门罗币隐私掩护之环署名
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简介
在《门罗币隐私掩护之隐形地址》文章中，我们重点介绍了门罗币Monero的隐形地址技能，门罗币通过隐形地址包管了交易的不可链接性，并实现了用户的隐私掩护和监管需求。
本文将继续介绍门罗币的另一个核心技能——环署名技能，Monero通过环署名技能，实现了交易的不可追踪性。
[*]不可链接性（Unlinkability）：对于任何两笔outgoing交易，无法证明它们是发送给同一个人的。即对于任何两个 outgoing 交易，无法证明它们是由同一个人收款的。
[*]不可追踪性（Untraceability）：对于每一笔incoming交易，所有可能的发送者都是等概率的。这意味着，对于任何两个incoming交易，无法证明它们是由同一个人发送的。
注：incoming和outgoing交易分别表示用户的收款和付出交易。
基础知识
术语定义
[*]\(\mathbb{Z}_l\)：有限域，\(l\)是一个大素数，如：\(l = 2^{252} + 27742317777372353535851937790883648493\)
[*]\(P_i\)：公钥，在环署名中表示环中第\(i\)个公钥, 当\(i = s\)时，\(P_s\)是署名者的公钥
[*]\(R\)：环署名的环，一组公钥的集合，\(R = {P_1, P_2, ..., P_n}\)，包罗\(P_s\)
[*]\(x_s\)或者x_s：环署名中署名者的私钥, 私钥范围在\(\mathbb{Z}_l\)内
[*]\(\sigma\)：环署名的署名结果
[*]\(m\)：待署名的消息。在署名时，通常会先对消息进行哈希处置处罚。
[*]\(H_s\)：特性哈希函数, 将输入映射到\(\mathbb{Z}_l\)，如：\(H_s: \{0, 1\}^* \rightarrow \mathbb{Z}_l\)
[*]\(H_p\)：特性哈希函数, 将输入映射到椭圆曲线上的点，如：\(H_p: \{0, 1\}^* \rightarrow E(\mathbb{F}_q)\)
[*]\(I\)：密钥镜像，在门罗币中使用，用于防止双花攻击
环署名
环署名(Ring Signature)是一种数字署名方案，允许一组用户中的任何一个用户为某个消息生成署名，而不必要透露具体是哪个用户生成的署名。环署名的主要特点是它提供了署名的匿名性和可验证性，确保署名者的身份在署名过程中保持隐私。
环署名的根本概念
[*]环：环署名的“环”指的是一组公钥，这些公钥代表了可能的署名者。署名者在生成署名时，会选择一个环中的公钥作为本身的身份，但外部观察者无法确定具体是哪个公钥对应的用户。
[*]署名：署名者使用本身的私钥和环中其他用户的公钥生成署名。这个署名可以被任何人验证，但无法确定署名者的身份。
[*]验证：任何人都可以使用环来验证署名的有效性，确保署名确实是由环中的某个用户生成的。
环的大小是环署名方案的一个告急参数，环越大，署名者的身份越难以确定，署名的匿名性越高。但是环的大小也会影响署名的计算和验证性能，因此必要在匿名性和性能之间进行权衡。
环署名构造和验证流程
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[*]初始化：署名者Alice选择环R中的公钥，如{\({P_1, P_2, ..., P_i, ..., P_n}\)}，其中Alice自身的公钥\(P_s\)也在放入环R中
[*]生成署名：Alice基于环R中的公钥和本身的私钥\(x_s\)以及待署名消息\(m\)，生成环署名\(\sigma\)
[*]验证署名：任何人都可以基于环R，消息m对署名\(\sigma\)进行验证
环署名方案涉及一个三元组\((KeyGen, Sign, Verify)\)，其中：
[*]\(KeyGen\)：密钥生成算法，署名者使用\(KeyGen\)生成公私钥对\((P_s, x_s)\)
[*]\(Sign(m, R, x_s)\)：署名算法，署名者使用\(Sign\)生成环署名\(\sigma\), 其中\(m\)是消息，\(R\)是环，\(x_s\)是署名者的私钥
[*]\(Verify(m, R, \sigma)\)：验证算法，任何人都可以使用\(Verify\)验证署名的有效性。算法结果为布尔值，\(true\)表示署名有效，\(false\)表示署名无效。
门罗币之环署名
回顾在《门罗币隐私掩护之隐形地址》介绍的交易模型，Bob作为收款方，可以或许验证每一笔相关交易的有效性。
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进一步说明：
[*]Bob作为收款人，在验证每笔交易时，Bob只需对每个输出执行两次椭圆曲线乘法和一次加法（即生成\(P'\))，以检查该交易是否属于他。
[*]对于每个属于Bob的UTXO，Bob恢复一个密钥对\((x, P)\)并将其存储在钱包中。
[*]只有Bob可以生成地址\(P\)的私钥\(x\)，因此只有Bob可以或许花费这笔收入。
值得注意的是，\((P, x)\)是一次性密钥，当Bob花费这笔收入时，会使用该密钥加入环署名，之后可以丢弃。
门罗币环署名
门罗币使用环署名技能，实现了交易的不可追踪性。门罗币的环署名方案基于CryptoNote协议。在CryptoNode协议中，环署名交易模型如下：
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[*]加入环：Bob从门罗币公开账本中随机选择UTXO，以及本身待花费的UTXO，放入到新创建的UTXO中，作为交易的Tx input, 所有UTXO的收款方地址{\({P_1, ..., P_s, ..., P_n}\)}构成环\(R\)
[*]生成密钥镜像：Bob使用本身的署名私钥\(x_s\)和公钥\(P_s\), 生成密钥镜像\(I\)，区块链矿工在验证交易时，会验证\(I\)是否已经被使用过，以防止双花攻击
[*]生成署名：Bob使用环\(R\)和本身的私钥\(x_s\)，对交易进行署名，生成环署名\(\sigma\)
门罗币环署名方案
门罗币环署名方案涉及一个四元组\((KeyGen, Sign, Verify, Link)\)，其中：
[*]\(KeyGen, Sign, Verify\)与一般的环署名方案功能类似
[*]\(Link\)：区块链矿工通过\(Link\)算法验证对应的密钥镜像\(I\)是否已经被使用过，以防止双花攻击
密钥生成KeyGen
门罗币的KeyGen算法与一般的环署名方案类似，目的都是生成公私钥对\((P_s, x_s)\)，其中\(P_s\)是署名者的公钥，\(x_s\)是署名者的私钥。
不同的是：
[*]门罗币的公钥来自于隐形地址技能，即\(P_s = H_s(aR)G + B\), 对应的私钥\(x_s = H_s(aR) + b\)
[*]门罗币的KeyGen算法还会生成密钥镜像\(I\)，用于防止双花攻击。其中, \(I = x_s \cdot H_p(P_s)\)
署名算法Sign
在门罗币中，由于署名公私钥对\((P_s, x_s)\)是由隐形地址技能生成的，而且仅用于一次性署名，因此门罗币环署名我们也称为一次性环署名。
门罗币的Sign算法如下：
[*]初始化：
[*]随机选取其他用户的公钥\(P_i\)，结合本身的公私钥对\((x_s, P_s)\)，构成环\(R = {P_1, P_2, ..., P_s, ..., P_n}\)
[*]选择两个随机数集合\(Q\)和\(W\)，如下
[*]\(Q = \{q_i\}\), \(i = 1, 2, ..., n \And q_i \in \mathbb{Z}_l\)
[*]\(W = \{w_i\}\), \(i = 1, 2, ..., n \And i \neq s \And w_i \in \mathbb{Z}_l\)
[*]计算环署名(类似零知识承诺：承诺-挑战-相应，可以参考之前的文章《零知识证明之承诺方案》
[*]计算承诺，承诺由两个集合组成\(L\)和\(R\)，集合元素计算如下：
\
\
[*]计算挑战(现实上是前面已有知识的哈希值)
\
其中，\(m\)是待署名的消息，在这里表示交易信息(署名除外，由于署名还未生成)
[*]计算相应
\
\
\[\sigma = (I, c_1, ..., c_n, r_1, ..., r_n)\]
其中，\(\sigma\)就是环署名的署名值
验证算法Verify
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区块链矿工在收到交易后，会对交易进行署名验证。矿工已知\(R = {P_1, P_2, ..., P_n}\)，以及环署名\(\sigma = (I, c_1, ..., c_n, r_1, ..., r_n)\), 署名验证Verify算法如下：
[*]\(L^{'}\)和\(R^{'}\)为两个集合，\(\forall i \in \)
\
\
[*]署名验证等式
\[\sum_{i=0}^{n} c_i \stackrel{?}{=} H_s(m, L^{'}, R^{'})\]
如果上述等式成立，则署名有效，否则署名无效，交易被拒绝。
正确性验证
[*]计算\(L^{'}\)
\
\[\begin{cases}q_i \cdot G + w_i \cdot P_i & \text{if } i \neq s \\(q_s - c_s \cdot x_s) \cdot G + c_s \cdot P_s = q_s \cdot G - c_s \cdot x_s \cdot G + c_s \cdot P_s = q_s \cdot G & \text{if } i = s\end{cases}\]
\[= \begin{cases}q_i \cdot G + w_i \cdot P_i & \text{if } i \neq s \\q_s \cdot G & \text{if } i = s\end{cases}\]
\[= L_i\]
在上述推导中，由于\(P_s = x_s \cdot G\)，以是：\(-c_s \cdot x_s \cdot G + c_s \cdot P_s = -c_s \cdot P_s + c_s \cdot P_s = 0\)
[*]计算\(R^{'}\)
\
\[\begin{cases}q_i \cdot H_p(P_i) + w_i \cdot I& \text{if } i \neq s \\(q_s - c_s \cdot x_s) \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = q_s \cdot H_p(P_s) - c_s \cdot x_s \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = q_s \cdot H_p(P_s) & \text{if } i = s\end{cases}\]
\[=\begin{cases}q_i \cdot H_p(P_i) + w_i \cdot I & \text{if } i \neq s \\q_s \cdot H_p(P_s) & \text{if } i = s\end{cases}\]
\[= R_i\]
在上述推导中，由于\(I = x_s \cdot H_p(P_s)\)，以是：\(-c_s \cdot x_s \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = -c_s \cdot I + c_s \cdot I = 0\)
[*]计算\(\sum_{i=0}^{n} c_i\)
\[\sum_{i=0}^{n} c_i = c_1 + c_2 + ... + c_s + ... + c_n \]
\[= \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} c_i + c_s\]
\[= \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} w_i + (c - \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} c_i \mod l)\]
\[= c\]
\[= H_s(m, L, R)\]
由于\(L^{'} = L\)且\(R^{'} = R\)，以是：
\
因此，署名验证等式成立，署名有效。
双花验证Link
密钥镜像\(I\)和密钥对\((x_s, P_s)\)之间的关系如下：
\
密钥镜像\(I\)的计算方式，反映了用户密钥和密钥镜像之间存在一一对应关系，而用户密钥\((x_s, P_s)\)基于隐形地址技能，只使用一次，且与交易绑定。
矿工会记录所有交易的密钥镜像列表，在收到新交易时，会检查交易中的\(I\)是否已存在于列表中，如果存在，则说明该交易的\((x_s, P_s)\)已经被使用过，是一笔双花交易，交易被拒绝。
结语
环署名是门罗币的另一个核心技能，通过环署名技能，实现了交易的不可追踪性。本文简单介绍了环署名的根本概念，并详细介绍了门罗币的环署名方案，包括密钥生成、署名、验证和双花验证等算法。盼望通过本文的介绍，读者对隐私币的匿名技能有更进一步的了解。
门罗币隐私掩护使用了多种技能，包括隐形地址、环署名、秘密交易等，这些技能共同构成了门罗币的隐私掩护体系。在接下来的文章中，我们将继续介绍门罗币的其他隐私掩护技能。
参考文献
[*]【1】CryptoNote wiki
[*]【2】Monero wiki
[*]【3】Home | Monero - secure, private, untraceable
[*]【4】Elliptic-curve cryptography
[*]【5】CryptoNote whitepaper v2.0
[*]【6】《零知识证明之承诺方案》
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