将FIR滤波器的系数 h ( n ) h(n) h(n)按相位分组，每组对应输入信号的差别抽样相位。通太过相、滤波、重组，实现与原FIR等效的处理。 2. 数学变更推导
FIR滤波器的体系函数可表现为：
H ( z ) = ∑ n = 0 N − 1 h ( n ) z − n H(z) = \sum_{n=0}^{N-1} h(n) z^{-n} H(z)=n=0∑N−1h(n)z−n
其中， h ( n ) h(n) h(n)为滤波器系数， N N N为阶数。
设分解因子为 M M M，则第 k k k个子滤波器系数为：
h k ( m ) = h ( k + m M ) , 0 ≤ k < M h_k(m) = h(k + mM), \quad 0 \leq k < M hk(m)=h(k+mM),0≤k<M
将FIR滤波器拆分为 M M M个并行的子滤波器（即多相分量），每个子滤波器处理信号的特定相位分量，再通过延迟和组合实现等效。目标形式为：
H ( z ) = ∑ k = 0 M − 1 z − k H k ( z M ) H(z) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k} H_k(z^M) H(z)=k=0∑M−1z−kHk(zM)
其中， H k ( z M ) H_k(z^M) Hk(zM)表现第 k k k个子滤波器的体系函数。
将 H ( z ) H(z) H(z)按 M M M的整数倍延迟展开：
H ( z ) = ∑ n = 0 N − 1 h ( n ) z − n = ∑ k = 0 M − 1 ∑ m = 0 K − 1 h ( k + m M ) z − ( k + m M ) H(z) = \sum_{n=0}^{N-1} h(n) z^{-n} = \sum_{k=0}^{M-1} \sum_{m=0}^{K-1} h(k + mM) z^{-(k + mM)} H(z)=n=0∑N−1h(n)z−n=k=0∑M−1m=0∑K−1h(k+mM)z−(k+mM)
其中， K = ⌈ N M ⌉ K = \lceil \frac{N}{M} \rceil K=⌈MN⌉（向上取整）。
将原系数按 M M M个相位分组：
第 k k k个子滤波器的系数为： h k ( m ) = h ( k + m M ) h_k(m) = h(k + mM) hk(m)=h(k+mM)
其体系函数为：
H k ( z M ) = ∑ m = 0 K − 1 h k ( m ) z − m M H_k(z^M) = \sum_{m=0}^{K-1} h_k(m) z^{-mM} Hk(zM)=m=0∑K−1hk(m)z−mM
将 H ( z ) H(z) H(z)重写为：
H ( z ) = ∑ k = 0 M − 1 z − k ( ∑ m = 0 K − 1 h ( k + m M ) z − m M ) = ∑ k = 0 M − 1 z − k H k ( z M ) H(z) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k} \left( \sum_{m=0}^{K-1} h(k + mM) z^{-mM} \right) = \sum_{k=0}^{M-1} z^{-k} H_k(z^M) H(z)=k=0∑M−1z−k(m=0∑K−1h(k+mM)z−mM)=k=0∑M−1z−kHk(zM)
3. 时域操纵等价性
原FIR输出：
y ( n ) = ∑ m = 0 N − 1 h ( m ) x ( n − m ) y(n) = \sum_{m=0}^{N-1} h(m)x(n-m) y(n)=m=0∑N−1h(m)x(n−m)
多相布局输出：
y ( n ) = ∑ k = 0 M − 1 ∑ m = 0 K − 1 h k ( m ) x ( n − k − m M ) y(n) = \sum_{k=0}^{M-1} \sum_{m=0}^{K-1} h_k(m) x\left(n - k - mM\right) y(n)=k=0∑M−1m=0∑K−1hk(m)x(n−k−mM) 4、物理意义验证
时域表明
原FIR的输出 y ( n ) = ∑ m = 0 N − 1 h ( m ) x ( n − m ) y(n) = \sum_{m=0}^{N-1} h(m)x(n-m) y(n)=∑m=0N−1h(m)x(n−m)，等效于：
将输入 x ( n ) x(n) x(n)分为 M M M个相位分量（ x ( n − k ) x(n-k) x(n−k)， k = 0 , 1 , … , M − 1 k=0,1,\dots,M-1 k=0,1,…,M−1）
每个子滤波器 H k H_k Hk处理对应的相位分量
效果相加得到输出 y ( n ) y(n) y(n)
频域验证
通过替换 z = e j ω z = e^{j\omega} z=ejω，可验证原频率相应与多相分解后的相应同等。
