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标题:
【漫话机器学习系列】133.决定系数（R²：Coefficient of Determination）
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作者:
兜兜零元
时间:
2025-3-13 13:16
标题:
【漫话机器学习系列】133.决定系数（R²：Coefficient of Determination）
决定系数（
）详解
决定系数（
）是回归分析中用于评估模型拟合优度的一个紧张统计指标。它体现自变量（特征变量）能够解释因变量（目标变量）变异的程度，取值范围为 [0,1] 或 (−∞,1]（取决于模型情况）。在本篇文章中，我们将详细剖析
的数学公式、直观明白、盘算方法及其在回归分析中的应用。
1.
的数学定义
决定系数的公式如下：
其中：
：真实值（True Y）
：模型猜测值（Predicted Y）
：真实值的均值（Mean True Y）
：
残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）
，权衡模型猜测值与真实值之间的误差。
：
总平方和（Total Sum of Squares, TSS）
，权衡目标变量本身的方差。
（1）分子：残差平方和 RSS
这一项体现模型猜测值与真实值之间的误差。误差越大，模型拟合效果越差。
（2）分母：总平方和 TSS
它体现目标变量本身的方差，即目标变量 Y 的离散程度。总平方和权衡的是假如我们用
均值
作为猜测值，而不利用任何回归模型时的误差。
（3）决定系数
的直观意义
R2R^2R2 可以明白为：
模型解释了多少目标变量的变革
。假如
，意味着模型可以解释 80% 的目标变量变异。
模型的拟合优度
。
越接近 1，说明模型的猜测本领越强；越接近 0，说明模型险些没有猜测本领。
2.
的取值范围及解读
（1）
假如
，则：
即全部猜测值完全等于真实值，说明模型完善拟合数据。但这种情况在现实中极少出现，通常发生在过拟适时。
（2）
假如
，则：
体现模型猜测的误差与直接利用均值猜测的误差相同，说明模型没有任何猜测本领。
（3）
理论上
不会小于 0，但在某些情况下（如利用不恰当的数据或非线性模型时），大概出现
。这体现模型比
简朴均值猜测还要差
，说明模型完全不实用于该数据集。
3.
的直观解释
在图中：
分子
（蓝色部分）体现猜测值与真实值之间的误差平方和（RSS）。
分母
（绿色部分）体现真实值与均值之间的误差平方和（TSS）。
公式的意义
：
当猜测误差较小时，RSS 较小，使得
趋近于 1，体现模型较好。
当猜测误差较大时，RSS 接近或超过 TSS，导致
接近 0 或负值，说明模型较差。
4.
的盘算示例
假设我们有以下数据：
真实值
猜测值
32.855.276.999.1
盘算均值：
盘算总平方和 TSS：
盘算残差平方和 RSS：
盘算
：
说明模型的拟合效果非常好。
5.
的局限性
虽然
是一个紧张的评估指标，但它也有一些局限性：
不能直接判断模型是否合适
高
大概是由于
过拟合
，即模型学到了训练数据的噪声而不是数据的真实模式。
低
并不愿定代表模型无效，有时目标变量本身就具有很大随机性。
不能用于非线性关系
重要用于线性回归模型，假如数据具有非线性关系，即使模型有用，R2R^2R2 也大概较低。
不能解释因果关系
高
仅表明自变量和因变量之间的相干性，但不能说明自变量是否真正
导致
因变量的变革。
6. 结论
决定系数
权衡模型对目标变量的解释本领，范围通常在 [0,1] 之间
。
代表完善拟合，
代表模型无效，
代表模型比随机猜测还差
。
尽管
是紧张的评价指标，但在评估回归模型时，应该结合其他指标（如均方误差 MSE、调整
）来全面分析模型性能
。
这篇文章结合了数学公式、直观明白、示例盘算和实际应用，希望能资助你深入明白
决定系数（
）
！
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