玻色哈伯德模型的哈密顿量可以写作：
H ^ = − t ∑ ⟨ i , j ⟩ b ^ i † b ^ j + U 2 ∑ i n ^ i ( n ^ i − 1 ) − μ ∑ i n ^ i \hat{H} = -t \sum_{\langle i,j \rangle} \hat{b}_i^\dagger \hat{b}_j + \frac{U}{2} \sum_i \hat{n}_i (\hat{n}_i - 1) - \mu \sum_i \hat{n}_i H^=−t⟨i,j⟩∑b^i†b^j+2Ui∑n^i(n^i−1)−μi∑n^i
其中：
b ^ i † \hat{b}_i^\dagger b^i† 和 b ^ i \hat{b}_i b^i 分别是位置 i i i 处的玻色子产生和泯没算符。它们满意玻色子交换关系。
n ^ i = b ^ i † b ^ i \hat{n}_i = \hat{b}_i^\dagger \hat{b}_i n^i=b^i†b^i 是位置 i i i 处的玻色子数算符。
t t t 是粒子在相邻格点之间的隧穿振幅，描述玻色子从一个格点隧穿到相邻格点的概率。
U U U 是单个格点上玻色子之间的相互作用能量，通常表现为一个排挤相互作用。
μ \mu μ 是化学势，用于控制系统中的粒子总数。
3. 模型的物理图像
在这个模型中，存在两个主要的竞争因素：
隧穿项：这个项倾向于使玻色子在晶格中自由移动，导致粒子在各格点之间平均分布。
相互作用项：这个项倾向于限定同一个格点上的玻色子数量，特别是在 U > 0 U > 0 U>0 的情况下，导致玻色子倾向于彼此分开。
根据 t t t 和 U U U 的相对大小，系统可以表现出差别的相位（phase）。
4. 模型的相位图
玻色哈伯德模型展示了两种主要的相位：
超流相 (Superfluid Phase)：当隧穿系数 t t t 占主导时，系统处于超流相。这种状态下，玻色子可以在晶格中自由移动，且粒子数分布表现出相干性（coherence）。超流态下没有能隙，系统在零温度下具有无穷长的相干性。
莫特绝缘相 (Mott Insulator Phase)：当相互作用 U U U 占主导时，系统进入莫特绝缘相。在这种相位中，每个晶格点上都有一个固定命量的玻色子，且粒子无法自由移动，导致系统表现为绝缘体。在这种状态下存在一个能隙，这个能隙与粒子数的激发有关。
通过改变 t / U t/U t/U 的比值，可以实现从超流相到莫特绝缘相的量子相变。
5. 量子相变
在玻色哈伯德模型中，量子相变指的是在零温度下，当系统参数（如 t / U t/U t/U）改变时，从一个量子相位（如超流相）到另一个量子相位（如莫特绝缘相）的跃迁。这种相变是由相干性和相互作用之间的竞争导致的。
超流到莫特绝缘的转变：这个量子相变是第二类相变，即相变过程中不会有潜热开释。这种相变发生在临界点 ( t / U ) c (t/U)_c (t/U)c，这个临界点取决于晶格的维度、格点数以及粒子数。
6. 实行实现
玻色哈伯德模型可以在实行室中利用超冷原子在光晶格中实现。通过调解光晶格的深度，可以控制隧穿参数 t t t 和相互作用参数 U U U，从而在实行中观察到超流相和莫特绝缘相，以及它们之间的量子相变。这些实行在验证量子多体理论方面具有重要意义。
总结