【数学建模】（时间序列模型）ARIMA时间序列模型
ARIMA时间序列模型详解及常见时间序列模型概览1 弁言
时间序列分析在数据科学中占据重要职位，广泛应用于金融、经济、气象等领域。本文将具体介绍ARIMA模型的基本原理和应用，并简要概述其他常见的时间序列模型，资助读者了解时间序列分析的全貌。
2 ARIMA模型的基本概念
ARIMA模型全称为自回归差分移动匀称模型（AutoRegressive Integrated Moving Average），由三部门构成：
[*]AR (AutoRegressive): 自回归部门
[*]I (Integrated): 差分部门
[*]MA (Moving Average): 移动匀称部门
通常体现为ARIMA(p,d,q)，其中：
[*]p: 自回归项数
[*]d: 差分次数
[*]q: 移动匀称项数
ARIMA模型的基本头脑是利用数据本身的汗青信息来预测未来。一个时间点上的标签值既受过去一段时间内的标签值影响，也受过去一段时间内的偶然事件的影响，这就是说，ARIMA模型假设：标签值是围绕着时间的大趋势而波动的，其中趋势是受汗青标签影响构成的，波动是受一段时间内的偶然事件影响构成的，且大趋势本身不一定是稳定的。
简而言之，ARIMA模型就是试图通过数据的自相关性和差分的方式，提取出隐藏在数据背后的时间序列模式，然后用这些模式来预测未来的数据。其中：
[*] AR部门用于处理时间序列的自回归部门，它考虑了过去若干时期的观测值对当前值的影响。
[*] I部门用于使非平稳时间序列到达平稳，通过一阶或者二阶等差分处理，消除了时间序列中的趋势和季候性因素。
[*] MA部门用于处理时间序列的移动匀称部门，它考虑了过去的预测偏差对当前值的影响。
结合这三部门，ARIMA模型既可以捕捉到数据的趋势变化，又可以处理那些有临时、突发的变化或者噪声较大的数据。以是，ARIMA模型在很多时间序列预测问题中都有很好的体现。
3 ARIMA模型的构成部门详解
3.1 AR模型 (自回归模型)
AR模型，即自回归模型，其优势是对于具有较长汗青趋势的数据，AR模型可以捕获这些趋势，并据此举行预测。但是AR模型不能很好地处理某些范例的时间序列数据，比方那些有临时、突发的变化或者噪声较大的数据。AR模型信任“汗青决定未来”，因此很大水平上忽略了现实情况的复杂性、也忽略了真正影响标签的因子带来的不可预料的影响。
AR§模型假设当前值与过去p个时间点的值线性相关。数学表达式为：
X t = c + ϕ 1 X t − 1 + ϕ 2 X t − 2 + . . . + ϕ p X t − p + ε t X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t Xt=c+ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+...+ϕpXt−p+εt
其中：
[*] X t X_t Xt 是t时候的值
[*] c c c 是常数项
[*] ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ p \phi_1, \phi_2, ..., \phi_p ϕ1,ϕ2,...,ϕp 是模型参数
[*] ε t \varepsilon_t εt 是白噪声
3.2 MA模型 (移动匀称模型)
相反地，MA模型，即移动匀称模型，可以更好地处理那些有临时、突发的变化或者噪声较大的时间序列数据。但是对于具有较长汗青趋势的数据，MA模型可能无法像AR模型那样捕捉到这些趋势。MA模型信任“时间序列是相对稳定的，时间序列的波动是由偶然因素影响决定的”，但现实中的时间序列很难不停维持“稳定”这一假设。
（P.S. ARIMA模型是一种结合了AR模型和MA模型优点的模型，可以处理更复杂的时间序列问题。参考资料：时间序列模型(四)：ARIMA模型）
MA(q)模型假设当前值与过去q个预测偏差项线性相关。数学表达式为：
X t = μ + ε t + θ 1 ε t − 1 + θ 2 ε t − 2 + . . . + θ q ε t − q X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q} Xt=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+...+θqεt−q
其中：
[*] μ \mu μ 是期望值
[*] ε t \varepsilon_t εt 是白噪声
[*] θ 1 , θ 2 , . . . , θ q \theta_1, \theta_2, ..., \theta_q θ1,θ2,...,θq 是模型参数
3 I (差分)
差分操纵用于使非平稳时间序列转化为平稳序列（P.S. GNSS中的周跳检测）。d阶差分定义为：
∇ d X t = ( 1 − B ) d X t \nabla^d X_t = (1-B)^d X_t ∇dXt=(1−B)dXt
其中B是后移算子， B X t = X t − 1 B X_t = X_{t-1} BXt=Xt−1。
4 ARIMA模型的建模步调
[*]平稳性检验：使用ADF检验等方法检验时间序列是否平稳
[*]差分处理：如果序列非平稳，举行差分直到序列平稳
[*]模型辨认：通过ACF和PACF图确定合适的p、q值
[*]模型拟合：估计模型参数
[*]模型诊断：检验残差是否为白噪声
[*]模型预测：使用拟合好的模型举行预测
5 Python实现ARIMA模型
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
# 加载数据
data = pd.read_csv('data.csv', index_col='date', parse_dates=True)
ts = data['value']
# 平稳性检验
def test_stationarity(timeseries):
# ADF检验
dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')
dfoutput = pd.Series(dftest, index=['Test Statistic','p-value','#Lags Used','Number of Observations Used'])
for key, value in dftest.items():
dfoutput['Critical Value (%s)'%key] = value
print(dfoutput)
# 差分处理
ts_diff = ts.diff().dropna()
# 模型拟合
model = ARIMA(ts, order=(1, 1, 1))# ARIMA(p,d,q)
model_fit = model.fit()
print(model_fit.summary())
# 模型预测
forecast = model_fit.forecast(steps=10)# 预测未来10个时间点
6 常见时间序列模型概览
除了ARIMA模型外，时间序列分析还有很多其他模型，以下是一些常见的时间序列模型：
1. 简朴时间序列模型
[*]简朴匀称模型：使用汗青数据的匀称值作为预测值
[*]质朴模型（Naive Method）：使用最近一期的观测值作为预测值
[*]季候性子朴模型：使用上一个季候周期对应时间点的值作为预测值
[*]移动匀称模型：使用过去n个时间点的匀称值作为预测值
2. 指数平滑模型
[*] 简朴指数平滑（SES）：实用于无趋势、无季候性的数据
y ^ t + 1 = α y t + ( 1 − α ) y ^ t \hat{y}_{t+1} = \alpha y_t + (1-\alpha)\hat{y}_t y^t+1=αyt+(1−α)y^t
[*] Holt线性趋势模型：实用于有趋势、无季候性的数据
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \hat{y}_{t+h} …
[*] Holt-Winters季候性模型：实用于有趋势、有季候性的数据
[*]加法形式和乘法形式
3. ARIMA族模型
[*] SARIMA：季候性ARIMA，处理具有季候性的时间序列
S A R I M A ( p , d , q ) ( P , D , Q ) s SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s
[*] ARIMAX：带外生变量的ARIMA模型
X t = c + ϕ 1 X t − 1 + . . . + ϕ p X t − p + β 1 Z 1 , t + . . . + β k Z k , t + ε t + θ 1 ε t − 1 + . . . + θ q ε t − q X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + ... + \phi_p X_{t-p} + \beta_1 Z_{1,t} + ... + \beta_k Z_{k,t} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q} Xt=c+ϕ1Xt−1+...+ϕpXt−p+β1Z1,t+...+βkZk,t+εt+θ1εt−1+...+θqεt−q
[*] VARIMA：向量ARIMA，处理多变量时间序列
[*] GARCH：广义自回归条件异方差模型，用于建模波动性
σ t 2 = ω + ∑ i = 1 p α i ε t − i 2 + ∑ j = 1 q β j σ t − j 2 \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2 σt2=ω+i=1∑pαiεt−i2+j=1∑qβjσt−j2
4. 状态空间模型
[*]卡尔曼滤波：递归估计动态系统状态的算法
[*]结构时间序列模型：将时间序列分解为趋势、季候性和不规则成分
5. 机器学习和深度学习模型
[*]Prophet：Facebook开发的时间序列预测工具，适合处理具有强季候性的数据
[*]LSTM (长短期记忆网络)：一种特殊的RNN，可以或许学习长期依赖关系
[*]GRU (门控循环单元)：LSTM的简化版本，计算效率更高
[*]Transformer：基于注意力机制的模型，近年来在时间序列预测中体现出色
[*]N-BEATS：纯深度学习方法，不依赖于传统的时间序列分解
7 ARIMA模型的优缺点
优点
[*]理论底子扎实，模型简朴易懂
[*]实用于大多数线性时间序列问题
[*]预测短期趋势效果较好
[*]模型解释性强
缺点
[*]只实用于平稳或可通过差分转化为平稳的时间序列
[*]对非线性关系的建模能力有限
[*]须要较长的汗青数据才气得到较好的效果
[*]不适合处理具有长期记忆特性的序列
8 如何选择合适的时间序列模型
选择时间序列模型时，须要考虑以下因素：
[*]数据特性：是否存在趋势、季候性、周期性
[*]预测时间范围：短期预测和长期预测适合的模型不同
[*]数据量：深度学习模型通常须要更多的数据
[*]解释性需求：是否须要明白模型的内部机制
[*]计算资源：复杂模型须要更多的计算资源
9 结论
ARIMA作为经典的时间序列分析模型，在很多场景下仍旧体现良好。随着机器学习和深度学习的发展，时间序列分析工具箱不断丰富，为不同的应用场景提供了更多选择。在现实应用中，应根据具体问题特点选择合适的模型，有时候甚至可以将多种模型结合使用，以得到更好的预测效果。
参考资料
[*]Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control.
[*]Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice.
[*]statsmodels官方文档: https://www.statsmodels.org/
[*]时间序列模型(四)：ARIMA模型
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