干货：Farrow设计实现详解
Farrow结构的系数设计是着实现可变分数耽误或动态群时延调整的关键步调。其核心思想是将每个滤波器抽头的系数体现为多项式函数（通常以参数 u u u 为变量），通过优化多项式系数实现不同耽误下的滤波特性。以下是Farrow系数设计的重要方法及步调：1. 设计目的与基本模型
Farrow结构的一样平常情势为：
H ( z , μ ) = ∑ m = 0 M μ m ⋅ ( ∑ k = 0 N c k , m z − k ) H(z, \mu) = \sum_{m=0}^{M} \mu^m \cdot \left( \sum_{k=0}^{N} c_{k,m} z^{-k} \right) H(z,μ)=m=0∑Mμm⋅(k=0∑Nck,mz−k)
此中：
[*] μ ∈ [ 0 , 1 ) \mu \in [0, 1) μ∈[0,1) 为耽误参数（或分数间隔）。
[*] c k , m c_{k,m} ck,m 为待设计的多项式系数矩阵。
[*] M M M 为多项式阶数， N N N 为滤波器阶数。
设计目的：在指定频带（如通带 ω ∈ [ 0 , α π ] \omega \in ω∈）和耽误范围（ μ ∈ [ 0 , 1 ) \mu \in [0,1) μ∈[0,1)）内，使滤波器的幅频响应和群时延满足要求（如平展响应、最小误差）。
2. 重要设计方法
(1) 最小二乘法（Least Squares）
核心思想：最小化实际响应与抱负响应的误差平方和。
步调：
[*]离散化参数空间：对频率 ω \omega ω 和耽误参数 μ \mu μ 进行离散采样（如匀称采样）。
[*]构建抱负响应：抱负分数耽误滤波器的频率响应为：
H d ( e j ω , μ ) = e − j ω ( D + μ ) H_d(e^{j\omega}, \mu) = e^{-j\omega (D + \mu)} Hd(ejω,μ)=e−jω(D+μ)
此中 D D D 为整数耽误， μ \mu μ 为分数部分。
[*]误差函数：定义实际响应与抱负响应的误差：
E = ∑ μ ∑ ω ∣ H ( e j ω , μ ) − H d ( e j ω , μ ) ∣ 2 E = \sum_{\mu} \sum_{\omega} \left| H(e^{j\omega}, \mu) - H_d(e^{j\omega}, \mu) \right|^2 E=μ∑ω∑ H(ejω,μ)−Hd(ejω,μ) 2
[*]矩阵化求解：将多项式系数 c k , m c_{k,m} ck,m 排列为向量，构造线性方程组，通过最小二乘法求解最优系数。
(2) 拉格朗日插值法
实用场景：低复杂度设计，实用于局部插值需求。
[*]将Farrow结构视为分段多项式插值器（如三次样条）。
[*]利用拉格朗日插值公式直接天生多项式系数，确保在离散点 μ \mu μ 处精确匹配抱负耽误。
(3) 凸优化方法
实用场景：需束缚通带波纹、群时延颠簸等性能指标时。
[*]定义优化目的（如最大通带误差最小化）。
[*]利用凸优化工具（如CVX、MATLAB的fmincon）求解系数。
3. 具体设计步调（以最小二乘法为例）
步调1：参数定义
[*]确定滤波器阶数 N N N、多项式阶数 M M M。
[*]设定通带频率范围（如 ω ∈ [ 0 , 0.9 π ] \omega \in ω∈）。
[*]定义耽误参数 μ \mu μ 的范围（通常 μ ∈ [ 0 , 1 ) \mu \in [0,1) μ∈[0,1)）。
步调2：离散化采样
[*]对频率 ω \omega ω 匀称采样 K K K 个点（如 K = 100 K=100 K=100）。
[*]对 μ \mu μ 匀称采样 L L L 个点（如 L = 10 L=10 L=10）。
步调3：构建目的矩阵
[*]对每个 ( ω i , μ j ) (\omega_i, \mu_j) (ωi,μj)，计算抱负响应 H d ( e j ω i , μ j ) H_d(e^{j\omega_i}, \mu_j) Hd(ejωi,μj)。
[*]构建系数矩阵 A \mathbf{A} A 和响应向量 b \mathbf{b} b，将题目转化为 A c = b \mathbf{A}\mathbf{c} = \mathbf{b} Ac=b。
步调4：求解线性方程组
[*]利用最小二乘法求解系数向量 c \mathbf{c} c：
c = ( A T A ) − 1 A T b \mathbf{c} = (\mathbf{A}^T \mathbf{A})^{-1} \mathbf{A}^T \mathbf{b} c=(ATA)−1ATb
[*]若矩阵病态，可加入正则化项（Tikhonov正则化）。
步调5：验证与迭代
[*]计算实际响应 H ( e j ω , μ ) H(e^{j\omega}, \mu) H(ejω,μ)，查抄通带误差和群时延平展度。
[*]调整 N , M N, M N,M 或优化权重重新设计。
4. 设计实例（三次多项式， M = 3 M=3 M=3）
假设设计一个三次多项式Farrow结构（ M = 3 M=3 M=3），滤波器长度为 N = 4 N=4 N=4，通带 ω ∈ [ 0 , 0.8 π ] \omega \in ω∈。
系数矩阵情势：
C = [ c 0 , 0 c 0 , 1 c 0 , 2 c 0 , 3 c 1 , 0 c 1 , 1 c 1 , 2 c 1 , 3 c 2 , 0 c 2 , 1 c 2 , 2 c 2 , 3 c 3 , 0 c 3 , 1 c 3 , 2 c 3 , 3 ] C = \begin{bmatrix} c_{0,0} & c_{0,1} & c_{0,2} & c_{0,3} \\ c_{1,0} & c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} \\ c_{2,0} & c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,0} & c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} \\ \end{bmatrix} C= c0,0c1,0c2,0c3,0c0,1c1,1c2,1c3,1c0,2c1,2c2,2c3,2c0,3c1,3c2,3c3,3
典型系数值（仅供参考）：
[*]三次Farrow结构的常见系数：
C = 1 6 [ − 1 3 − 3 1 2 − 5 4 − 1 − 1 0 1 0 0 2 0 0 ] C = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 2 & -5 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} C=61 −12−103−502−34101−100
这种系数设计能实现平滑的分数耽误插值。
5. 设计中的关键题目
[*]多项式阶数 M M M：阶数越高，逼近精度越高，但计算量增长（通常 M = 3 M=3 M=3 或 4 4 4）。
[*]滤波器长度 N N N：影响频率分辨率和过渡带特性。
[*]频带权重：可对通带和阻带误差赋予不同权重，优化关键频段性能。
[*]群时延平展度：需在优化目的中显式束缚群时延的颠簸。
6. 工具与实现
[*]MATLAB：利用lsqnonlin、firls等函数进行最小二乘优化。
[*]Python：利用numpy.linalg.lstsq或cvxpy库求解。
[*]FPGA实现：将系数固化为查找表（LUT），通过多项式展开并行计算。
7. 实战实现
以下是利用Python设计一个四阶多项式（ M = 4 M=4 M=4）且滤波器长度为5（ N = 5 N=5 N=5）的Farrow结构的完整代码示例，包含系数设计和性能验证：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Mar 15 22:47:36 2025
@author: Neol
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqz
plt.close('all')
# 设置全局字体为支持中文的字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# 黑体
# 解决负号显示问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 设计参数
M = 4 # 多项式阶数 (mu^0, mu^1, ..., mu^4)
N = 5 # 滤波器长度（抽头数 k=0,1,2,3,4）
D = 2 # 整数延迟（通常设为N//2）
alpha = 0.4 # 通带范围
K = 200 # 频率采样点数
L = 20 # mu采样点数
# 生成离散频率和mu值
omega = np.linspace(0, alpha * np.pi, K)
mu = np.linspace(0, 1, L, endpoint=False)
# 构建最小二乘问题的矩阵A和向量b
A_real = []
A_imag = []
b_real = []
b_imag = []
for mu_j in mu:
for omega_i in omega:
# 理想响应：H_d = e^{-j*omega*(D + mu_j)}
H_d = np.exp(-1j * omega_i * (D + mu_j))
# 构建当前行的基函数（实部和虚部分开）
row_real = []
row_imag = []
for k in range(N):
for m in range(M+1):
# 基项：mu^m * e^{-j*omega*k}
term = (mu_j**m) * np.exp(-1j * omega_i * k)
row_real.append(term.real)
row_imag.append(term.imag)
A_real.append(row_real)
A_imag.append(row_imag)
b_real.append(H_d.real)
b_imag.append(H_d.imag)
# 合并实部和虚部
A = np.vstack()
b = np.hstack()
# 求解最小二乘问题
c, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
# 将系数向量转换为系数矩阵 (N x M+1)
C = c.reshape((N, M+1))
print("Farrow系数矩阵C:")
print(np.round(C, 4))
# 验证设计：计算在mu=0.5时的频率响应
mu_test = 0.9
h = np.zeros(N, dtype=np.complex128)
for k in range(N):
for m in range(M+1):
h += C * (mu_test ** m)
# 计算频率响应
w, H = freqz(h, worN=1024)
H_ideal = np.exp(-1j * w * (D + mu_test))
# 绘制幅度和相位响应
plt.figure(figsize=(12, 8))
# 幅度响应
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(w, 20*np.log10(np.abs(H)), label='Designed')
plt.plot(w, 20*np.log10(np.abs(H_ideal)), '--', label='Ideal')
plt.title(f'Magnitude Response (mu={mu_test})')
plt.xlabel('Frequency ')
plt.ylabel('Magnitude ')
plt.grid(True)
plt.legend()
# 相位响应
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(w, np.unwrap(np.angle(H)), label='Designed')
plt.plot(w, np.unwrap(np.angle(H_ideal)), '--', label='Ideal')
plt.title(f'Phase Response (mu={mu_test})')
plt.xlabel('Frequency ')
plt.ylabel('Phase ')
plt.grid(True)
plt.legend()
# 群时延
group_delay = -np.diff(np.unwrap(np.angle(H))) / np.diff(w)
group_delay = np.hstack(])# 保持长度一致
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(w, group_delay, label='Designed')
plt.plot(w, (D + mu_test)*np.ones_like(w), '--', label='Ideal')
plt.title(f'Group Delay (mu={mu_test})')
plt.xlabel('Frequency ')
plt.ylabel('Samples')
plt.ylim(D + mu_test - 1, D + mu_test + 1)
plt.grid(True)
plt.legend()
# 系数矩阵可视化
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.imshow(C, cmap='coolwarm', aspect='auto')
plt.colorbar(label='Coefficient Value')
plt.title('Farrow Coefficient Matrix')
plt.xlabel('Polynomial Order (m)')
plt.ylabel('Tap Index (k)')
plt.xticks(range(M+1), )
plt.yticks(range(N), )
plt.tight_layout()
plt.show()
(1)代码阐明
[*] 参数定义：
[*]M=4：多项式最高阶数为 μ 4 \mu^4 μ4
[*]N=5：滤波器抽头数（对应 k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 k=0,1,2,3,4 k=0,1,2,3,4）
[*]D=2：整数耽误（通常设置为滤波器中间位置）
[*]alpha=0.8：通带截止频率为 0.8 π 0.8\pi 0.8π
[*]K=200 和 L=20：频率和 μ \mu μ 的采样点数
[*] 最小二乘题目构建：
[*]对每个 ( ω i , μ j ) (\omega_i, \mu_j) (ωi,μj) 计算抱负响应 H d = e − j ω ( D + μ ) H_d = e^{-j\omega(D+\mu)} Hd=e−jω(D+μ)
[*]将复数题目拆分为实部和虚部，构建实数矩阵 A A A 和向量 b b b
[*] 系数求解：
[*]利用 numpy.linalg.lstsq 求解最小二乘题目
[*]将结果向量转换为 5 × 5 5 \times 5 5×5 系数矩阵 C C C
[*] 性能验证：
[*]选择 μ = 0.5 \mu=0.5 μ=0.5 验证频率响应
[*]计算实际滤波器系数 h = ∑ m = 0 4 C [ k , m ] μ m h = \sum_{m=0}^4 C \mu^m h=∑m=04Cμm
[*]绘制幅度、相位响应和群时延，与抱负值对比
(2)输出结果
[*]系数矩阵：打印四舍五入后的系数矩阵，例如：[[ 0.0417 -0.08330.0833 -0.04170.0083]
[-0.16670.5 -0.5 0.1667 -0.0167]
[ 0.25 -0.5 0. -0.5 0.25]
[-0.16670.16670.5 -0.5 0.0833]
[ 0.04170.0833 -0.0833 -0.04170.0083]]
[*]图形验证：
[*]幅度响应在通带内平展，与抱负值（全通特性）匹配。
[*]相位响应和群时延靠近抱负值 D + μ D+\mu D+μ，误差在可接受范围内。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/d0d966a02a4c45be86ea1273aa0c671c.png#pic_center
(3)设计调整建议
[*]若通带性能不敷，可增长采样点数 K K K 或 L L L。
[*]若系数矩阵出现异常值，实验加入正则化项（在np.linalg.lstsq中设置rcond参数）。
[*]需要更高精度时，可利用凸优化库（如cvxpy）添加束缚条件。
总结
Farrow结构的系数设计本质是多变量优化题目，需衡量计算复杂度、逼近精度和实时性要求。最小二乘法是通用方法，拉格朗日插值得当低阶设计，而凸优化实用于高精度束缚场景。通过合理选择参数和优化目的，Farrow结构能高效实现动态群时延调整和分数耽误滤波。
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