在处理欧拉函数时如何利用逆元
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/878131fbf2704b55b8dcfd98a1aff7b2.png1. 逆元的引入
在盘算欧拉函数时，如果 (n) 是质数，那么 (\phi(n) = n - 1)，这是直接的结果。然而，当 (n) 是合数时，我们需要处理分母中的质因数 (p_i)。
为了高效盘算 (\phi(n))，尤其是在编程实现中，我们可以利用 模逆元 来处理分母中的 (p_i)。这是由于在模运算中，除法需要通过乘法逆元来实现。
2. 模逆元的界说
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/791df90fa4c44139b4d858796f8e9016.png
3. 欧拉函数公式中的逆元处理
[*] 盘算 (p_i) 的逆元：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/06f49e86fe834931bab329ba94692959.png
[*] 直接盘算分数：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/f00ef19c00354806b230ed1001b72122.png
4. 编程实现中的逆元处理
在编程实现中，如果我们需要在模 (M) 下盘算欧拉函数（比方在密码学中），可以利用 扩展欧几里得算法 来盘算逆元。
C++ 实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 扩展欧几里得算法求逆元
int extendedGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
if (a == 0) {
x = 0;
y = 1;
return b;
}
int x1, y1;
int gcd = extendedGCD(b % a, a, x1, y1);
x = y1 - (b / a) * x1;
y = x1;
return gcd;
}
// 计算 a 在模 m 下的逆元
int modInverse(int a, int m) {
int x, y;
int gcd = extendedGCD(a, m, x, y);
if (gcd != 1) {
return -1; // 逆元不存在
} else {
return (x % m + m) % m; // 确保结果为正
}
}
// 计算欧拉函数
int eulerPhi(int n) {
int result = n;
for (int p = 2; p * p <= n; p++) {
if (n % p == 0) {
while (n % p == 0) {
n /= p;
}
result -= result / p;
}
}
if (n > 1) {
result -= result / n;
}
return result;
}
int main() {
int n = 10;
cout << "Euler's Totient Function for n = " << n << ": " << eulerPhi(n) << endl;
return 0;
}
5. 总结
[*]在欧拉函数的公式中，(\frac{1}{p_i}) 可以通过直接盘算分数 (\frac{p_i - 1}{p_i}) 来处理。
[*]如果需要模运算下的欧拉函数，可以利用扩展欧几里得算法盘算逆元。
[*]欧拉函数的盘算在数论和密码学中有重要应用，比方 RSA 加密算法。
免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！更多信息从访问主页：qidao123.com:ToB企服之家，中国第一个企服评测及商务社交产业平台。
页:
[1]