集合的子集类
已知 W = { A ， B } W=\{A，B\} W={A，B}P ( W ) P(W) P(W)表示是全集 W = { A ， B } W=\{A，B\} W={A，B}构成的子集全体，包罗空集、全集。
那么 P ( W ) P(W) P(W)的具体情势长啥样？
1. 计算 W W W 的幂集 P ( W ) P(W) P(W)
集合 W W W 包含两个元素 A A A 和 B B B。幂集 P ( W ) P(W) P(W) 包含 W W W 的所有子集：
P ( W ) = { ∅ , { A } , { B } , { A , B } } P(W) = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} P(W)={∅,{A},{B},{A,B}}
那么， P ( W ) P(W) P(W)的非空子集类 Y Y Y， Y Y Y的具体情势是啥样？
2. 列出 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集
我们现在须要列出 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集。对于 P ( W ) P(W) P(W) 中的每个非空子集，我们可以按以下方式列出：
[*] 1 个元素的子集：
[*] { { A } } \{\{A\}\} {{A}}
[*] { { B } } \{\{B\}\} {{B}}
[*] { { A , B } } \{\{A, B\}\} {{A,B}}
[*] 2 个元素的子集：
[*] { ∅ , { A } } \{\emptyset, \{A\}\} {∅,{A}}
[*] { ∅ , { B } } \{\emptyset, \{B\}\} {∅,{B}}
[*] { ∅ , { A , B } } \{\emptyset, \{A, B\}\} {∅,{A,B}}
[*] { { A } , { B } } \{\{A\}, \{B\}\} {{A},{B}}
[*] { { A } , { A , B } } \{\{A\}, \{A, B\}\} {{A},{A,B}}
[*] { { B } , { A , B } } \{\{B\}, \{A, B\}\} {{B},{A,B}}
[*] 3 个元素的子集：
[*] { ∅ , { A } , { B } } \{\emptyset, \{A\}, \{B\}\} {∅,{A},{B}}
[*] { ∅ , { A } , { A , B } } \{\emptyset, \{A\}, \{A, B\}\} {∅,{A},{A,B}}
[*] { ∅ , { B } , { A , B } } \{\emptyset, \{B\}, \{A, B\}\} {∅,{B},{A,B}}
[*] { { A } , { B } , { A , B } } \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} {{A},{B},{A,B}}
[*] 4 个元素的子集：
[*] { ∅ , { A } , { B } , { A , B } } \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} {∅,{A},{B},{A,B}}
3. 总结 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集
因此，所有非空子集的集合类 Y Y Y 是：
Y = { { A } , { B } , { A , B } , { ∅ , { A } } , { ∅ , { B } } , { ∅ , { A , B } } , { { A } , { B } } , { { A } , { A , B } } , { { B } , { A , B } } , { ∅ , { A } , { B } } , { ∅ , { A } , { A , B } } , { ∅ , { B } , { A , B } } , { { A } , { B } , { A , B } } , { ∅ , { A } , { B } , { A , B } } } Y = \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\},\\ \{\emptyset, \{A\}\}, \{\emptyset, \{B\}\}, \{\emptyset, \{A, B\}\}, \{\{A\}, \{B\}\}, \{\{A\},\{A, B\}\},\\ \{\{B\}, \{A, B\}\}, \{\emptyset, \{A\}, \{B\}\},\\ \{\emptyset, \{A\}, \{A, B\}\}, \{\emptyset, \{B\}, \{A, B\}\}, \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\}\},\\ \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\}\} Y={{A},{B},{A,B},{∅,{A}},{∅,{B}},{∅,{A,B}},{{A},{B}},{{A},{A,B}},{{B},{A,B}},{∅,{A},{B}},{∅,{A},{A,B}},{∅,{B},{A,B}},{{A},{B},{A,B}},{∅,{A},{B},{A,B}}}
这个集合类 Y Y Y 包含了 P ( W ) P(W) P(W) 的所有可能的非空子集。
若指 P ( W ) P(W) P(W) 的非空子集 X X X满意某些条件称之为 Z Z Z-类，则指的是遍历 Y Y Y中每一元素（ X X X集合），观察其是否满意条件，满意则为 Z Z Z-类，也许存在多个 Z Z Z-类。
P ( W ) P(W) P(W)的所有非空子集和 P ( W ) P(W) P(W)的所有非空子集类是一个意思吗？
“ P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集”和“ P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类”这两个术语在某些上下文中可以有差别的寄义。让我们逐一解释它们的寄义和区别：
1. P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集
这个术语指的是 P ( W ) P(W) P(W) 的所有可能的非空子集。具体来说，如果 P ( W ) P(W) P(W) 是 W W W 的幂集，那么 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集包罗了 P ( W ) P(W) P(W) 中每一个非空集合的所有组合。也就是说，你思量的是 P ( W ) P(W) P(W) 中所有非空的集合（子集）的所有可能的组合。
例如，如果 P ( W ) = { ∅ , { A } , { B } , { A , B } } P(W) = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} P(W)={∅,{A},{B},{A,B}}，那么 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集包罗：
[*]单个非空子集： { { A } } \{\{A\}\} {{A}}， { { B } } \{\{B\}\} {{B}}， { { A , B } } \{\{A, B\}\} {{A,B}}，等等。
[*]多个非空子集的组合： { { A } , { B } } \{\{A\}, \{B\}\} {{A},{B}}， { { A } , { A , B } } \{\{A\}, \{A, B\}\} {{A},{A,B}}，等等。
2. P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类
这个术语通常用来形貌一类具有特定性子的集合族（即子集的集合），而不仅仅是所有的非空子集。例如：
[*]λ类（Lambda class）：这是一类特定的集合族，满意补集封闭性和有限加法封闭性。即，若一个集合族是λ类，则它包含了集合的补集和两个互不相交集合的并集。
[*]σ-代数（Sigma algebra）：这是另一个特定类型的集合族，满意可数加法封闭性，即如果一个集合族是σ-代数，它会包含所有集合的可数并集。
区别
[*] P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集：这是指所有的非空子集的集合，即所有可能的组合，但不一定满意特定的封闭性子。
[*] P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类：这通常是指满意特定封闭性子的子集族，例如λ类或σ-代数。它不仅仅是所有非空子集的集合，而是满意特定命学条件的子集集合。
例子
假设 W = { A , B } W = \{A, B\} W={A,B}，则 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集为：
{ { A } , { B } , { A , B } , { ∅ , { A } } , { ∅ , { B } } , { ∅ , { A , B } } , { { A } , { B } } , … } \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\}, \{\emptyset, \{A\}\}, \{\emptyset, \{B\}\}, \{\emptyset, \{A, B\}\}, \{\{A\}, \{B\}\}, \ldots\} {{A},{B},{A,B},{∅,{A}},{∅,{B}},{∅,{A,B}},{{A},{B}},…}
而 P ( W ) P(W) P(W) 的非空子集类可能指的是满意某些特定条件的子集族。例如，如果思量 λ 类：
Y = { ∅ , { A } , { B } , { A , B } } \mathcal{Y} = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} Y={∅,{A},{B},{A,B}}
这个 Y \mathcal{Y} Y 满意补集封闭性和有限加法封闭性（这是一个 λ 类的例子），而它是 P ( W ) P(W) P(W) 的一个特定的非空子集类。
总结
[*] P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集 是一个集合，包含了 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集。
[*] P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类 通常是指满意特定条件的子集族，这些条件可以包罗补集封闭性、有限加法封闭性等。
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