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标题: 数学知识整理：二重积分 [打印本页]

作者: 篮之新喜 时间: 2022-6-25 10:05
标题: 数学知识整理：二重积分
1 二重积分的性质

1.1 f(x,y)在有界闭区域上可积的充分条件&必要条件

在有界闭区域D上可积的函数f(x,y)必然是D上的有界函数
有界闭区域D上的连续函数或者分片连续函数f(x,y)在D上可积

1.2 线性性质

1.3 积分区域可加

（换言之，区域D被一条曲线分成两个部分区域D1和D2）
1.4 积分不等式

1.5 中值定理

如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，那么在D上至少存在一点 $(x_0,y_0)$ ，使得 $\iint_Df(x,y)dxdy=f(x_0,y_0)\cdot\sigma$ ，其中σ为区域D的面积
2 二重积分的计算方法

二重积分的计算总是化成累次积分来进行，也就是做一次定积分，再做一次定积分来进行计算。

2.1 按区域和形状分类

2.2 二重积分简化计算

当区域D关于x轴对称时
- · $\iint_Df(x,y)dxdy=0$ ,f(x,y)是奇函数
- $\iint_{D}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_1}f(x,y)dxdy$ ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的上半平面或者下半平面
当区域D关于y轴对称时
- · $\iint_Df(x,y)dxdy=0$ ,f(x,y)是奇函数
- $\iint_{D}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_1}f(x,y)dxdy$ ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的左半平面或者右半平面
当区域D关于x轴，y轴都对称时
- · $\iint_Df(x,y)dxdy=0$ ,f(x,y)是奇函数
- $\iint_{D}f(x,y)dxdy=4\iint_{D_1}f(x,y)dxdy$ ，f(x,y)是偶函数，且D1是D在任一象限中的部分

1.2.3 举例

3 二重积分极坐标二重积分

$\iint_D f(x,y) d\sigma=\iint_D f(rcos\theta, rsin\theta)rdrd\theta$

对于左边的情况， $\iint_D F(r,\theta) drd\theta=\int_{\alpha}^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} F(r,\theta)dr$
对于右边的情况， $\iint_D F(r,\theta) drd\theta=\int_{\alpha}^\beta d\theta \int_{0}^{r(\theta)} F(r,\theta)dr$

3.1 举例

4 二重积分的换元

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，如果变换 $\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \end{matrix}\right.$ 满足以下三个条件

将uv平面上区域D'一一对应到xy平面上的D
变换函数x(u,v),y(u,v)在D'上连续，且有连续的一阶偏微商
雅可比行列式 $J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ 在D'上不取零值

则有换元公式 $\iint_Dd(x,y)d\sigma=\iint_Df(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$
注：可以证明上述三个条件可以适当地放宽：对于（1）和（3），可以允许个别点/个别曲线上不满足；对于（2），可以允许分段连续
4.1 举例

求二重积分 $I=\iint_D xy d\sigma$ 其中区域D是由抛物线 $y^2=x,y^2=4x,x^2=y,x^2=4y$ 围成的

这里无论有那种次序的累次积分，都需要将D分成几块，比较繁琐。
不过如果我们把曲线边界表示为

时候，也就是进行变换 $\left\{\begin{matrix} u=\frac{y^2}{x}\\ v=\frac{x^2}{y} \end{matrix}\right.$ 时，可以迎刃而解。此时 $\left\{\begin{matrix} x=(uv^2)^\frac{1}{3}\\ y=(u^2v)^\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$
雅可比矩阵 $j=\begin{vmatrix} \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}v^\frac{2}{3} & \frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}v^\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}u^{\frac{1}{3}}v^{-\frac{1}{3} }& \frac{1}{3}u^{\frac{2}{3}}v^{-\frac{2}{3}} \end{vmatrix}=-\frac{1}{3}$
所以原式 $=\iint_D(uv^2)^{\frac{1}{3}}(u^2v)^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{3} dudv=\frac{1}{3}\int_1^4(\int_1^4 uv dv)du=\frac{75}{4}$

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