向量空间模子将文档和查询都表现为向量，通过盘算向量之间的相似度来确定文档与查询的相关性。常用的相似度度量方法是余弦相似度，其公式如下：
Cosine Similarity ( A , B ) = A ⋅ B ∥ A ∥ ∥ B ∥ \text{Cosine Similarity}(A, B) = \frac{A \cdot B}{\|A\| \|B\|} Cosine Similarity(A,B)=∥A∥∥B∥A⋅B
其中， A A A 和 B B B 分别表现两个向量， A ⋅ B A \cdot B A⋅B 表现向量的点积， ∥ A ∥ \|A\| ∥A∥ 和 ∥ B ∥ \|B\| ∥B∥ 分别表现向量的模。
例如，假设有两个向量 A = [ 1 , 2 , 3 ] A = [1, 2, 3] A=[1,2,3] 和 B = [ 2 , 4 , 6 ] B = [2, 4, 6] B=[2,4,6]，则它们的余弦相似度为：
Cosine Similarity ( A , B ) = 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 6 1 2 + 2 2 + 3 2 2 2 + 4 2 + 6 2 = 2 + 8 + 18 14 56 = 28 14 × 2 14 = 1 \begin{align*} \text{Cosine Similarity}(A, B) &= \frac{1\times2 + 2\times4 + 3\times6}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2}}\\ &= \frac{2 + 8 + 18}{\sqrt{14} \sqrt{56}}\\ &= \frac{28}{\sqrt{14} \times 2\sqrt{14}}\\ &= 1 \end{align*} Cosine Similarity(A,B)=12+22+32 22+42+62 1×2+2×4+3×6=14 56 2+8+18=14 ×214 28=1
4.1.2 TF - IDF 公式
TF - IDF（Term Frequency - Inverse Document Frequency）是一种用于信息检索和文本挖掘的常用加权技术。TF 表现词频，即某个词在文档中出现的频率；IDF 表现逆文档频率，即某个词在整个文档聚会集出现的频率的倒数。TF - IDF 的盘算公式如下：
TF - IDF ( t , d ) = TF ( t , d ) × IDF ( t ) \text{TF - IDF}(t, d) = \text{TF}(t, d) \times \text{IDF}(t) TF - IDF(t,d)=TF(t,d)×IDF(t)
其中， TF ( t , d ) \text{TF}(t, d) TF(t,d) 表现词 t t t 在文档 d d d 中的词频， IDF ( t ) \text{IDF}(t) IDF(t) 表现词 t t t 的逆文档频率，盘算公式为：
IDF ( t ) = log N n t + 1 \text{IDF}(t) = \log\frac{N}{n_t + 1} IDF(t)=lognt+1N
其中， N N N 表现文档聚会集的文档总数， n t n_t nt 表现包含词 t t t 的文档数。
例如，假设有一个文档聚集包含 100 篇文档，其中词 “Python” 在 10 篇文档中出现，在某篇文档中出现了 5 次，则该词在该文档中的 TF - IDF 值为：
TF ( t , d ) = 5 文档中总词数 IDF ( t ) = log 100 10 + 1 ≈ 0.95 TF - IDF ( t , d ) = TF ( t , d ) × 0.95 \begin{align*} \text{TF}(t, d) &= \frac{5}{\text{文档中总词数}}\\ \text{IDF}(t) &= \log\frac{100}{10 + 1} \approx 0.95\\ \text{TF - IDF}(t, d) &= \text{TF}(t, d) \times 0.95 \end{align*} TF(t,d)IDF(t)TF - IDF(t,d)=文档中总词数5=log10+1100≈0.95=TF(t,d)×0.95
4.2 用户推荐中的数学模子和公式
4.2.1 余弦相似度
在用户推荐中，余弦相似度用于盘算用户之间的相似度。假设有两个用户 u u u 和 v v v，他们对物品的评分向量分别为 r u r_u ru 和 r v r_v rv，则他们之间的余弦相似度盘算公式为：
Cosine Similarity ( u , v ) = r u ⋅ r v ∥ r u ∥ ∥ r v ∥ \text{Cosine Similarity}(u, v) = \frac{r_u \cdot r_v}{\|r_u\| \|r_v\|} Cosine Similarity(u,v)=∥ru∥∥rv∥ru⋅rv
例如，假设有两个用户 u u u 和 v v v，他们对物品的评分向量分别为 r u = [ 5 , 3 , 2 ] r_u = [5, 3, 2] ru=[5,3,2] 和 r v = [ 4 , 2 , 3 ] r_v = [4, 2, 3] rv=[4,2,3]，则他们之间的余弦相似度为：
Cosine Similarity ( u , v ) = 5 × 4 + 3 × 2 + 2 × 3 5 2 + 3 2 + 2 2 4 2 + 2 2 + 3 2 = 20 + 6 + 6 38 29 ≈ 0.87 \begin{align*} \text{Cosine Similarity}(u, v) &= \frac{5\times4 + 3\times2 + 2\times3}{\sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} \sqrt{4^2 + 2^2 + 3^2}}\\ &= \frac{20 + 6 + 6}{\sqrt{38} \sqrt{29}}\\ &\approx 0.87 \end{align*} Cosine Similarity(u,v)=52+32+22 42+22+32 5×4+3×2+2×3=38 29 20+6+6≈0.87
4.2.2 皮尔逊相关系数
皮尔逊相关系数也是一种常用的相似度度量方法，它考虑了用户评分的均值。假设有两个用户 u u u 和 v v v，他们对物品的评分向量分别为 r u r_u ru 和 r v r_v rv，则他们之间的皮尔逊相关系数盘算公式为：
Pearson Correlation ( u , v ) = ∑ i ∈ I u v ( r u i − r ˉ u ) ( r v i − r ˉ v ) ∑ i ∈ I u v ( r u i − r ˉ u ) 2 ∑ i ∈ I u v ( r v i − r ˉ v ) 2 \text{Pearson Correlation}(u, v) = \frac{\sum_{i \in I_{uv}} (r_{ui} - \bar{r}_u) (r_{vi} - \bar{r}_v)}{\sqrt{\sum_{i \in I_{uv}} (r_{ui} - \bar{r}_u)^2} \sqrt{\sum_{i \in I_{uv}} (r_{vi} - \bar{r}_v)^2}} Pearson Correlation(u,v)=∑i∈Iuv(rui−rˉu)2 ∑i∈Iuv(rvi−rˉv)2 ∑i∈Iuv(rui−rˉu)(rvi−rˉv)
其中， I u v I_{uv} Iuv 表现用户 u u u 和 v v v 共同评分的物品聚集， r ˉ u \bar{r}_u rˉu 和 r ˉ v \bar{r}_v rˉv 分别表现用户 u u u 和 v v v 的平均评分。
4.3 知识传播中的数学模子和公式
4.3.1 独立级联模子
在独立级联模子中，每个用户在接触到知识后，以一定的概率将知识传播给其邻人用户。假设用户 u u u 接触到知识后，传播给邻人用户 v v v 的概率为 p u v p_{uv} puv，则在一次传播过程中，用户 v v v 被激活（得到知识）的概率为：
P ( v is activated ) = 1 − ∏ u ∈ N ( v ) ( 1 − p u v ) P(v \text{ is activated}) = 1 - \prod_{u \in N(v)} (1 - p_{uv}) P(v is activated)=1−u∈N(v)∏(1−puv)
其中， N ( v ) N(v) N(v) 表现用户 v v v 的邻人用户聚集。
例如，假设有一个用户 v v v，其邻人用户聚集为 { u 1 , u 2 , u 3 } \{u_1, u_2, u_3\} {u1,u2,u3}，传播概率分别为 p u 1 v = 0.2 p_{u_1v} = 0.2 pu1v=0.2， p u 2 v = 0.3 p_{u_2v} = 0.3 pu2v=0.3， p u 3 v = 0.4 p_{u_3v} = 0.4 pu3v=0.4，则用户 v v v 被激活的概率为：
P ( v is activated ) = 1 − ( 1 − 0.2 ) × ( 1 − 0.3 ) × ( 1 − 0.4 ) = 1 − 0.8 × 0.7 × 0.6 = 1 − 0.336 = 0.664 \begin{align*} P(v \text{ is activated}) &= 1 - (1 - 0.2) \times (1 - 0.3) \times (1 - 0.4)\\ &= 1 - 0.8 \times 0.7 \times 0.6\\ &= 1 - 0.336\\ &= 0.664 \end{align*} P(v is activated)=1−(1−0.2)×(1−0.3)×(1−0.4)=1−0.8×0.7×0.6=1−0.336=0.664
4.3.2 线性阈值模子
在线性阈值模子中，每个用户有一个阈值 θ v \theta_v θv，当用户 v v v 的邻人用户中被激活的用户的影响力之和超过阈值 θ v \theta_v θv 时，用户 v v v 被激活。假设用户 u u u 对用户 v v v 的影响力为 w u v w_{uv} wuv，则用户 v v v 被激活的条件为：
∑ u ∈ N ( v ) ∩ A w u v ≥ θ v \sum_{u \in N(v) \cap A} w_{uv} \geq \theta_v u∈N(v)∩A∑wuv≥θv
其中， N ( v ) N(v) N(v) 表现用户 v v v 的邻人用户聚集， A A A 表现已经被激活的用户聚集。
5. 项目实战：代码实际案例和详细表明说明
5.1 开发环境搭建
5.1.1 选择编程语言和开发工具
在利用技术社区进行项目实战时，首先需要选择合适的编程语言和开发工具。常见的编程语言有 Python、Java、C++ 等，开发工具可以选择 Visual Studio Code、PyCharm、IntelliJ IDEA 等。以 Python 为例，我们可以使用 Visual Studio Code 作为开发工具。
5.1.2 安装必要的库和框架