支持向量机(SVM): 从理论到实践的指南（1）
支持向量机（SVM）被誉为数据科学领域的重量级算法，是呆板学习中不可或缺的工具之一。SVM以其精良的泛化本领和对高维数据的管理而备受推崇。本文旨在梳理SVM的焦点概念以及其在现实场景中的应用。SVM的焦点理念
SVM专注于为二分类题目找到最佳决定边界，即超平面，该平面能最大化两类数据之间的清闲或间隔。线性SVM假设用一个直线（或高维空间中的超平面）足以有效地分隔数据。当碰到重叠或乱七八糟散布的数据时，软间隔SVM答应某些点位于错误的边界一侧，这通过引入松懈变量与罚项系数C来实现，从而提供一个妥当的平衡方案。
算法实现
SVM通过转化优化题目为其对偶情势并使用拉格朗日乘子法来办理。这不仅简化了求解过程，还能自然地加入核技巧(Kernel trick)来处理非线性可分的数据集。
具体算法描述>>>>
一个经典案例
为了具体说明SVM的应用，我们考虑了一个著名的数据集。
[*]鸢尾花分类：鸢尾花数据集由三个品种的鸢尾花构成，每一种都有50个样本和4个特征。对于二分类使命，我们专注于将Setosa从Versicolour中区分出来。
实践应用
使用MindOpt APL，一种强大的代数建模语言和求解器，我们可以更高效地构建和办理SVM优化题目。在练习阶段，算法学习数据的模式，并找到分隔差别类别的最优决定边界。一旦模型确定，我们便可用其做出预测并评估其在未见数据上的性能。
clear model;
####################################################
#
# Vectorization Modeling Example
# Linear SVM
#
####################################################
option modelname svm_02; #定义存储文件名
# ----------建模--------Start----
# svm_02.mapl
# 1.读取iris的用于构建SVM模型的训练数据
param data_dir = "./data/iris_data-train.csv";
param X = read_csv( data_dir, use_col="0,1,2,3",skip=1);
param y = read_csv( data_dir, use_col=4,skip=1);
param dataNum = X.row;
param dataDim = X.col;
print "总共有{}个数据，每个数据有{}维"%dataNum,dataDim;
# 2.LinearSVM问题建模
param C_rho = 0.2;
print "Param C is :{}"%C_rho;
print "Start modeling-------";
var w(dataDim) >= -1 <= 1; # Bounded Model Parameter
var b; #
var eps(dataNum) >= 0;
minimize 1/2 * w' * w + C_rho * sum(eps); #'是转置，目标函数
subto constraint:
eps >= 1 - (X*w +b).*y; #注意是向量化建模，因此相当于多条维度的约束
# 3.调用求解器求解
print "Start solving-------";
option solver mindopt;
solve;
# 4. 超平面的w取值
print "- Optimal w is:";
print w;
print "- Optimal b is:";
print b;
print "- eps is:";
forall { i in 0..dataNum-1 with eps > 0.001}
print "- eps[{}] = {} "%i,eps;
param obj_total_loss =1/2 * w' * w + C_rho * sum(eps); #'是转置
print "- obj of total loss is : {}"%obj_total_loss;
# 5.验证并分析结果
print "";
print "验证结果：-----";
param correctNum = sum{i in 0..dataNum-1} if((sum{j in 0..dataDim-1}w*X) +b )* y > 0 then 1 else 0 end;
param precision = correctNum / dataNum;
print "- Precision for train data is : {:.2f}" % precision;
#
print "";
print "导入测试数据验证效果：-----";
param data_dir_test = "./data/iris_data-test.csv";
param X_test = read_csv( data_dir_test, use_col="0,1,2,3",skip=1);
param y_test = read_csv( data_dir_test, use_col=4,skip=1);
param dataNum_test = X_test.row;
param dataDim_test = X_test.col;
print "- 总共有{}个数据，每个数据有{}维"%dataNum_test,dataDim_test;
print "|测试数据ID|实际标签|SVM预测标签是|";
print "|--|--|--|";
forall {i in 0..dataNum_test-1}
print "|{}|{}|{}|"%i,y_test, if((sum{j in 0..dataDim_test-1}w*X_test) +b ) > 0 then 1 else -1 end;
运行上述代码结果如下：
总共有80个数据，每个数据有4维
Param C is :0.2
Start modeling-------
Start solving-------
Running mindoptampl
wantsol=1
MindOpt Version 1.2.1 (Build date: 20240428)
Copyright (c) 2020-2024 Alibaba Cloud.
Start license validation (current time : 29-APR-2024 17:51:11).
License validation terminated. Time : 0.007s
Model summary.
- Num. variables : 85
- Num. constraints : 80
- Num. nonzeros : 480
- Bound range :
- Quad. bound range:
- Objective range :
- Quad. obj. range :
- Matrix range :
Presolver started.
Presolver terminated. Time : 0.000s
Interior point method started.
Iter PrimObj DualObj PrimFea DualFeaGapFea Mu Time
0 +1.56581101e+01 -1.06624290e+01 2.0e-01 2.6e-01 2.5e+00 6.2e-01 0.02s
1 +8.56566249e+00 -7.16779185e-01 5.4e-04 7.6e-03 9.3e+00 6.5e-02 0.04s
2 +9.75513434e-01 +2.94267093e-01 2.7e-05 1.4e-03 6.8e-01 4.1e-03 0.05s
3 +5.98630319e-01 +4.50898225e-01 4.2e-06 1.5e-04 1.5e-01 8.9e-04 0.05s
4 +5.12227038e-01 +4.88329845e-01 1.1e-08 1.2e-03 2.5e-02 1.5e-04 0.05s
5 +5.04653750e-01 +5.01437631e-01 9.7e-10 2.0e-04 3.2e-03 1.9e-05 0.06s
6 +5.02835294e-01 +5.02808740e-01 2.7e-12 5.4e-07 2.7e-05 1.6e-07 0.06s
7 +5.02821164e-01 +5.02821090e-01 7.1e-15 1.5e-09 7.3e-08 4.4e-10 0.06s
8 +5.02821125e-01 +5.02821124e-01 1.9e-16 4.1e-12 2.0e-10 1.2e-12 0.06s
Terminated.
- Method : Interior point method.
- Primal objective : 5.0282112458779E-01
- Dual objective : 5.0282112438583E-01
- Num. threads : 4
- Num. iterations : 8
- Solver details : Solver terminated with a primal/dual optimal status.
Interior point method terminated. Time : 0.046s
OPTIMAL; objective 0.50
0 simplex iterations
Completed.
- Optimal w is:
[[-0.16610],
[ 0.35465],
[-0.75422],
[-0.32403]]
- Optimal b is:
2.038087831121987
- eps is:
- eps = 0.08284647160625058
- eps = 0.05118542249112839
- eps = 0.26241815907236044
- eps = 0.04962685713002854
- obj of total loss is : 0.5028211245877855
验证结果：-----
- Precision for train data is : 1.00
导入测试数据验证效果：-----
- 总共有20个数据，每个数据有4维
|测试数据ID|实际标签|SVM预测标签是|
|--|--|--|
|0|1|1|
|1|1|1|
|2|1|1|
|3|1|1|
|4|1|1|
|5|1|1|
|6|1|1|
|7|1|1|
|8|1|1|
|9|1|1|
|10|-1|-1|
|11|-1|-1|
|12|-1|-1|
|13|-1|-1|
|14|-1|-1|
|15|-1|-1|
|16|-1|-1|
|17|-1|-1|
|18|-1|-1|
|19|-1|-1|
结果
上面的步伐运行结果如下：
其中，小数后几位是精度影响，每次会有变化，不影响结果。
统共有80个数据，每个数据有4维
Param C is :0.2
……
[*]Optimal w is: [[-0.16610], [ 0.35465], [-0.75422], [-0.32403]]
[*]Optimal b is: 2.038087831122001
[*]eps is:
[*]eps = 0.08284647160625147
[*]eps = 0.051185422491125426
[*]eps = 0.26241815907236443
[*]eps = 0.049626857130028075
[*]obj of total loss is : 0.5028211245877853
验证结果：-----
[*]Precision for train data is : 1.00
导入测试数据验证效果：-----
[*]统共有20个数据，每个数据有4维
[*] 测试数据ID现实标签SVM预测标签是01111121131141151161171181191110-1-111-1-112-1-113-1-114-1-115-1-116-1-117-1-118-1-119-1-1
可以看到，对于这份数据，盘算的超平面能很好地举行二分类，在测试聚集上也有100%的精确率，证实了SVM在现实题目中的有效性。
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