最大流学习笔记
由于本人太弱，可能讲解有误，请读者指出。什么是网络流
网络流是通过构建从源点到汇点的有向图模型来解决图论问题。从理论上讲，网络流可以处理所有二分图问题。
二分图和网络流的难度都在于问题建模，一般不会特意去卡算法效率，所以只需要背一两个简单算法的模板就能应付大部分题目了。
最大流问题
什么是最大流
例题
P3376 【模板】网络最大流
解释例题
将一些物品从结点 \(s\) 运输到结点 \(t\)，其中可以通过其他的结点中转，每条边都有一条运输物品上限，求最多有多少物品可以从结点 \(s\) 运输到结点 \(t\)。
概念
源点：即结点 \(s\)，出发点。
汇点：即结点 \(t\)，结束点。
容量：记 \(c(u,v)\)，从结点 \(u\) 到结点 \(v\) 的边的运输物品数量上限，若结点 \(u\) 与结点 \(v\) 之间不存在边，\(c(u,v)=0\)。
流量：记 \(f(u,v)\)，从结点 \(u\) 到结点 \(v\) 的边实际运输物品数量。
残量：每条边的容量与流量之差。
由于若将物品从结点 \(u\) 运输到结点 \(v\)，再又将物品运回来是没有任何意义的，所以可以规定 \(f(u,v)=-f(v,u)\)。
如图：每个边上第一个数是流量，第二个数是容量
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性质
通过这些概念，我们就可以从中挖掘出一些性质：
[*]容量限制：\(f(u,v)\le c(u,v)\)。
[*]斜对称性：\(f(u,v)=-f(v,u)\)。
[*]流量平衡：\(\sum\limits_{u\ne\{s,t\},(u,v)\in E}f(u,v)=0\)。
这是最大流的重要性质，同时也是它的条件。
增广路算法
增广路算法思想很简单：从零流开始不断的增加流量，每一次增加要保持三条性质就行了。
我们通过每一条边的残量建边，对对原有边建立反向边，得到一个残量网络，注意这里边的数量可能达到原图的两倍：
https://img2023.cnblogs.com/blog/3180703/202307/3180703-20230728194955745-1679945817.pnghttps://img2023.cnblogs.com/blog/3180703/202307/3180703-20230728195503380-1454845009.png
这样，我们只需要基于这样的事实：残量网络中的任何一条 \(s\) 到 \(t\) 的有向道路都对应着一条原图中的增广路。只需要求出该道路中的所有残量最小值 \(d\)，把所对应的所有边上的流量增加 \(d\) 即可，这个过程就叫增广。如图，红色的就是一条增广路。
https://img2023.cnblogs.com/blog/3180703/202307/3180703-20230729104800499-300777068.png
不难验证在增广之后它还是满足三条性质的。
如果当图中不存在增广路时，就说明当前流就是最大流了。
这就是增广路定理。
实现——Edmonds-Karp 算法
对于查找路径，我们可以选用 DFS 或 BFS，但是如果用 DFS 则一不小心就会超时，所以应该选用 BFS来实现，时间复杂度 \(O(nm^2)\)。
Code
int Bfs() {
memset(pre, -1, sizeof(pre));
for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) flow = INF;
queue <int> q;
pre = 0, q.push(S);
while(!q.empty()) {
int op = q.front(); q.pop();
for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
if(i==S||pre!=-1||c==0) continue;
pre = op; //找到未遍历过的点
flow = min(flow, c); // 更新路径上的最小值
q.push(i);
}
}
if(flow==INF)return -1;
return flow;
}
int Solve() {
int ans = 0;
while(true) {
int k = Bfs();
if(k==-1) break;
ans += k;
int nw = T;
while(nw!=S) {//更新残余网络
c] -= k;
c] += k;
nw = pre;
}
}
return ans;
}
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