由于 T T T 不含圈，移除任何一条边必然会使 T T T 断开成两个图，且这两个图都是树。若断开的第一棵树有 n 1 ( n 1 < n ) n_1(n_1 < n) n1(n1<n) 个顶点，则边数为 n 1 − 1 n_1-1 n1−1；若第二棵树有 n 2 n_2 n2 个顶点，则边数为 n 2 − 1 n_2-1 n2−1。
由于 T T T 的顶点总数为 n n n，则 n 1 + n 2 = n n_1 + n_2 = n n1+n2=n； T T T 的总边数 = ( n 1 − 1 ) + ( n 2 − 1 ) + 1 = n 1 + n 2 − 1 = n − 1 =(n_1-1)+(n_2-1)+1=n_1+n_2-1=n-1 =(n1−1)+(n2−1)+1=n1+n2−1=n−1（加上断开的那条边），则 T T T 的总边数为 n − 1 n-1 n−1，建立。
（ii）⇒（iii）
反证法：证明 T T T 是连通的
如果 T T T 是不连通的，那么 T T T 的每个分支都是不含圈的连通图，也就是说 T T T 的每个分支都是一棵树。
设 T T T 的每个分支为 T 1 , T 2 , ⋯ , T k ( k ≥ 2 ) T_1,T_2,\cdots,T_k(k \geq 2) T1,T2,⋯,Tk(k≥2)，根据上述定理，每个树中的顶点数比边数多 1 1 1，则对于 T i T_i Ti，若其顶点数为 n i n_i ni，边数为 m i m_i mi，则 n i = m i + 1 n_i = m_i+1 ni=mi+1。那么 T T T 的总顶点数为 n = ∑ i = 1 k n i n=\sum_{i=1}^{k}{n_i} n=∑i=1kni，总边数为 m = ∑ i = 1 k m i m = \sum_{i=1}^{k}{m_i} m=∑i=1kmi，则 n = m + k n = m + k n=m+k， n − m = k ≥ 2 n-m = k \geq 2 n−m=k≥2。
由此可知， T T T 的顶点总数至少比边总数多 2 2 2，这与 T T T 有 n − 1 n - 1 n−1 条边这一事实相抵牾。
（iii）⇒（iv）
证明： T T T 中每条边都是桥
由于 T T T 是连通的，且 T T T 有 n − 1 n-1 n−1 条边，移除任何一条边后，图的顶点数仍为 n n n ，但边数变为 n − 2 n - 2 n−2 条。
根据定理5.2，在一个图中，若边数 < 顶点数 - 1，该图必然是不连通的，意味着在 T T T 中移除任意一条边都会使图的连通分量增长，说明 T T T 中的每条边都是桥。
定理5.2：设 G G G 是一个具有 n n n 个顶点的简朴图。如果 G G G 有 k k k 个连通分量，那么 G G G 的边数 m m m 满足 n − k ≤ m ≤ ( n − k ) ( n − k + 1 ) / 2 n - k \leq m \leq (n - k)(n - k + 1)/2 n−k≤m≤(n−k)(n−k+1)/2。
如果 T T T 包含一个圈，那么该圈中的任意两个顶点将至少由两条路径毗连，这与陈述 v v v 相抵牾。
如果将一条边 e = u v e=uv e=uv 添加到 T T T 中，由于顶点 u u u 和 v v v 在 T T T 中已经是连通的，那么添加边 e e e 后就会形成一个圈。
（vi）⇒（i）
证明：若 T T T 不含圈，但添加任何一条新边恰好产生一个圈，则 T T T 是一棵树。
已知不含圈的连通图就是树，已知 T T T 不含圈，只需再证明 T T T 是连通的，就可以证明 T T T 是一棵树。
反证法：假设 T T T 是不连通的。如果我们向 T T T 添加任意一条毗连其一个分支中的顶点与另一个分支中的顶点的边，那么不会形成圈。 与条件抵牾，说明 T T T 是连通的。
推论9.2：如果 G G G 是一个有 n n n 个顶点且有 k k k 个分支的森林，那么 G G G 有 n − k n - k n−k 条边。 证明：
G G G 的每个分支都是一棵树， 设这 k k k 个树为 T 1 , T 2 , ⋯ , T k T_1,T_2,\cdots,T_k T1,T2,⋯,Tk，任意的 T i T_i Ti 都是连通的，若顶点数为 n i n_i ni ，边数为 m i m_i mi，则有 m i = n i − 1 m_i = n_i-1 mi=ni−1 。
G G G 的总顶点数为 n n n，则 n = ∑ i = 1 k n i n = \sum_{i=1}^{k}{n_i} n=∑i=1kni；总边数为 m = ∑ i = 1 k m i = ∑ i = 1 k n i − k = n − k m = \sum_{i=1}^{k}{m_i} = \sum_{i=1}^{k}{n_i} - k = n - k m=∑i=1kmi=∑i=1kni−k=n−k，则 G G G 有 n − k n-k n−k 条边。
注意，一棵树的 n n n 个顶点的度数之和即是边数的两倍（ = 2 ( n − 1 ) = 2 n − 2 =2(n-1)= 2n - 2 =2(n−1)=2n−2）。由此可得，如果 n > 2 n > 2 n>2，那么任何具有 n n n 个顶点的树至少有两个端点（叶子节点）。 证明：
假设树只有一个端点（叶子节点），那么除该端点外的 n − 1 n - 1 n−1 个顶点的度数至少为 2 2 2（因为非端点顶点至少与两条边相连），这样全部顶点度数之和至少为 2 ( n − 1 ) + 1 = 2 n − 1 2(n - 1)+1 = 2n - 1 2(n−1)+1=2n−1，这与由握手引理得出的 2 n − 2 2n - 2 2n−2 抵牾。
以是当 n > 2 n>2 n>2 时，树不大概只有一个端点，即任何具有 n n n 个顶点的树至少有两个端点（叶子节点）。
生成树和生成森林
根本界说
生成树：给定任意一个连通图 G G G，一棵毗连 G G G 全部顶点的树被称作 G G G 的生成树（spanning tree）。
包含全部顶点：生成树包含原图中的全部顶点。
树布局：生成树是一个树，这意味着它是连通的（任意两个顶点之间都有一条路径）且没有环（没有回路）。
生成森林： 生成森林是由若干棵生成树组成的，它包含了非连通图 G G G 中的全部顶点，但构成这些树的边是最少的。 给定一个连通图 G G G，如何得到生成树：
对于任意一个连通图，我们可以选定一个圈，然后移除这个圈上的任意一条边，得到的图依然是连通的。我们对剩下的圈重复这一操纵，持续进行下去，直到不再有圈为止。最终剩下的图就是生成树。
给定一个非连通图 G G G，如何得到生成森林：
如果 G G G 是一个具有 n n n 个顶点、 m m m 条边和 k k k 个分支的任意图，那么对 G G G 的每个分支树实行上述构建生成树的操纵，所得的结果就是生成森林，在此过程中移除的边的总数就是 G G G 的圈秩（cycle rank），用 γ ( G ) \gamma(G) γ(G) 表现。
根据定理 5.2， γ ( G ) = m − ( n − k ) = m − n + k \gamma(G)=m-(n-k)=m - n + k γ(G)=m−(n−k)=m−n+k，它是一个非负整数。
为了方便，我们将 G G G 的割集秩（cutset rank）界说为生成森林中的边数，用 ξ ( G ) \xi(G) ξ(G)表现，根据推论 9.2， ξ ( G ) = n − k \xi(G)=n - k ξ(G)=n−k。
回顾 推论9.2：如果 G G G 是一个有 n n n 个顶点且有 k k k 个分支的森林，那么 G G G 有 n − k n - k n−k 条边。
生成森林的性质
在本定理中，（不一定是简朴图）图 G G G 的生成森林 T T T 的补图（complement）是通过从图 G G G 中移除生成森林的边后所得到的图。 定理9.3：如果 T T T 是图 G G G 的任意一个生成森林，那么
G G G 的每个割集都与 T T T 有一条公共边；
证明：设 C ∗ C^{*} C∗ 为 G G G 的一个割集，移除该割集会将 G G G 的一个分支分割成两个子图 H H H 和 K K K。
由于 T T T 是一个生成森林，它是包含了图 G G G 中全部顶点的无圈连通子图。而原来顶点 H H H 和 K K K 是连通的，以是 T T T 肯定包含一条毗连 H H H 中一个顶点与 K K K 中一个顶点的边，而这条边就是公共边。
G G G 的每个圈都与 T T T 的补图有一条公共边。
反证法：假设 C C C 是 G G G 中的一个圈，它与 T T T 的补图没有公共边。那么 C C C 肯定包含在 T T T 中，这就产生了抵牾。
根本圈集和根本割集
根本圈集(fundamental set of cycles)：
图 G G G 的生成森林 T T T 的根本圈集形成方式如下：如果我们向 T T T 添加 G G G 中任何一条不在 T T T 中的边，我们会得到一个唯一的圈。通过分别添加 G G G 中不在 T T T 里的每一条边，以这种方式形成的全部圈的集合，就是与 T T T 干系联的根本圈集。 请注意，任何根本圈会合圈的数目肯定即是 G G G 的圈秩。
根本割集(fundamental set of cutsets)：
给定图 G G G 的生成森林 T T T，依据定理 9.1（iv），树中的每一条边都是桥，意味着移除 T T T 中的任意一条边会将 T T T 的顶点集划分成两个不相交的集合 V 1 V_{1} V1 和 V 2 V_{2} V2。图 G G G 中全部毗连 V 1 V_{1} V1 中的一个顶点与 V 2 V_{2} V2 中的一个顶点的边所构成的集合就是 G G G 的一个割集，通过分别移除 T T T 的每一条边得到的全部割集的集合就是与 T T T 干系联的根本割集。 请注意，任何根本割集组中割集的数目肯定即是 G G G 的割集秩。
