标题: Math Reference Notes: 线性概念 [打印本页] 作者: 宁睿 时间: 2025-1-12 06:00 标题: Math Reference Notes: 线性概念 在数学中，“线性”是一个广泛应用的概念，涵盖了多种不同的领域，包罗代数、多少、分析等。线性通常指的是在运算中遵循一定的规则和性质，特别是加法和标量乘法的规则。 1. 线性函数
线性函数通常是指形如 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax 的函数，此中 a a a 是常数。这样的函数有以下两个特点：
加法封闭性：对于恣意两个输入 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2，有 f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)。
标量乘法封闭性：对于恣意标量 α \alpha α 和输入 x x x，有 f ( α ⋅ x ) = α ⋅ f ( x ) f(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot f(x) f(α⋅x)=α⋅f(x)。
严格地讲，线性函数不包罗常数项，这意味着它的形式应为 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax，而不是 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b。后者包罗常数项 b b b，因此不符合严格的线性标准。
比方， f ( x ) = 3 x f(x) = 3x f(x)=3x 就是一个线性函数，由于它遵循加法和标量乘法的封闭性：
f ( x 1 + x 2 ) = 3 ( x 1 + x 2 ) = 3 x 1 + 3 x 2 = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) f(x_1 + x_2) = 3(x_1 + x_2) = 3x_1 + 3x_2 = f(x_1) + f(x_2) f(x1+x2)=3(x1+x2)=3x1+3x2=f(x1)+f(x2)
f ( α x ) = 3 ( α x ) = α ( 3 x ) = α f ( x ) f(\alpha x) = 3(\alpha x) = \alpha(3x) = \alpha f(x) f(αx)=3(αx)=α(3x)=αf(x)
如果函数形如 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b，这类函数称为仿射函数。仿射函数和线性函数类似，但由于存在常数项 b b b，它不满足严格的线性性质，尽管它仍旧保持加法和标量乘法的封闭性。 线性函数与仿射函数的区别
线性函数：严格形式为 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax，经过原点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)，即 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0。
仿射函数：形式为 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b，可以不经过原点，即 f ( 0 ) = b f(0) = b f(0)=b。
虽然仿射函数与线性函数都遵循加法和标量乘法的封闭性，但仿射函数的零点不一定是原点，由于它包罗一个常数项 b b b。
2. 线性变更
线性变更是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持加法和标量乘法的结构。具体来说，设有两个向量空间 V V V 和 W W W，一个线性变更 T : V → W T: V \to W T:V→W 满足：
T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) T(u + v) = T(u) + T(v) T(u+v)=T(u)+T(v) （对恣意向量 u , v ∈ V u, v \in V u,v∈V）
T ( α v ) = α T ( v ) T(\alpha v) = \alpha T(v) T(αv)=αT(v) （对恣意标量 α \alpha α 和向量 v ∈ V v \in V v∈V）
常见的线性变更形式是矩阵变更。比方，给定一个矩阵 A A A，它可以表示一个从向量空间 V V V 到 W W W 的线性变更。
比方，考虑二维空间的线性变更：
T ( ( x y ) ) = ( 2 x + y 3 x − 4 y ) T\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 3x - 4y \end{pmatrix} T((xy))=(2x+y3x−4y)
这个变更可以用矩阵表示为：
T ( ( x y ) ) = ( 2 1 3 − 4 ) ( x y ) T\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} T((xy))=(231−4)(xy)
这表明变更 T T T 是线性的，由于它满足加法和标量乘法的封闭性。
别的，线性变更不仅限于矩阵变更，还可以通过其他方法来形貌。比方，线性变更可以用代数映射大概函数来定义。
3. 向量空间（线性空间）
标量的单位元： 1 ⋅ v = v 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} 1⋅v=v。
向量空间的一个重要概念是维度。向量空间的维度是该空间中一个基底（线性独立的向量集合）中向量的数目。向量空间的维度决定了该空间的“大小”，也决定了可以在该空间中表示的向量数目。
向量空间的例子包罗所有的二维或三维向量空间（如 R 2 \mathbb{R}^2 R2、 R 3 \mathbb{R}^3 R3），以及更高维度的空间，甚至函数空间也可以构成向量空间。
4. 线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，通常表示为：
A x = b A \mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b
此中， A A A 是系数矩阵， x \mathbf{x} x 是未知向量， b \mathbf{b} b 是常数向量。这个方程组被称为线性方程组，其解集通常是一个线性空间。线性方程组的求解方法包罗高斯消元法、矩阵的逆运算等。
比方，考虑如下方程组：
2 x + y = 5 x − 3 y = − 4 \begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ x - 3y &= -4 \end{aligned} 2x+yx−3y=5=−4
我们可以将其写成矩阵形式：
( 2 1 1 − 3 ) ( x y ) = ( 5 − 4 ) \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} (211−3)(xy)=(5−4)
这就是一个线性方程组，求解它可以得到 x x x 和 y y y 的值。线性方程组的解的性质依赖于系数矩阵的秩。如果矩阵的秩小于列数，则方程组可能没有唯一解，大概存在无穷多解。
5. 线性独立与基底
在线性代数和泛函分析中，线性算子是指从一个函数空间到另一个函数空间的映射，这种映射保持加法和标量乘法的性质。线性算子的一个典范例子是微分算子，如 d d x \frac{d}{dx} dxd 或 积分算子。
比方，微分算子 d d x \frac{d}{dx} dxd 是一个从函数空间到函数空间的线性算子，满足：
d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = d d x f ( x ) + d d x g ( x ) \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x) dxd(f(x)+g(x))=dxdf(x)+dxdg(x)
d d x ( α f ( x ) ) = α d d x f ( x ) \frac{d}{dx} (\alpha f(x)) = \alpha \frac{d}{dx} f(x) dxd(αf(x))=αdxdf(x)