同砚们在中学里都学过代数（即初等代数）。初等代数的主要内容是：研究数及运算。 由于用字母表示数，因此应用题可以列方程来解，解方程就成为初等代数的一个中央议题。（博主：1《数学原来可以如许学：初中篇》西成活裕，2《什么是初中数学》柏干、范兴亚、李岩，3《什么是初中物理》张虎岗，4《中考数学复习微专题讲座》易良斌，5《全解全练：中考数学压轴题》李静文，6《初中数学、高中数学脱节知识补缺课本》赵南平，7《初中数学知识补习课本》丘维声，8《中学代数研究》张奠宇、张广祥、宋乃庆，9《小学数学课本中的大道理——核心概念的理解和呈现》张奠宇、巩子坤、任敏龙、殷文娣，10～11《核心素养立意下的高中数学课程课本研究（上、下）》章建跃，12～17 初中数学千题解系列六册《二次函数与相似》、《中考压轴题》、《代数综合与圆》、《一次函数与四边形》、《反比例与最值问题》、《全等与几何综合》。2025.2.22 20:24） 由于初等代数研究的是数的运算和方程，以是代数的方法其优点在于可以运算，正因为如许，人们很早就运用代数的方法去研究几何图形的性质，即建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示图形，这就是解析几何。线性代数正是随着解析几何的研究而发展起来的。
在解析几何里我们知道: 在平面上直线的方程是一次方程，反之，任一个二元一次方程在平面上表示一条直线。由于这个几何直观，通常把一次方程称为线性方程。当然，这里“线性”的意思是指变量的次数是一次，并不是说，线性方程都表示直线。究竟上，在空间中，一次方程表示一个平面。在几何里，经常要求几个平面的交点，这转化为代数上就是要解三元一次方程组，即三个未知量的线性方程组。数学的各个分支、物理及很多实际问题则进一步提出要解几个未知量的线性方程组（1），此中： x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 是未知量； a i j a_{ij} aij表示第 i 个方程中 x j x_j xj 的系数； b j b_j bj 称为常系数。
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 ⋮ a s 1 x 1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a s n x n = b s （ 1 ） \mathsf{\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array}\right.}（1） ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1⋮as1x1+as2x2+⋯+asnxn=bs（1）
线性方程组（1）在什么时候有解？如何求解？解的结构如何？这就是线性代数要研究的第一个问题。在求解线性方程组时，行列式是一个重要的工具，以是先要研究行列式。线性方程组完全被它的全部系数和常数项所决定，至于未知量用什么符号表示是没有什么关系的。因此，线性方程组（2）可以用下面这张表来表示。这种由一些数排列成的多少行（横的）、多少列（纵的）所构成的表称为一个矩阵。于是研究线性方程组就转化为研究矩阵。
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n b n ] （ 2 ） \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}&b_n \end{bmatrix}（2） a11a21⋮as1a12a22⋮as2⋯⋯⋯a1na2n⋮asnb1b2⋮bn （2）
除了线性方程组之外，另有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，譬如，解析几何中，平面直角坐标系的转轴公式为式（3）。
{ x = x ′ cos θ − y ′ sin θ y = x ′ sin θ + y ′ cos θ （ 3 ） \begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta \end{cases}（3） {x=x′cosθ−y′sinθy=x′sinθ+y′cosθ（3）显然，新旧坐标之间的关系完全可以通过公式（3）中的系数排列成矩阵（4）表示出来。(博主：该矩阵为旋转矩阵。凡是在平面直角坐标系上进行旋转变换的向量，皆可用原向量左乘该矩阵求出的旋转后的向量。2025.2.17 21:30)
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] （ 4 ） \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}（4） [cosθsinθ−sinθcosθ]（4）
矩阵是线性代数的一个主要研究对象。矩阵已经不是数，而是由一些数排列成的一张表，但是矩阵可以像数那样进行运算。矩阵的运算有加法、数量乘法、乘法等。矩阵由于可以进行运算，因此它的用途就很广，特别是矩阵的乘法很独特，矩阵的应用很多就是由矩阵的乘法而来的。矩阵除了可以进行运算外，还可以进行一些交换变成较简单的矩阵，根据差别问题的需要，对矩阵进行差别的变换。矩阵的变换有 初等变换、条约变换、相似变换 等。由于矩阵可以进行运算和交换，因此它成为了一个强有力的数学工具，希望同砚们像纯熟掌握微积分一样纯熟掌握矩阵。
在解析几何中，平面上二次曲线的一般方程是
a x 2 + 2 b x y + c y 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0 （ 5 ） ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0（5） ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0（5）
为了研究这条曲线二次曲线的性质，需要坐标变换，把方程（5）化成标准方程。假如方程（5）中没有交叉项（即 x y xy xy项），那么只需要配方，然后作移轴就可以化成标准方程了，于是关键在于如何消去交叉项，而这实质就是把式（6）化成平方和的情势（7）。
a x 2 + 2 b x y + c y 2 ( 6 ) → a ′ x ′ 2 + c ′ y ′ 2 （ 7 ） ax^{2}+2bxy+cy^{2} (6) \rightarrow a'x'^{2}+c'y'^{2}（7） ax2+2bxy+cy2(6)→a′x′2+c′y′2（7）
式（6）是 x x x 和 y y y 的二次齐次多项式，简称为 x x x， y y y 的二次齐次或二次型。于是把二次曲线方程（5）化成标准方程的关键是要把二次型（6）化成平方和（7）的情势。因此，二次曲线问题的提出需要研究二次型。此外，数学的其他分支以及物理力学中也经常会碰到二次型。（博主：线性代数里的二次型与微分几何【第一根本情势、第二根本情势】、概率论与数理统计【概率密度函数】、经典力学【动能、势能】、电动力学【电场能量密度、磁场能量密度】均有关联。这一段笔墨来自豆包大模子。2025.2.17 21:50）在研究二次型时，矩阵是一个有力的工具。
在解析几何中研究了向量。我们知道向量可以进行运算，有加法、数量乘法运算等，并满足加法交换律等八条运算规律（以下简称八条规律 ）。
向量满足的八条规律通常是指向量空间的公理。一个向量空间是定义在某个域上的一个集合，此中的元素称为向量。
1、加法封闭性：对于向量空间中的恣意两个向量 u 、 v u、v u、v，它们的和 u + v u+v u+v 也在向量空间中。
2、加法联合律：对于向量空间中的恣意三个向量 u 、 v 、 w u、v、w u、v、w，有 ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u+v)+w=u+(v+w) (u+v)+w=u+(v+w)。
3、加法交换律：对于向量空间中的恣意两个向量 u 、 v u、v u、v，有 u + v = v + u u+v=v+u u+v=v+u 。
4、加法单元元：存在一个向量 0 0 0（零向量），使得对于向量空间中恣意一个向量 u u u，有 u + 0 = u u+0=u u+0=u。
5、加法逆元：对于向量空间中的恣意一个向量 u u u，存在一个向量 − u -u −u（负向量），使得 u + ( − u ) = 0 u+(-u)=0 u+(−u)=0。
6、数乘封闭性：对于向量空间中的恣意一个向量 u u u 和域中的任一个标量 c c c，它们的数乘 c u cu cu 也在向量空间中。
7、数乘对向量加法的分配律：对于向量空间中的恣意两个向量 u 、 v u、v u、v，以及域中的恣意一个标量 c c c，有 c ( u + v ) = c u + c v c(u+v)=cu+cv c(u+v)=cu+cv 。
8、数乘对域加法的分配律：对于向量空间中的恣意一个向量 u u u ，以及域中恣意两个标量 c c c 和 d d d，有 ( c + d ) u = c u + d u (c+d)u=cu+du (c+d)u=cu+du。
除以上8条外，实际上另有两条关于数乘的规律：
9、数乘的联合律：对于向量空间中的恣意一个向量 u u u ，以及域中的恣意两个标量 c 、 d c、d c、d，有 ( c d ) u = c ( d u ) (cd)u=c(du) (cd)u=c(du)
10、数乘的单元元：对于向量空间中的恣意一个向量 u u u，有 1 u = u 1u=u 1u=u，此中 1 就是域中的乘法单元元。
综述，向量空间中的公理共有十条，但课本上通常只有八条，因为最后两条是关于数乘的额外规则。
在研究线性方程组时，一个线性方程 a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b a1x1+a2x2+⋯+anxn=b 可以用有序数组 ( a 1 , a 2 , a n , b ) (a_1,a_2,a_n,b) (a1,a2,an,b) 表示，这种有序数组也称为向量。一个 n n n 元有序数组 ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) (a_1,a_2,...,a_n) (a1,a2,...,an) 称为一个 n n n 维向量。 n n n 维向量之间也可以规定加法和数量乘法两种运算，这两种运算同样满足八条规律。矩阵也有加法、数量乘法，而且这两种运算也滞足八条规律。像向量、矩阵这些对象已经不是数，但是它们都有加法、数量乘法这两种运算（加法、数量乘法称为线性运算），而且满足加法交换率等八条规律。如许的一些对象很多，譬如，多项式、一连函数等也都具有加法、数量乘法两种运算，且满足八条规律。代数是研究运算的，线性代数就是研究具有加法、数量乘法这两种线性运算的集合。 像向量构成的集合、矩阵构成的集合，都是具有两种线性运算，且满足八条规律的集合，如许的集合就称为线性空间。线性空间是线性代数研究的最根本的对象。解析几何里，全体向量构成的集合就是一个线性空间。我们都知道，若取定了三个不共面的向量 e 1 、 e 2 、 e 3 e_1、e_2、e_3 e1、e2、e3，则空间中任何一个向量 a a a 都以表示成 e 1 、 e 2 、 e 3 e_1、e_2、e_3 e1、e2、e3 的线性组合： a = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 a=x_1e_1 +x_2e_2+x_3e_3 a=x1e1+x2e2+x3e3 。这说明通过三个不共面的向量 e 1 、 e 2 、 e 3 e_1、e_2、e_3 e1、e2、e3 就能表示出空间中的全部向量，于是称这空间是三维的，而且称这三个不共面的向量 e 1 、 e 2 、 e 3 e_1、e_2、e_3 e1、e2、e3 是这空间的一组基维数和基的概念可以推广到抽象的线性空间中。
线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象。我们熟悉客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但更重要的是研究它们之间的各种各样的联系。在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射。线性空间 V V V 到自身的映射通常称为 V V V 的一个变换。此中最简单的一种变换就是线性变换，即保持线性运算的变换：
{ Γ ( α + β ) = Γ ( a ) + Γ ( b ) Γ ( k α ) = k Γ ( α ) （ 8 ） \begin{cases} \Gamma(\alpha+\beta)=\Gamma(a)+\Gamma(b)\\ \Gamma(k\alpha)=k\Gamma(\alpha) \end{cases}（8） {Γ(α+β)=Γ(a)+Γ(b)Γ(kα)=kΓ(α)（8）
譬如在几何空间中，关于平面 Π \Pi Π 的投影就是一个线性变换。这是因为，若向量 α \alpha α 的投影是 α ′ \alpha' α′，向量 β \beta β 的投影是 β ’ \beta’ β’，则易看出 α + β \alpha+\beta α+β 的投影是 α ′ + β ′ \alpha'+ \beta' α′+β′。这表明投影是保持向量加法的。同样，轻易看出 k α k\alpha kα 的投影是 k α ′ k\alpha' kα′，这表明投影是保持数量乘法的。
线性变换是线性代数的重要研究对象。线性变换与矩阵有着非常密切的联系，在线性空间中若取定一组基，则一个线性变换可以对应到一个矩阵，这个对应是一一对应，而且这个对应是保持运算的。因此矩阵的好些问题可以通过研究线性变换来得到办理，而线性变换的好些问题又可以使用矩阵的工具来办理，它们互相渗出，密切相连。
以上所述的 线性方程组、矩阵、二次型、线性空间和线性变换 就是线性代数研究的主要对象。由于电大“线性代数”这门课程的学时比力少，我们就不讲抽象的线性空间了，而讲具体的 n n n 维向量空间；也不讲线性变换的概念了，而把线性变换的主要问题用矩阵的语言来讲。在这里顺便指出，高等代数是包括线性代数和多项式理论这两部门内容的，而我们仅学习线性代数这部门内容。 二、学习线性代数的用处
由于线性代数研究的是具有加法和数量乘法这两种运算的集合，而具有这两种线性运算的对象是很多的，因此线性代数的内容有广泛的应用。
线性方程组是最简单的方程组，在数学的各个分支、物理以及工程技能实际问题中会大量遇到线性方程组。因此给了一个线性方程组，它有没有解？如有解，如何求解？这都是必须明确的问题，以便于我们在数学的各个分支以及实际工作中能正确而迅速地办理所遇到的线性方程组的问题。
矩阵是非常重要的数学工具，很多数学问题、实际问题都可以引出矩阵，而且可以通过对矩阵进行运算或变换得到办理。比方，在微分方程组中，要解微分方程组（9），此中 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1、y2 是未知函数。
{ d y 1 d x = y 1 + 4 y 2 d y 2 d x = y 1 + y （ 9 ） \begin{cases}\frac{dy_1}{dx}=y_1+4y_2\\ \frac{dy_2}{dx}=y_1+y\end{cases}（9） {dxdy1=y1+4y2dxdy2=y1+y（9）
式（9）右边的系数可以排成一个矩阵 A = [ 1 4 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&4\\ 1&1\end{bmatrix} A=[1141] 。假如记 d d x ( y 1 y 2 ) = ( d y 1 d x d y 2 d x ) \frac{d}{dx}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{dy_1}{dx}\\ \frac{dy_2}{dx}\end{pmatrix} dxd(y1y2)=(dxdy1dxdy2)，则使用矩阵的乘法可以把式（9）写成（10）。 d d x ( y 1 y 2 ) = ( 1 4 1 1 ) ( y 1 y 2 ) （ 10 ） \frac{d}{dx}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}（10） dxd(y1y2)=(1141)(y1y2)（10）
作未知函数的线性替换 { y 1 = t 11 z 1 + t 12 z 2 y 2 = t 21 z 1 + t 22 z 2 （ 11 ） \begin{cases}y_1=t_{11}z_1+t_{12}z_2\\ y_2=t_{21}z_1+t_{22}z_2\end{cases}（11） {y1=t11z1+t12z2y2=t21z1+t22z2（11）
式（11）也可以使用矩阵的乘法写成（12） ( y 1 y 2 ) = ( t 11 t 12 t 21 t 22 ) ( z 1 z 2 ) （ 12 ） \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}\\ t_{21}&t_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}（12） (y1y2)=(t11t21t12t22)(z1z2)（12）
记 T = [ t 11 t 12 t 21 t 22 ] T=\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}\\ t_{21}&t_{22}\end{bmatrix} T=[t11t21t12t22]，将式（12）代入式（10），得
d d x ( T ( z 1 z 2 ) ) = A T ( z 1 z 2 ) \frac{d}{dx}\Big(T\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}\Big)=AT\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix} dxd(T(z1z2))=AT(z1z2)
即
T d d x ( z 1 z 2 ) = A T ( z 1 z 2 ) （ 13 ） T\frac{d}{dx}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=AT\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}（13） Tdxd(z1z2)=AT(z1z2)（13）
在式（13）双方左乘 T − 1 T^{-1} T−1 （T的逆矩阵），得
d d x ( z 1 z 2 ) = T − 1 A T ( z 1 z 2 ) （ 14 ） \frac{d}{dx}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=T^{-1}AT\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}（14） dxd(z1z2)=T−1AT(z1z2)（14）
假如能选择矩阵 T T T，使得 T − 1 A T T^{-1}AT T−1AT 称为对角矩阵 [ a 1 0 0 a 2 ] \begin{bmatrix}a_1&0\\ 0&a_{2}\end{bmatrix} [a100a2] ，那么式（14）变成
d d x ( z 1 z 2 ) = [ a 1 0 0 a 2 ] ( z 1 z 2 ) （ 15 ） \frac{d}{dx}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&0\\ 0&a_{2}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}（15） dxd(z1z2)=[a100a2](z1z2)（15）
使用矩阵的乘法，式（15）就成为
{ d z 1 d x = a 1 z 1 d z 2 d x = a 2 z 2 （ 16 ） \begin{cases}\frac{dz_1}{dx}=a_1z_1\\ \frac{dz_2}{dx}=a_2z_2\end{cases}（16） {dxdz1=a1z1dxdz2=a2z2（16）
显然，微分方程组（16）是很轻易求解的。这个例子说明，通过矩阵的运算和矩阵的变换，可以把一个复杂的问题变成一个较简单的问题，以是矩阵是一个很有效的工具。（博主：对于线性代数和微分方程之间的联系，可参考博主在2020年5月21日写的一篇文章《线代[6]｜矩阵对角化以及特性值在微分方程中的应用》。2025.2.22 21:06）
二次型理论首先的一个应用是办理了二次曲线，特别是二次曲面的分类问题。其次，系数是实数的二次型的正定、负定、不定性被用在数学分析中办理多元函数的极大值、极小值问题。二次型理论在概率论与数理统计以及物理力学中也有重要应用。
值得指出的是，我们学习线性代数，除了线性代数的内容有广泛的应用以外，还在于线性代数这门学科考虑问题、办理问题的思想方法对我们有很大的帮助。譬如，代数学总是要对所研究的对象进行分类，在每类中取一个最简单的对象作为代表来进行研究。关于这点，举一个例子，对于两个 n n n 阶矩阵（n 行 n 列的矩阵） A A A、 B B B，假如存在一个可逆矩阵 T T T，使得
B = T − 1 A T B=T^{-1}AT B=T−1AT
则 A 、 B A、B A、B 称为相似。按照这个相似关系，全体 n 阶矩阵就被分成很多多少类，每一类里的矩阵是相互相似的。有人会问：在每一类里能否找到一个最简单的矩阵作为代表？上面提到的微分方程组的例子中，关于选择 T T T，使得 T − 1 A T T^{-1}AT T−1AT 成为对角矩阵，就是这里所说的问题。这个问题在第五章矩阵的标准形中将得到办理。代数学的上述这种研究问题的方法对我们办理其他数学分支中的问题以至于实际中的一些问题都是可取的。又譬如在代数学里，经常要在一类对象里找出具有某一特定性质的特殊对象，举一个例子：什么样的 n n n 阶矩阵是可逆矩阵？在办理这种问题时，总是先考虑假如矩阵 A A A 是可逆矩阵，那么它将具有哪些性质，然后再考虑具有这些性质的矩阵是否一定是可逆矩阵。这种考虑问题的方法是：先缩小范围，然后在这缩小了的范围内来审查这些对象是否都是具有某一特定性质的对象。这种考虑问题的方法也是可取的。像这种在学习一门课程的时候，除了学习这门课程的内容外，还注意学习这门学科考虑问题的一些方法也是很有必要的。如许我们学到的就不仅是一些现成的结论，而且有考虑问题、办理问题的一些方法。 三、线性代数的特点
代数学研究问题的根本方法是，先从某些具有公共性质的对象抽象出它们最根本的几条性质作为定义，然后从这些定义出发进行逻辑推理，揭示出这类对象的新的性质。譬如线性空间这一概念就是如许抽象出来的：把具有加法和数量乘法这两种运算，而且满足八条规律作为线性空间的定义，然后从线性空间的定义出发进行逻辑推理，揭示出线性空间的很多性质，这些性质由于是只用到线性空间的定义进行逻辑推理得到的，并没有效到线性空间里的元素的具体特性，因此如许推导出来的性质就对全部的线性空间都适用，不管是几何空间、 n 维向量空间、照旧矩阵构成的空间、一连函数构成的空间，都具有这些性质。可见，这种方法的好处在于它能使应用非常广泛。 代数学的这种研究问题的方法称为公理化的方法或抽象的方法，这种公理化的方法使得线性代数具有如下几个特点： 第一，概念多而且抽象。 警如在第三章线性方程组中，将遇到向量组的线性相关、线性无关，等价的向量组，向量组的极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩等一系列概念，而且这些概念都比力抽象。概念上的高度抽象性是近代数学的特点之一。由此而来的则是应用上的极其广泛性，这也是近代数学的一个特点。在线性代多中，由线性方程组抽象出 n n n 维向量和矩阵这两个概念，又从 n n n 维向量空间抽象出线性空间的概念，一次比一次抽象。抽象的东西不如具体的东西好学，但是抽象的东西比具体的东西应用要广，以是照旧需要认真下功夫把它学好。 第二，逻辑性强。 由于代数学的根本方法是由具体事件抽象出一般概念，再运用这些概念逻辑推理揭示失事物新的性质，因此线性代数这门课程的逻辑性强，一环扣一环。 第三，明显的几何配景。 这在前面介绍线性代数的内容时已多次提到。这个特点使我们在学习线性代数里的抽象的概念时，可以借助几何直观来帮助我们理解这些概念，应该充实使用这一特点。 四、学习线性代数的方法
譬如，向量组线性相关、线性无关这个概念，它是怎么提出来的呢？为什么要学习这个概念呢？这是因为我们要研究线性方程组什么时候有解。由于每个线性方程可用一个向量表示，于是线性方程组是否有解一定跟表示这些方程的一组向量是怎么样的向量组有关系。
从几何上看，两个向量 α 、 b \alpha、b α、b 构成的向量组有两种可能，即 α \alpha α 与 b b b 共线，或者 α \alpha α 与 b b b 不共线。前一情形， α \alpha α 与 b b b 在一条直线上，我们称向量组 α 、 b \alpha、b α、b 线性相关；后一情形， α \alpha α 与 b b b 不在一条直线上，我们称 α \alpha α 与 b b b 构成的向量组线性无关。为了能把线性相关、线性无关的概念推广到 n 维向量空间中，需要对几何上的向量 α \alpha α 与 b b b 共线在代数上如何表示加以分析。在解析几何里知道， α \alpha α 与 b b b 共线的充实必要条件是此中一个向量是另一个向量的倍数，即 α = n b \alpha= nb α=nb 或者 b = μ α b=\mu\alpha b=μα ，此中 n、m 是实数，也就是 1 ⋅ α − λ b = 0 1\cdot\alpha-\lambda b=0 1⋅α−λb=0 或者 μ α − 1 ⋅ b = 0 \mu\alpha-1 \cdot b=0 μα−1⋅b=0 。换言之，存在不全为 0 的数 k 1 、 k 2 k1、k2 k1、k2 ，使得 k α + k b = 0 k\alpha+kb=0 kα+kb=0 。从这几何配景引出向量组线性相关的定义：对于向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a s ( s ≥ 1 ) a_1,a_2,\cdots,a_s(s \geq 1) a1,a2,⋯,as(s≥1)，假如存在一组不全为 0 的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks，使得式（17）成立，则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ( s ≥ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s \geq 1) α1,α2,⋯,αs(s≥1) 线性相关。
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 （ 17 ） k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0（17） k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0（17）
在理解这个定义时，要注意“不全为 0”这几个字。因为对于任何向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a s a_1,a_2,\cdots,a_s a1,a2,⋯,as 来说，都有
0 ⋅ α 1 + 0 ⋅ α 2 + ⋯ + 0 ⋅ α s = 0 0\cdot\alpha_1+0\cdot\alpha_2+\cdots+0\cdot\alpha_s=0 0⋅α1+0⋅α2+⋯+0⋅αs=0
以是假如在线性相关的定义中不添加上“不全为 0”的限定，那么就毫无意义了。况且从几何配景上我们知道 α \alpha α 与 b b b 共线的充实必要条件是存在不全为 0 的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks 使得 k α + k b = 0 k\alpha+kb=0 kα+kb=0，以是只有当向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a s a_1,a_2,\cdots,a_s a1,a2,⋯,as 存在不全为 0 的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks 使得式（17）成立时，才是线性相关。
一个向量组不线性相关就称这个向量组线性无关。比方，几何上两个向量a与b若不共线，就称向量组 a、b 线性无关。既然向量组 a 1 ， a 2 , ⋯ , a s a_1，a_2,\cdots,a_s a1，a2,⋯,as 不线性相关，就称为线性无关，因此向量组线性无关的定义又可叙述如下:
对于向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs，假如从 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 （ 17 ） k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0（17） k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0（17） 可以推出 k 1 = k 2 = ⋯ = k s = 0 k_1=k_2=\cdots=k_s=0 k1=k2=⋯=ks=0，则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs 线性无关。这就是说，对于向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs，假如只有一组全为 0 的数，使得式（17）成立，则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs 线性无关。
为了更好地把握向量线性无关的定义，我们在学习中，还应该多通过一些具体的例子去深入领会。(博主：对于以上文本中涉及到的一切数学概念的梳理，可阅读博主于2020年4月23日发布的一篇文章《线代[2]｜对极易肴杂概念的梳理：线性相关与线性无关、极大线性无关部门组与秩与基础解系、向量空间的基与维数》。2025.2.22 21:15) 第二，要努力培养逻辑推理的本领，即运用概念和已知的定理、性质进行推理、判断的本领。 为此，情势逻辑的一些根本知识是应当熟悉的。譬如，命题有四种情势: 原命题、逆命题、否命题、逆否命题。若原命题正确，则逆否命题一定正确，但是逆命题和否命题不一定正确。
要能进行逻辑推理，就必须熟记概念和定理、性质，否则就没有武器，遇到一个题就不知道如何动手。 第三，学习每一章、每一节时，都要明确这章、这节要研究什么问题，是如何办理的。 如许做，学习中头脑就是清醒的；假如不如许做，就会稀里糊涂，不知道现在在干什么。在学习一个定理时也要如许，要明确为什么要有这个定理，这个定理是如何证明的，主要是抓住证明的思路，弄清是怎样去证明的。假如对峙这么做了，就能不断学到一些方法，从而进步分析问题、办理问题的本领。 第四，学习线性代数跟学习任何一门数学课一样，必须得当多做一些习题。 光听课、光看书，自己不动手做题，那是学不好数学的。只有通过做题，才能加深对概念、定理的理解，才能学到一些方法。做习题时，一定要自己动脑子想，不要轻易翻习题解答，只有当想了很久确实想不出来时，才翻一下习题解答，稍微看一两眼，得到一点提示就可以不看了，自己再去想。只有自己动脑子做出来的题才是真的会了，假如是自己动脑子不够，轻易就看习题解答，那么很快就会忘的。做完题要注意小结，看看如许一类问题应当如何动手，千万不要任务观点，赶紧做完作业就放到一边。应当想一想，通过做这几个题有什么收获，学到什么方法。如许日积月累，本领就逐渐进步了。还要指出一点，做计算题时要算到底，不要因为算起来较麻烦就不愿意往下算了认为反正我方法会了。如许下去是不行的。其实算得对、算得快，这也是需要培养的一种本领，不在平时做作业时训练，就会在今后实际工作中算题时尽出错。
线性代数概念较多，也比力抽象一点，但是只要我们下刻意，而且注意学习方法，是可以或许学好的。 五、更新时间记录