3b1b线性代数底子
零、写在前面3b1b之前没认真看，闲了整理整理。
一、向量
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学习物理的时间，向量是空间中的箭头。由其方向和长度决定。
学习数据结构的时间，向量是有序的数字列表。向量的每一维度有着差异寄义。
线性代数中，我们通常以为**向量（vector）**是在某个坐标系中，以原点为出发点的箭头。
向量的**坐标（coordinates）**由一组数字构成，其寄义为：怎样从原点（向量出发点）出发到达坐标系中某个点（向量末了）。
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对于向量，我们通常写成一个竖着的列表。
向量围绕两种根本运算：向量加法和向量数乘。
向量加法：将相加的两个向量列表的对应位置数字相加，得到的新向量就是向量加法的效果，它形貌的是下图中的紫色向量。
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分别沿着两个向量移动，等价于直接走相加向量。
向量数乘：将一个标量(scalar)和给定向量的各项相乘，得到的新向量为向量数乘的效果。数乘的本质就是对向量的缩放(scaling)
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二、线性组合、张成的空间与基
向量围绕两种根本运算：向量加法和向量数乘。
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向量坐标着实就是 数乘后的**基向量(basis vector)**相加 的体现。
如上图的 i j 向量，就是 xy 坐标系的**“基向量”**。
如果我们选择差异的基向量，就会得到公道的新坐标系。
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两个数乘向量的和称为两个向量的线性组合(linear combination)。
3b1b作者如许明确“线性”：当固定一个向量，只有另一个向量发生数乘厘革，所产生向量的中点会描出一条直线：
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如果让数乘的标量随意厘革，大多数环境下我们可以抵达空间中恣意一点。
固然如果所选取的基向量共线那么只能在一个方向上延伸。
如果选取的是零向量，就只能呆在原点了。
上述的更严酷表达：一组向量的恣意线性组合构成了给定向量张成的空间(span)
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如果有一组向量，我们可以移除此中一个向量而不淘汰张成的空间，我们称这组向量是**线性相干(linearly dependent)**的。
否则，如果全部向量都给张成的空间增长了新的维度，我们称这组向量为**线性无关(linearly independent)**的。
基的严酷界说：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
三、矩阵与线性变动
线性变动可以是函数的另一种说法。我们思量吸收一个向量输入，并给出一个向量输出。
从多少上看，线性变动是“保持网格线平行且等距分布”的变动。
怎样用数值形貌线性变动？——形貌变动后基向量即可。
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如许一来，不难懂确盘算多少中的旋变化更是怎么来的了。
线性变动是一种利用空间的本领，它保持网格线平行且等距分布，而且保持原点不动。
四、矩阵乘法与线性变动复合
如果我们想要形貌如许一种作用：一个变动之后再举行另一个变动。
好比我们想要先旋转，然后剪切，我们可以先对向量左乘一个旋转矩阵，得到的效果再左乘一个剪切矩阵。
究竟上我们可以用一个新的线性变动来体现这两个独立变动相继作用。这个新的线性变动通常被称为前两个独立变动的“复合变动(composition)”
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复合矩阵的盘算就是矩阵乘法。
一个矩阵左乘另一个矩阵盘算方式为：对右部矩阵的每个基向量施加左部矩阵的线性变动，得到的新的基向量构成的矩阵，就是两个变动的复合变动矩阵。
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矩阵乘法显然不符合交换律，由于变动施加次序影响变动效果。
矩阵乘法显然符合团结律，由于将多少变动复合为一个复合变动，本质仍旧是从右往左依次变动。
五、行列式
线性变动实现对空间的挤压/拉伸，那么以二维空间为例，我们怎样形貌挤压/拉伸后的面积？
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我们施加上图的线性变动，发现原来的单位正方形的面积为原来的6倍。
现实上，你只要知道这个单位正方形面积厘革的比例，我们就能知道恣意地域的面积厘革比例。
由于无论怎么线性变动，网格线保持平行且等距分布。
**行列式(determinant)**的值就是地域面积的厘革比例。
那么怎样表明行列式的值大概为负数？
仍以二维平面为例，基向量 j 初始在 i 的左边，我们施加线性厘革后，如果 j 在 i 右边，那么空间定向发生改变，即为什么面积厘革比例会是负数。
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当我们讨论的对象变成三维空间，行列式的值就是体积厘革比例。
我们关注单位正方体的厘革环境。
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他大概会变成平行六面体。
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那么怎样表明三维空间下行列式值为负的环境呢？
三维空间的定向我们通常用右手定则来表述。
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如果变动后我们仍能用右手定则表述，那么面积厘革比例为正，如果只能用左手表述，那么为负。
然而怎样盘算行列式值呢？
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固然，大多数线性代数教科书上会有其他方式盘算更高阶的行列式的方法。
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明确了行列式的意义，也就不难懂确下面这个式子：
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六、逆矩阵、列空间与零空间
前面先容了线性代数对空间的利用，然而它能被广泛应用于险些全部范畴的一大缘故起因是：它可以或许资助我们求解特定的方程组。
在这些方程组中，未知量只有常系数，这些未知量之间只举行加和，没有幂次、奇怪的函数、未知量的乘积等等。
我们通常令未知量处于等号左边，常数项放在等号右边。未知量竖直对齐。
如下图，就被称为线性方程组(linear system of equations)
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究竟上，我们可以将全部的方程归并为一个向量方程：
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A x = v 意味着我们在探求一个 向量 x 使得它施加了 A如许一个线性变动后和 向量 v 重合。
如果A这个变动并没有举行降维，即行列式非0，那么我们可以找到A 的逆变动 A−1A^{-1}A−1，从而求解x：
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由于此时逆变动唯一，以是我们有唯一解
但是如果行列式值为0，不存在从低维到高维的变动，以是无解？
究竟上，纵然不存在逆变动，解仍旧大概存在！
好比，一个变动将空间压缩为一条直线，如果v 恰好在这条直线上，那么显然是有解的。https://dis.qidao123.com/imgproxy/aHR0cHM6Ly9pLWJsb2cuY3NkbmltZy5jbi9kaXJlY3QvNGZiMTBlYzgzNGY4NGUxY2I2Yzc0MGI0NDBmNzE0YWMucG5n
我们留意到一些零行列式的环境比其他环境更加严酷，比方三维矩阵将空间压缩为一条直线，此时解存在的难度更高了。
除了零行列式外，我们有特定的术语来形貌它们：秩(rank)
如果变动的效果为一维，即一条直线，我们称该变动的 秩(rank) 为1
如果变动后的向量落在某个二维平面上，我们称变动的 秩(rank) 为2
也就是说，**秩(rank)**代表着变动后的空间的维数。
矩阵全部大概的变动效果的聚集，称为矩阵的”列空间(column space)“
当秩到达最大值，即和列数相称，我们称之为满秩(full rank)。
留意到，零向量肯定会被包罗在列空间中，由于线性变动必须包管原点的位置稳固。
对于一个满秩矩阵而言，唯一在变动后能落在原点的向量就是零向量自己。
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对于一个非满秩矩阵而言，会有一系列的向量变动后能落在原点。
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变动后落在原点的向量的聚集，被称为矩阵的**“零空间(null space)”或“核(kernal)”**。
至于怎样具体求解各种线性方程组，可以翻阅相干教科书。
我们再来看看非方阵的环境。
汤神：三行四列的行列式怎么算？
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上例中的三行二列矩阵的列空间是：三维空间中一个过原点的二维平面，留意到这个矩阵仍旧是满秩的，由于列空间维数和输入空间维数相称。
三行二列矩阵的寄义：将二维空间映射到三维空间上。
[*]两列：输入空间有两个基向量
[*]三行：每一个基向量变动后都将由三个独立坐标来体现
再来看另一个例子：
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输入空间有三个基向量，两行表明三个基向量在变动后都仅用两个坐标来形貌。
因此，这是一个从三维空间到二维空间的变动。
七、点积与对偶性
点积在高中数学中就有所涉及，在大多数线性代数课程中也都是比力靠前的内容。
给定两个维数雷同的向量，求它们的点积，就是将相应坐标配对，每对坐标乘积相加，就是我们点积的效果。
多少表明：
两个向量的点积就是一个向量在另一个向量的方向上做投影，投影长度和向量长度相乘就是效果。
但是为什么坐标相乘效果之和会与投影有关呢？
我们必要关注更深条理的东西——对偶性(duality)
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不少函数可以或许吸收二维向量而且输出一个数，但是线性变动有着更严酷的要求：
如果有一系列等距分布于一条直线上的点，然后应用变动，线性变动会保持这些点等距分布于输出空间中，即数轴上，否则该变动就不是线性的。
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如果在二维平面中，我们有一个变动将 i hat 和 j hat 分别变动至数轴上的 1 和 -2，那么对于向量 v = (4, 3)，就被变动为4 - 3 * 2 = -2
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好像将向量转化为数的线性变动和这个向量自己有着某种关系。
我们说点积就是一个从二维向量到数的线性变动，那么左乘的1x2矩阵就是一个投影矩阵，我们怎样找到这个矩阵？
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我们思量如许一条颠末原点的数轴，u 是恰好落在数轴上的单位向量，我们发现将 i hat 和 j hat 分别向数轴做投影，投影长度恰好分别为u 的横纵坐标。
这究竟上就是变动后的 i hat 和 j hat的位置，即矩阵的列
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这就是为什么向量的点积可以解读为将向量投影到单位向量地点直线上所得到的投影长度。
对于非单位向量，我们只需将u 放大相应倍数即可。
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任何时间我们看到一个线性变动，它的输出空间是一维数轴。无论其怎样界说，空间中会存在唯一的向量v 与之相干。应用变动和与向量v做点积是一样的。
八、叉积
8.1 标准先容
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这里给一个非严酷的叉积界说，在二维平面中，我们称 向量v 和 向量w 构成平行四边形的有向面积为向量v 和向量w 的叉积。
正负通过右手定则判定，右手四指从v 弯向 w，大拇指朝外，则为正，否则为负。
仍以二维平面为例，盘算方式如下：将v 作为 二维矩阵第一列，w 作为第二列，行列式的值就是叉积效果。
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究竟上，叉积是通过两个三维向量天生一个新的三维向量。
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盘算方式如下：
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得到的新的三维向量的长度为v 和 w 围成的平行四边形的面积。
8.2 线性变动的角度
前面知道了，向量 v 叉积 向量 w 的效果为垂直于 v 和 w，长度即是 平行四边形面积的向量，满足右手定则。
但是怎样验证这个究竟？
回首一下对偶性
对偶性的头脑在于，当我们看到一个（多维）空间到数轴的线性变动，它都与谁人空间中唯逐一个向量对应，即应用线性变动和这个向量点乘等价。
从数值上说，这类线性变动是一个一行的矩阵，每一列给出了变动后数轴上的基向量的位置。
总之，只要看到（从空间）到数轴的线性变动，我们总能找到一个厘革的对偶向量(dual vector)。
[*]通过v 和 w 构造线性变动
[*]求出对偶向量
[*]这个求对偶向量的过程就是通过行列式盘算叉积的过程
我们实行分析一下：
我们假设有如许一个函数，一个输入向量，一个输出值，行列式盘算效果代表平行六面体的体积。
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究竟上这个函数是线性的（行列式的分行可加性）
从而阐明这个函数是从三维空间到一维空间，那么就存在一个1 * 3的矩阵来体现这个线性变动，即存在一个对偶向量。
我们把这个线性变动写成和对偶向量的点积，并实行体现出对偶向量 p
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我们发现对偶向量就是 v 和 w 坐标的线性组合
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还记得我们必要表明这一点：体现叉积的行列式的第一列为什么是 i-hat，j-hat，k-hat？
我们用对偶向量p来体现的话就是p 点成一个向量，使得该向量为行列式第一列，满足：行列式值是 该向量和 v、w 形成的平行四边形构成的平行六面体的有向面积。
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而点积的多少意义是一个向量在另一个向量的投影长度乘另一个向量的长度。而p的长度为平行四边形的面积，这阐明 (x, y, z) 在 p 上的投影长度为 平行六面体的高，也就是说 p 是垂直于 v 和 的！！！
这就是叉积盘算过程和多少表明有关的根本缘故起因！
这也表明白为什么教科书上 三个向量叉积效果会通过三者构成的行列式来盘算。
九、基变动
对于同一个向量，我们在差异坐标系下的体现是差异的，由于基向量差异：
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固然差异坐标系基向量差异，但是原点雷同。
题目是：怎样在差异坐标系之间举行转化？
好比在基向量为：b1=[−1,2]Tb_1 = [-1, 2]^{T}b1=[−1,2]T, b2=[−4,1]Tb_2 = [-4, 1]^{T}b2=[−4,1]T的空间下我们对向量 [−1,1]T[-1, 1]^T[−1,1]T举行线性变动
那么我们在基向量为 b3=Tb_3 = ^{T}b3=T, b4=Tb_4 = ^{T}b4=T的空间下怎样形貌谁人向量？
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着实就是想要找到一个线性变动，使得在 第二个空间下可以或许把 [−1,1]T[-1, 1]^T[−1,1]T 变动到相应位置
我们不妨想到，我们可以先施加一个第一个空间的逆变动，将其变动到第二个空间，然后再施加对应变动，然后再施加第一个空间的变动给其变动归去，如许就能到达我们的目标了。
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在图形学中我们那些复杂的旋转，平移，各种变动着实都是雷同头脑。
我们在天然坐标系中很容易写出逆时针旋转90°的旋转矩阵，但是换了个其他坐标系就不会了，那么我们固然可以先逆变动到天然坐标系，做完旋转，再变动归去，效果是一样的。
固然，要留意线性变动的施加次序
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在大多数教科书上都会讲授相似矩阵，着实所谓的 A−1MA=BA^{-1}MA = BA−1MA=B的寄义就是先逆变动，然后施加我们想要的变动，然后再把视角变动归去。
十、特性向量与特性值
已知矩阵就是一种线性变动，如果我们关注线性变动对某一直量的作用，我们发现对于一个线性变动而言，它使得空间中大部门向量偏离其原有的方向。
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但我们大多数时间，都能发现有些向量不会偏离方向，而仅仅是长度发生了厘革。
https://dis.qidao123.com/imgproxy/aHR0cHM6Ly9pLWJsb2cuY3NkbmltZy5jbi9kaXJlY3QvYTEzNjUyNTgxMjdjNGJiOGIwN2RhMWE1YzJjNTFjZmMucG5n
上图中的线性变动使得[−1,1]T[-1, 1]^T[−1,1]T 和 x 轴上的向量长度分别变为原来的 2倍 和 3倍。
这些特别向量被称为变动的**“特性向量(eigenvector)”，缩放倍数称为特性向量的特性值(eigenvalue)**
特性向量有何用途？
好比三维空间中，我们施加旋变化更，那么特性向量就是旋转轴，这比思考相应的3*3矩阵要直观的多。
值得一提的是，作为旋转轴的特性向量的特性值为1，由于旋转自己不发生缩放。
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简朴先容下特性值和特性向量的盘算头脑，具体过程各教科书上都有。
Av→=λv→Av→−(λI)v→=0→(A−λI)v→=0→\begin{align}A\overset{\rightarrow}{v} &= \lambda \overset{\rightarrow}{v} \\ A\overset{\rightarrow}{v} - (\lambda I) \overset{\rightarrow}{v}&=\overset{\rightarrow}0 \\(A - \lambda I) \overset{\rightarrow}{v} &= \overset{\rightarrow}0\end{align}Av→Av→−(λI)v→(A−λI)v→=λv→=0→=0→
上式 I 为单位矩阵
我们根据行列式为 0 便可得到关于 λ 的方程，解方程求解 λ 即可
随着λ的厘革，行列式的多少意义（面积），也在一连厘革，当这个变量使得面积=0的时间，这个变量就是特性值。显然有多个零点，n阶矩阵最多有n个特性值。
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偶然间也会出现关于λ的方程无解大概不存在实数解的环境。
没有实数解阐明不存在特性向量。不外特性值出现复数的环境一样平常对应于变动中的某种旋转。
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也会出现只有一个特性值，但是特性向量不止在一条直线上的环境。
（下图中唯一的特性值是2，但是空间中每一个向量都是特性向量）
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末了先容一下特性基，这将显现相似对角化的原理。
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对于一个对角矩阵，它的解读方式：全部基向量都是该变动的特性向量，特性值就是就是矩阵的对角元。
当特性向量为基底的时间，会有什么长处？
复杂的线性变动可以看成对于特性向量的伸缩。
团结前面基变动的知识，对于一个复杂线性变动，如果我们可以或许找到富足多(其张成为整个空间)的特性向量，那么我们使用这些特性向量构成的基变动矩阵以及其逆，可以将复杂线性变动简化。
如果我们要求三维矩阵 A100A^{100}A100，我们有其特性向量构成的基变动矩阵，特性值分别为 λ1,λ2,λ3\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3λ1,λ2,λ3
那么肯定可以得到如劣等价变动：
P−1AP=[λ1000λ2000λ3]\begin{align}P^{-1} A P = \begin{bmatrix} \lambda1 & 0 & 0 \\0 & \lambda2 & 0 \\0 & 0 & \lambda3\end{bmatrix}\end{align}P−1AP=λ1000λ2000λ3
为什么？
由于我们先施加P，然后再施加A，A只会把特性向量拉伸相应倍数，然后再还原，等价于只对特性向量举行拉伸， 等价为对角元为特性向量的对角阵。
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固然，条件是我们能找到**”富足多“**的特性向量。
an=15[(5+12)n−(5−12)n]a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{(\sqrt5+1}{2})^n−\frac{(\sqrt5-1}{2})^n]an=51
这是斐波那契数列的另一种通项写法，我们从特性向量的角度求解：
如果相识过斐波那契数列，应该都会写下面这个递推：
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
1 & 1 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_{n - 1} \
f_n \
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
f_{n} \
f_{n + 1} \
\end{bmatrix}
究竟上，递推矩阵的特性向量如下：究竟上，递推矩阵的特性向量如下：究竟上，递推矩阵的特性向量如下：
\overset{\rightarrow}{v_1}
=
\begin{bmatrix}
2 \
1+\sqrt{5} \
\end{bmatrix}
\
\overset{\rightarrow}{v_2}
=
\begin{bmatrix}
2 \
1-\sqrt{5} \
\end{bmatrix}
$$
我们会如许求解f(n)：
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
1 & 1 \
\end{bmatrix}
^n
\begin{bmatrix}
f_{0} \
f_1 \
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
f_{n} \
f_{n + 1} \
\end{bmatrix}
$$
但是相识了特性基之后，我们可以通过 基变动的方式求解，然后就可以或许推出上面谁人复杂的式子（敲latex太累了，不敲了）。
十一、抽象向量空间
我们前面明确向量，可以把向量看成空间中的箭头，然后用实数坐标来形貌。也可以把实数坐标看成向量，用空间中的向量来形象地形貌它们。
究竟上，线性代数中的各种运算着实和基向量大概说坐标系的选取无关：
[*]行列式和特性向量
[*]可加性(additivity)：先加在变动=先变动再加
[*]成比例(scaling)：先乘再变动=先变动再乘
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我们不停一来用实数坐标来形貌向量，如果我们用其他东西来形貌向量，又该怎样明确**空间(space) / 空间性(spatial)**呢？
我们以函数(function)为例：
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仍旧满足可加性和成比例
由于我们对向量所能举行的操纵无非相加和数乘两种。
那么函数意义下的向量，又该怎样明确线性变动呢？
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求导就是一种线性变动，由于它从一个函数（向量）厘革到了另一个函数（向量）
固然，在微积分中，我们称之为算子(operator)，而非变动。
“一个函数变动时线性的” 的寄义：
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线性变动**保持(preserve)**向量加法运算和数乘运算。
求导就是一种线性运算：
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我们也可以用矩阵来形貌求导：
https://dis.qidao123.com/imgproxy/aHR0cHM6Ly9pLWJsb2cuY3NkbmltZy5jbi9kaXJlY3QvYzY1ZWZkMGIzZGFmNGE2MTlhMTk4Njc3MDM2NGJmMGMucG5n
线性代数中的概念和函数中的概念的类比：
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数学中有很多雷同向量的事物，只要处置处罚的对象具有公道的数乘和相加概念，不管是空间中的箭头、一组数、函数的聚集、照旧界说的其他东西，线性代数中全部关于向量、线性变动和其他概念都实用于它。
雷同向量的事物，好比箭头、一组数、函数等，它们构成的聚集被称为**“向量空间"**。
十二、克莱姆法则多少表明
以二维平面为例，行列式的值代表平行四边形面积变动后的厘革比例。
以下面这个方程组为例：
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变动前，T^TT 和 T^TT 围成的平行四边形的面积为y
变动后，T^TT 变动为 T^TT ，显然变动后 T^TT 和 T^TT围成的平行四边形的面积已知：用更换T^TT得到的行列式的值
又由于，变动背面积和变动前面积比例为行列式的值
那么 y=变动后的面积变动矩阵的行列式值y = \frac{变动后的面积}{变动矩阵的行列式值}y=变动矩阵的行列式值变动后的面积
这就是克莱姆法则的多少表明。
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