单目摄像头物体深度计算基础原理
三维空间物体表面点位与其在图像中对应点之间的相互关系，必须创建相机成像的几何模子，这些几何模子参数就是相机参数，而相机参数的求解就是相机标定。相机的参数矩阵包罗内参和外参：
外参：决定实际坐标到摄像机坐标。摄像机的旋转平移属于外参，用于形貌相机在静态场景下相机的活动，或者在相机固定时，活动物体的刚性活动。因此，在图像拼接或者三维重建中，就必要使用外参来求几幅图像之间的相对活动，从而将其转换到同一个坐标系下面。
内参：决定摄像机坐标到图像坐标。
畸变矩阵：镜头的映射无法做到直线射影变更，存在的误差必要畸变参数来形貌。为易于理解，以下公式假设完美状态下，不存在该项。
[*] 内参数矩阵 ( K )：
K = ( f x s c x 0 f y c y 0 0 1 ) K = \begin{pmatrix} f_x & s & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} K= fx00sfy0cxcy1
其中：
[*] f x , f y f_x, f_y fx,fy：相机在 x x x 和 y y y 方向的焦距（单位：像素）。
[*] c x , c y c_x, c_y cx,cy：相机的主点（光轴与图像平面交点在图像中的位置）。
[*] s s s：坐标轴倾斜参数，理想情况为0。
[*] 外参数矩阵 ( )：
[ R ∣ T ] = ( r 11 r 12 r 13 t x r 21 r 22 r 23 t y r 31 r 32 r 33 t z ) = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_x \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_y \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_z \end{pmatrix} = r11r21r31r12r22r32r13r23r33txtytz
其中：
[*] R R R 为旋转矩阵，形貌相机坐标系相对于世界坐标系的旋转。
[*] T = ( t x , t y , t z ) T = (t_x, t_y, t_z) T=(tx,ty,tz) 为平移向量，形貌相机坐标系原点相对于世界坐标系原点的平移。
公式推导：
为了通过相机模子测距，我们可以通过 图像坐标与世界坐标的转换 来推导出目的物体的深度（Z轴）：
[*] 假设目的物体的世界坐标为 P w o r l d = ( X , Y , Z ) T P_{world} = (X, Y, Z)^T Pworld=(X,Y,Z)T，并且它在图像平面上的投影点为 p i m a g e = ( u , v ) p_{image} = (u, v) pimage=(u,v)。
[*] 相机的成像过程可以表现为：
λ ( u v 1 ) = K [ R ∣ T ] ( X Y Z 1 ) \lambda \begin{pmatrix} u \\ v \\ 1 \end{pmatrix} = K \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} λ uv1 =K XYZ1
其中， λ \lambda λ是归一化因子。
[*] 通过矩阵乘法，得到：
( u v 1 ) = 1 Z ( f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ) ( R 11 R 12 R 13 t x R 21 R 22 R 23 t y R 31 R 32 R 33 t z ) ( X Y Z 1 ) \begin{pmatrix} u \\ v \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{Z} \begin{pmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} & t_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & t_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & t_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} uv1 =Z1 fx000fy0cxcy1 R11R21R31R12R22R32R13R23R33txtytz XYZ1
[*] 通过图像坐标 ( u , v ) (u, v) (u,v)和世界坐标的关系，我们可以推导出物体的 深度 ( Z )：
Z = f x ⋅ ( X ⋅ r 13 + Y ⋅ r 23 + Z ⋅ r 33 + t z ) X ⋅ r 11 + Y ⋅ r 21 + Z ⋅ r 31 + t x Z = \frac{f_x \cdot \left( X \cdot r_{13} + Y \cdot r_{23} + Z \cdot r_{33} + t_z \right)}{X \cdot r_{11} + Y \cdot r_{21} + Z \cdot r_{31} + t_x} Z=X⋅r11+Y⋅r21+Z⋅r31+txfx⋅(X⋅r13+Y⋅r23+Z⋅r33+tz)
参数界说：
[*] Z Z Z：目的物体的实际间隔（即深度或相机到物体的间隔）。
[*] f x , f y f_x, f_y fx,fy：相机的焦距（在像素单位下）。
[*] c x , c y c_x, c_y cx,cy：图像平面的主点位置（通常是图像的中央）。
[*] ( u , v ) (u, v) (u,v)：物体在图像中的像素坐标。
[*] ( X , Y , Z ) (X, Y, Z) (X,Y,Z)：目的物体在世界坐标系中的三维坐标。
[*] R R R：相机的旋转矩阵，形貌相机坐标系相对于世界坐标系的旋转。
[*] T = ( t x , t y , t z ) T = (t_x, t_y, t_z) T=(tx,ty,tz)：相机的平移向量，形貌相机坐标系与世界坐标系之间的平移。
解释：
这个公式使用了相机的 表里参数矩阵，它形貌了如何将物体的世界坐标投影到相机图像平面。在这个公式中，物体的深度 Z Z Z由物体在图像平面中的位置（像素坐标 u , v u, v u,v）以及相机的参数（焦距、表里参数矩阵）决定。通过将物体的图像坐标与相机的表里参数矩阵联合，我们可以推算出物体的实际间隔。
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