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大连密封材料 发表于 2024-6-29 06:56:20

C++ AVL树详细讲解

目次
一、AVL树的概念
二、AVL树的实现
1.AVL树节点的界说
2.AVL树的插入
3.AVL树的旋转
4.AVL树的验证
三、AVL树的性能
四、完结撒❀
一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在次序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能包管每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调解)，即可降低树的高度，从而淘汰均匀搜索长度。一棵AVL树大概是空树，大概是具有以下性子的二叉搜索树：       ● 它的左右子树都是 AVL 树    ● 左右子树高度之差 ( 简称均衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1） https://img-blog.csdnimg.cn/direct/b1b700ab90f143448b7a9acf200d03f2.png
如果一棵二叉搜索树是高度均衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log2 n)，搜索时间复杂度O(log2 n)。二、AVL树的实现

1.AVL树节点的界说

AVL树节点的界说：
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
}; 2.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了均衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：       1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点    2. 调解节点的均衡因子 bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}

Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//插入相同值
return false;
}
}

//找到cur所在位置
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}

   // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
//破坏了AVL树的平衡性

/*
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2
   1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足
AVL树的性质，插入成功
   2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此
时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
   3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
*/

//更新平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}

if (parent->_bf == 0)
{
//二叉树高度没问题，更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
         // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
         //双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性
//二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡
//判断是右单旋还是左单旋还是双旋

//右单旋
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
//...
}
//左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
//...
}
//左右双旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
            //...
}
//右左双旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
            //...
}

}
else
{
//理论上不会出现这种状况
assert(false);
}
}

return true;
} 3.AVL树的旋转

如果在一棵本来是均衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不均衡，此时必须调解树的结构，使之均衡化。根据节点插入位置的差别，AVL树的旋转分为四种：    1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 https://img-blog.csdnimg.cn/direct/fb6eec36a38e4da5872c2e9d0c8e373c.png
/*
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加
了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，
即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(Node Parent)
{
// SubL: Parent的左孩子
// SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该
Node SubL = Parent->_Left;
Node SubLR = SubL->_Right;
// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
Parent->_Left = SubLR;
// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
if (SubLR)
SubLR->_Parent = Parent;
// 60 作为 30的右孩子
SubL->_Right = Parent;

// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
Node Parent = Parent->_Parent;

// 更新60的双亲
Parent->_Parent = SubL;

// 更新30的双亲
SubL->_Parent = Parent;
// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
if (NULL == Parent)
{
_root = SubL;
SubL->_Parent = NULL;
}
else
{
// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
if (Parent->_Left == Parent)
Parent->_Left = SubL;
else
Parent->_Right = SubL;
}
// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
Parent->_bf = SubL->_bf = 0;
} 2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
https://img-blog.csdnimg.cn/direct/d75a8b3f4d0f4a14bdb1b8ad5a31b73f.png
//左单旋
void LNode(Node* parent)
{
/*if (parent == _root)
{
Node* pparent = nullptr;
}
else
{
Node* pparent = parent->_parent;
}*/
Node* pparent = parent->_parent;

Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;

parent->_left = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;

subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;

if (pparent)
{
subR->_parent = pparent;

if (pparent->_left = parent)
{
pparent->_left = subR;
}
else
{
pparent->_right = subR;
}
}
else
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}

parent->_bf = subR->_bf = 0;
}3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
https://img-blog.csdnimg.cn/direct/7a7d324df6624e2dbe182a4e8cfd662a.png
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑均衡因子的更新。 // 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
//行调整
void _RotateLR(Node Parent)
{
Node SubL = Parent->_Left;
Node SubLR = SubL->_Right;

// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子
int bf = SubLR->_bf;

// 先对30进行左单旋
_RotateL(Parent->_Left);

// 再对90进行右单旋
_RotateR(Parent);
if (1 == bf)
SubL->_bf = -1;
else if (-1 == bf)
Parent->_bf = 1;
} 4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
https://img-blog.csdnimg.cn/direct/b073c7fe1ddb458ea3656c29df483105.png
//右左双旋
void RLNode(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;

int bf = subRL->_bf;

RNode(parent->_right);
LNode(parent);

if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
//理论没有该状况
assert(false);
}
} 总结：    如果以Parent为根的子树不均衡，即Parent的均衡因子为2大概-2，分以下环境考虑    1）Parent的均衡因子为2，说明Parent的右子树高，设Parent的右子树的根为SubR    当 SubR 的均衡因子为 1 时，执行左单旋    当 SubR 的均衡因子为 -1 时，执行右左双旋    2）Parent的均衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL    当 SubL 的均衡因子为 -1 是，执行右单旋    当 SubL 的均衡因子为 1 时，执行左右双旋    旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经均衡，不需要再向上更新。4.AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上参加了均衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：             1. 验证其为二叉搜索树             如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树             2. 验证其为均衡树             ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有均衡因子)                 ● 节点的均衡因子是否盘算准确int _size(Node* root)
{
return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1；
}

int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}

return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}

bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}

int LeftHeight = _Height(root->_left);
int RightHeight = _Height(root->_right);

if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2)
{
return false;
}

//可以顺便再检查一下平衡因子
if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}

return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
} 三、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对均衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以包管查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对均衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构常常修改，就不太适合。四、完结撒❀

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最后我想讲的是，听说点赞的都能找到美丽女朋友❤
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C++ AVL树 详细讲解

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