【算法模板】图论：Tarjan算法求割边割点
概念割边（Bridge 或 Cut Edge）
定义：
[*]在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通（即恣意两点之间不能相互到达），则称该边为割边。割边也被称为桥，由于它像桥梁一样连接着图的两部分，一旦移除，这两部分就被隔断了。
特性：
[*]割边只存在于无向连通图中。
[*]删除割边会导致图的连通分量数目增加。
[*]割边是图中的一个“薄弱环节”，对于图的连通性有重要影响。
边双连通分量（Edge Biconnected Component）
[*]定义：
[*]一个无向图的边双连通分量是一个极大连通子图，删除恣意一条边后，图仍然连通。
[*]类似于点双连通分量，边双连通分量中的恣意两个节点之间都有两条不相交的边（即，如果删除一条边，仍然可以保持连通）。
[*]性质：
[*]边双连通分量的每个分量都是连通的。
[*]边双连通分量可用于分析图中冗余的边以及提高图的可靠性。
割点（Articulation Point 或 Cut Vertex）
定义：
[*]在一个无向连通图中，如果删除了某个顶点后，图不再连通（即恣意两点之间不能相互到达），则称该顶点为割点。割点也被称为关节点，由于它像关节一样连接着图的差别部分，一旦移除，这些部分就被分开了。
特性：
[*]割点同样只存在于无向连通图中。
[*]删除割点会导致图的连通分量数目增加或减少（详细取决于割点的位置和图的布局）。
[*]割点是图中的一个重要节点，对于维护图的连通性至关重要。
点双连通分量（Vertex Biconnected Component）
[*] 定义：
[*]一个无向图的点双连通分量是一个极大连通子图，删除恣意一个节点后，图仍然连通。
[*]换句话说，点双连通分量中的恣意两个节点之间都有两条不相交的路径（即，如果删除一个节点，仍然可以保持连通）。
[*] 性质：
[*]点双连通分量的每个分量都是连通的。
[*]点双连通分量可用来检测图中的割点（即删除后会增加连通分量的节点）。
割点与割边的关系
[*] 存在割点时必有割边：如果一个节点是割点，那么至少存在一条通过该节点的割边。删除割点会导致图分裂为多个部分，每个部分之间至少存在一条割边。
[*] 割边连接的节点可能是割点：割边的两个端点节点至少有一个可能是割点。特别是在边的两个端点是差别的双连通分量时，这两个节点通常是割点。
[*] 独立的关系：固然割点和割边精密相关，但它们也可以独立存在。一个图可以有割点而没有割边，大概有割边而没有割点。比方，星型图的中心节点是割点，但星型图的每条边都是割边。
Tarjan算法
算法头脑
[*]DFS 访问顺序： 每个节点都有一个 dfn 值，表现节点在 DFS 中被访问的时间戳（第几个被访问）。同时，尚有一个 low 值，表现节点能通过回边或子节点到达的最早访问的节点的时间戳。
[*]割点判断：
[*]对于根节点，如果它有两个或两个以上的子树，则它是割点。
[*]对于非根节点，如果某个子节点的 low 值不小于该节点的 dfn 值，则该节点是割点。
[*]割边判断： 如果某个节点 u 和它的子节点 v 之间的边满足 low > dfn，则边 (u, v) 是割边。
算法步骤
[*]初始化 dfn 和 low 数组，初始值为 -1，表现未被访问。初始化一个时间戳变量 time 为 0。
[*]使用 DFS 遍历图，对于每个未被访问的节点调用 DFS 函数。
[*]在 DFS 函数中：
[*]设置当前节点的 dfn 和 low 值为当前时间戳，并将时间戳加 1。
[*]对于每个邻接节点，如果该邻接节点未被访问，递归调用 DFS 函数，更新当前节点的 low 值。
[*]如果邻接节点已被访问且不是父节点，更新当前节点的 low 值为邻接节点的 dfn 值。
[*]在返回时，根据 low 值判断是否是割点或割边。
[*]记载所有割点和割边。
算法模板
// 求解割点的函数
vector<int> findCutPoints(const vector<vector<int>> &graph) {
int n = graph.size();
vector<int> cutPoints; // 存储割点
vector<int> dfn(n, -1), low(n), parent(n, -1); // 初始化 dfn, low, parent 数组
vector<bool> visited(n, false); // 记录节点是否已被访问
int time = 0; // 时间戳
// DFS 函数
function<void(int)> dfs = [&](int u) {
visited = true; // 标记节点 u 为已访问
dfn = low = time++; // 设置 dfn 和 low 值
int childCount = 0; // 子节点数量
bool isCutPoint = false; // 是否为割点
// 遍历邻接节点
for (int v : graph) {
if (!visited) { // 如果 v 未被访问
parent = u; // 设置 v 的父节点为 u
dfs(v); // 递归调用 DFS
childCount++; // 增加子节点数量
// 更新 low
low = min(low, low);
// 判断是否为割点
if (parent == -1 && childCount > 1) { // 根节点且有两个以上子树
isCutPoint = true;
}
if (parent != -1 && low >= dfn) { // 非根节点且满足条件
isCutPoint = true;
}
} else if (v != parent) { // 如果 v 已被访问且不是父节点
low = min(low, dfn); // 更新 low
}
}
// 如果是割点，加入结果
if (isCutPoint) {
cutPoints.push_back(u);
}
};
// 遍历每个节点，进行 DFS
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!visited) {
dfs(i);
}
}
return cutPoints; // 返回割点列表
}
// 求解割边的函数
vector<pair<int, int>> findBridges(const vector<vector<int>> &graph) {
int n = graph.size();
vector<pair<int, int>> bridges; // 存储割边
vector<int> dfn(n, -1), low(n), parent(n, -1); // 初始化 dfn, low, parent 数组
vector<bool> visited(n, false); // 记录节点是否已被访问
int time = 0; // 时间戳
// DFS 函数
function<void(int)> dfs = [&](int u) {
visited = true; // 标记节点 u 为已访问
dfn = low = time++; // 设置 dfn 和 low 值
// 遍历邻接节点
for (int v : graph) {
if (!visited) { // 如果 v 未被访问
parent = u; // 设置 v 的父节点为 u
dfs(v); // 递归调用 DFS
// 更新 low
low = min(low, low);
// 判断是否为割边
if (low > dfn) {
bridges.push_back({u, v}); // 记录割边
}
} else if (v != parent) { // 如果 v 已被访问且不是父节点
low = min(low, dfn); // 更新 low
}
}
};
// 遍历每个节点，进行 DFS
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!visited) {
dfs(i);
}
}
return bridges; // 返回割边列表
}
例题
P3388 【模板】割点（割顶）
给出一个 n 个点，m 条边的无向图，求图的割点。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> findCutPoints(const vector<vector<int>> &graph);
signed main() {
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<vector<int>> G(n+1);
while(m--){
int u,v;
cin>>u>>v;
G.push_back(v);
G.push_back(u);
}
vector<int> CutPoints=findCutPoints(G);
cout<<CutPoints.size()<<endl;
sort(CutPoints.begin(),CutPoints.end());
for(int p:CutPoints)cout<<p<<' ';
return 0;
}
P1656 炸铁路
将军uim需要选择一条铁路进行炸毁，以使得B国的物流体系瘫痪，导致至少存在两个城市无法通过铁路相互到达。要选择的铁路被称为“关键铁路”。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<pair<int, int>> findBridges(const vector<vector<int>> &graph);
signed main() {
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<vector<int>> G(n+1);
while(m--){
int u,v;
cin>>u>>v;
G.push_back(v);
G.push_back(u);
}
vector<pair<int, int>> Bridges=findBridges(G);
for(auto&:Bridges)if(x>y)swap(x,y);
sort(Bridges.begin(),Bridges.end());
for(auto:Bridges)cout<<x<<' '<<y<<endl;
return 0;
}
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