条件概率、概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式
界说 设P(A)>0P(A) > 0P(A)>0，若在随机变乱AAA发生的条件下随机变乱BBB发生的概率记作P(B∣A)P(B|A)P(B∣A)，界说P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)
则称P(B∣A)P(B|A)P(B∣A)是变乱AAA发生的条件下变乱BBB发生的条件概率。
定理 设A,BA, BA,B为两个随机变乱且P(A)>0P(A) > 0P(A)>0，则
P(AB)=P(B∣A)P(A)(1.1)P(AB) = P(B|A)P(A) \tag{1.1}P(AB)=P(B∣A)P(A)(1.1)
大概，若P(B)>0P(B) > 0P(B)>0，则
P(AB)=P(A∣B)P(B)(1.2)P(AB) = P(A|B)P(B) \tag{1.2}P(AB)=P(A∣B)P(B)(1.2)
式 (1.1) 和式 (1.2) 都称为概率乘法公式。
概率乘法公式可以推广到多个变乱的环境：设A1,A2,⋯ ,AnA_1, A_2, \cdots, A_nA1,A2,⋯,An是先后相继的nnn个随机变乱，且满意P(A1A2⋯An−1)>0P(A_1 A_2 \cdots A_{n-1}) > 0P(A1A2⋯An−1)>0，则
P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 A_2) \cdots P(A_n|A_1 A_2 \cdots A_{n-1})P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)
界说 设Ω\varOmegaΩ为随机试验EEE的样本空间，B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn为EEE的一组随机变乱，若
(1)BiBj=∅,i≠j,i,j=1,2,⋯ ,nB_i B_j = \varnothing, i \neq j, i, j = 1, 2, \cdots, nBiBj=∅,i=j,i,j=1,2,⋯,n;
(2)B1∪B2∪⋯∪Bn=ΩB_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = \varOmegaB1∪B2∪⋯∪Bn=Ω,
则称B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn为样本空间Ω\varOmegaΩ的一个分别（或完备变乱组）。
注：∑i=1nBi=Ω\sum\limits_{i=1}^{n} B_i = \varOmegai=1∑nBi=Ω也可以作为分别的界说。
定理设B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn为样本空间Ω\varOmegaΩ的一个分别且P(Bi)>0,i=1,2,⋯ ,nP(B_i) > 0, i = 1, 2, \cdots, nP(Bi)>0,i=1,2,⋯,n，则对于恣意随机变乱AAA有
P(A)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi),(1.3)P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i), \tag{1.3}P(A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi),(1.3)
式 (1.3) 称作全概率公式。
证明 由于A=AΩ=A∑i=1nBi=∑i=1nABiA = A \varOmega = A \sum_{i=1}^{n} B_i = \sum_{i=1}^{n} AB_iA=AΩ=A∑i=1nBi=∑i=1nABi，以是
P(A)=P(∑i=1nABi)=∑i=1nP(ABi)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(A) = P\left( \sum_{i=1}^{n} AB_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(AB_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)P(A)=P(i=1∑nABi)=i=1∑nP(ABi)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)
全概率公式突出了一个“全”，即任何随机变乱AAA发生的概率是其全部影响因素B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn的综互助用效果，即其各个影响因素的加权均匀，各自的权重是每个因素出现的概率P(Bi),i=1,2,⋯ ,nP(B_i), i = 1, 2, \cdots, nP(Bi),i=1,2,⋯,n。
图片中的内容是关于全概率公式的最简单情势。详细如下：
全概率公式的最简单情势
假如0<P(B)<10 < P(B) < 10<P(B)<1，则
P(A)=P(B)P(A∣B)+P(B‾)P(A∣B‾)P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B})P(A)=P(B)P(A∣B)+P(B)P(A∣B)
这个公式表现变乱AAA发生的总概率可以通过在变乱BBB发生和不发生两种环境下的条件概率加权求和得到。
定理 设B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn为样本空间Ω\varOmegaΩ的一个分别且P(Bi)>0,i=1,2,⋯ ,nP(B_i) > 0, i = 1, 2, \cdots, nP(Bi)>0,i=1,2,⋯,n，则对于恣意随机变乱AAA且P(A)>0P(A) > 0P(A)>0有
P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑j=1nP(A∣Bj)P(Bj),i=1,2,⋯ ,n(1.4)P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}, i = 1, 2, \cdots, n \tag{1.4}P(Bi∣A)=j=1∑nP(A∣Bj)P(Bj)P(A∣Bi)P(Bi),i=1,2,⋯,n(1.4)
式 (1.4) 称作贝叶斯 (Bayes) 公式。
P(Bi∣A)P(B_i|A)P(Bi∣A)：后验概率，表现在变乱 AAA 发生的条件下，条件 BiB_iBi 发生的概率。
P(A∣Bj)P(A|B_j)P(A∣Bj)：类条件概率，表现在条件 BjB_jBj 存在时，效果变乱 AAA 发生的概率。
P(Bj)P(B_j)P(Bj)：先验概率，表现各不相容的条件存在的概率，与效果 AAA 是否出现无关，仅表现根据先验知识或主观判断，以为总体上各条件出现的大概性有什么差异。
P(A)P(A)P(A)：效果 AAA 在各个条件下出现的总体概率。
贝叶斯公式是使用已有结论重新评估或修正各个条件出现的概率，公式中的P(Bi)P(B_i)P(Bi)和P(Bi∣A)P(B_i|A)P(Bi∣A)分别称作缘故原由或条件的先验概率和后验概率。P(Bi),i=1,2,⋯ ,nP(B_i), i = 1, 2, \cdots, nP(Bi),i=1,2,⋯,n是在没有进一步信息（不知道变乱AAA是否发生）的条件下认定的各条件发生的概率；在得到了新的信息（变乱AAA已经发生）后，对先前各条件发生概率的修正，即形成概率P(Bi∣A)P(B_i|A)P(Bi∣A)。
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