Matlab方差分析
为了使生产过程稳固，到达优质、高产，必要对影响产风致量的因素进 行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面举行研究外，经常要作很多试验， 对结果作分析、比力，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。试验结果称为指标，试验中必要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为程度。根据因素个数可以分为：单因素方差分析和双因素方差分析。
目次
1.单因素方差分析
1.1数学模型
1.2 统计分析
1.3 方差分析表
1.4 Matlab 实现
（1）均衡数据
（2）非均衡数据
1.5 多重比力
2. 双因素方差分析
2.1 数学模型
2.2 无交互影响的双因素方差分析
编辑 2.3 关于交互效应的双因素方差分析
2.4 Matlab 实现
1.单因素方差分析
只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个程度，在每个程度上作若干个试验，试验过程中除 A 外别的影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同程度时指标有无显著差别。 A 取某个程度下的指标视为随机变量，判定 A 取不同程度时指标有无显著差别， 相当于检验若干总体的均值是否相称。
1.1数学模型
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/1727587535874c3a92d6e12a300b87a2.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/d527a79e200846c7a6b887086e6b9cf9.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8b68b16b206c41e982faaa9a262a096a.png
1.2 统计分析
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/a3613bc64869475dacb287fea70261b5.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/e097dc1e718c4437a4710e229baec966.png
由卡方分布的可加性得：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/a42a818794dc417f87802f62bd896d5f.png
1.3 方差分析表
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ef256b3d9d704d1ea4d6163d1d8f0396.png
方差分析一般用的显著性程度是：取α = 0.01，拒绝 H0 ，称因素 A 的影响（或 A 各程度的差异）非常显著；取α = 0.01，不拒绝 H0 ，但取α = 0.05 ，拒绝 H0 ，称因 素 A 的影响显著；取α = 0.05 ，不拒绝 H0 ，称因素 A 无显著影响。
1.4 Matlab 实现
Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的下令是 anoval。 若各组数据个数相称，称为均衡数据。若各组数据个数不等，称非均衡数据。
（1）均衡数据
处理惩罚均衡数据的用法为： p=anoval(x)
返回值 p 是一个概率，当 p > α 时担当 H0 ，x 为m× r 的数据矩阵，x 的每一列是一个 程度的数据（这里各个程度上的样本容量 ni = m ）。别的，还输出一个方差表和一个 Box 图。
示例：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/cf2ab69957a54df5899f02d10ef5c27e.png
x=[256 254 250 248 236
242 330 277 280 252
280 290 230 305 220
298 295 302 289 252];
p=anova1(x) https://i-blog.csdnimg.cn/direct/b9d5c0b2576f45469f8439ed76a54dee.png
得 p = 0.1109 >α = 0.05，故不能拒绝原假设，担当H0，即 5 名工人的生产率没有显著差异。
方差表对应于上面的单因素方差分析表的1 ~ 4 列，F = 2.262 是 F(4,15) 分布的1− p 分 位数，可以验证 fcdf(2.262,4,15)=0.8891=1-p。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/68f5133dab034bb9b5d90771d16ae645.png
Box 图反映了5个工人生产率数据的特征。
（2）非均衡数据
处理惩罚非均衡数据的用法为： p=anova1(x,group)
x 为向量，从第 1 组到第 r 组数据依次排列；group 为与 x 同长度的向量，标志 x 中数 据的组别。
示例：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/1b1a95be13d54dee9a56ca765b001c8c.png
clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500
1670 1600 1540 1550
1700 1640 1620 1610
1750 1720 1680 1800];
x=;
g=;
p=anova1(x,g) https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c9368cc2a6fc456cbb544c7a68fbd421.png
求得：p=0.0331<0.05，所以几种工艺制成的灯胆寿命有显著差异。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/54ed8086c1aa401fac6ccceb3813ada0.png
1.5 多重比力
在灯胆寿命问题中，为了确定哪几种工艺制成的灯胆寿命有显著差异，我们先算出各组数据的均值：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ada7dbcea79342749c2d1e6700049261.png
虽然 A1 的均值最大，但要判定它与别的几种有显著差异，还需做多重比力。一般多重比力要对所有 r 个总体作两两对比，分析相互间的差异。根据问题的具体环境可以减少对比次数。
clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500
1670 1600 1540 1550
1700 1640 1620 1610
1750 1720 1680 1800];
x=;
g=;
=anova1(x,g)
= multcompare(st);
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/aaf17b440c73473c87ae79296a92f396.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ea30dd5d28504f5ca089405cdf61e106.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/617185c8962c4c558d19e12a5899f1ba.png
2. 双因素方差分析
如果要考虑两个因素 A,B 对指标的影响， A,B 各分别几个程度，对每一个程度组 互助若干次试验，对所得数据举行方差分析，检验两因素是否分别对指标有显著影响， 或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。
2.1 数学模型
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/514341116e5f4c6c86c481e793dcac03.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/3ceec6a8495b4316b7ca28a5cd038d4a.png
2.2 无交互影响的双因素方差分析
如果根据履历或某种分析可以或许事先判定两因素之间没有交互影响，每组试验就不必重复，即可令
t = 1，过程大为简化。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/554d5677aee64f85b5e2c6a454357687.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/3d1a9263335141f1a73ec86c37ef0f77.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/20fde52e1b474012a191ea65acc35c2c.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/9195c739d2774ebebb731fee307f1606.png
无交互效应的两因素方差分析表：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/712a824969be4780a7b5d7032c243e67.png 2.3 关于交互效应的双因素方差分析
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/f32bd1241e9b423492316c94e2f36ee2.png
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/093e47fd5b464eada1e4793da8956bd0.png 关于交互效应的两因素方差分析表：
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/e6b10d000d3c43d896d82953766fcaa2.png
2.4 Matlab 实现
统计工具箱中用 anova2 作双因素方差分析。
下令为 ：p=anova2(x,reps)
此中 x 不同列的数据表示单一因素的变革环境，不偕行中的数据表示另一因素的变革环境。如果每种行—列对（“单元”）有不止一个的观测值，则用参数 reps 来表明每个“单元”多个观测值的不同标号，即 reps 给出重复试验的次数t 。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/278b3b6d73c641339008b0f1ab1258fa.png
x=[58.2 56.2 65.3
49.1 54.1 51.6
60.1 70.9 39.2
75.8 58.2 48.7];
=anova2(x) https://i-blog.csdnimg.cn/direct/4b0f1f56c58a43fab6365bc449a0342d.png
求得p=0.4491 0.7387，表明各种燃料和各种推进器之间的差异对于火箭射程无显著影响。
https://i-blog.csdnimg.cn/direct/33b97a08b2554dfbae546aa0fa44a9ef.png
clc,clear
x0=[58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.8
49.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.4
60.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.7
75.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4];
x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6);
for i=1:4
x(2*i-1,:)=x1(i,:);
x(2*i,:)=x2(i,:);
end
=anova2(x,2) https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ad0897f7ad0647e7bb8640bec91d680c.png
求得 p=0.0035 0.026 0.0001，均小于0.05，故可拒绝均值相称假设。即以为不同燃料（因素 A ）、不同推进器（因素 B ）下的射程有显著差异，交互作用也是显著的。
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