eq?%5Chat%7Bd%7D旋转方向π/4 rad(90°)，就可以得到线段的单位法向量(normalversor)。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/dddf53c3f174414f98dc90e7eebeca02.png
线段上最靠近外部点的点
如果外部点没有与线段对齐，穿过该点且垂直于线段的直线不与线段相交，那么最近的点必然是两个端点S或E中的一个。
如果该点与该段对齐，则垂直线与线段的交点就是最近的点。
如图：点S≡A'是离A最近的点，点E≡B'是最靠近B的点，C'是最靠近C的点。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/042c549a94624ff4affdf96803eaae98.png
线段的交点
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/24d0a15711054bad888550a80ef6abbf.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/701ab4886498448cad0eec5c4d6993d9.png
四、多边形
一样平常多边形——用它们的顶点来定义；
圆是平面内与指定点（圆心）的距离（半径）相同的所有点的集合。因此，圆由圆心C的位置和半径R的值定义
矩形——由原点、宽度和高度定义
多边形中一个紧张性子是质心(centroid)，即所有顶点坐标的算术均匀值。
五、仿射变更
仿射变更：它使我们可以或许通过缩放、旋转、平移和剪切来改变几何形状。
六、单位测试
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/efd0af9d01db4e4d9e8cb04989067690.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/e175b8a0974d4b82b12bbd4c457ee180.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/fcfc080d69ed4de19d15c5ed5bce0c45.png
断言方法
断言方法形貌assertAlmostEqual定义在我们引用的类unittest.TestCase中，用指定的公差来检查浮点数是否相称，公差用小数点后的位数表现，默认是7。请记住，在比力浮点数时，必须有公差，或者像上述例子，给定小数点后的位数assertEqual使用==操作符来比力这两个参数assertTrue检验给定表达式的计算效果是否为TrueassertFalse检验给定表达式的计算效果是否为FalseassertRaises向其传入三个参数。首先是预期要触发的非常(TParamError)。其次，传入了期望触发非常的方法。末了，传入需要转达给前面的方法（在本例中为point_at）的实参。assertIsNone检查传入的值是否是None（无） 单位测试的三个规则
1、失败原因须唯一
单位测试应该有且仅有一个失败的原因。如果测试失败只有一个原因，那么很容易找到代码中的错误。如果一个测试失败可能有五个不同的原因。当测试失败时，你会发现本身耗费太多时间去阅读错误消息和调试代码。
2、受控环境
测试的输入和输出应该是已知的。发生在测试中的一切都应该是确定的(deterministic)，也就是说，不应该出现随机性或依赖任何你无法控制的东西：日期或时间、操作系统、未在测试中设置的机器环境变量，等等。
3、测试独立性
测试不应依赖于其他测试。每个测试都应该独立运行，绝不能依赖于其他测试所设置的运行测试的环境。这至少有三个原因。首先，你需要独立地运行或调试测试。其次，很多测试框架并不能保证测试的执行顺序。末了，不依赖于其他测试的测试要易读得多。
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