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标题: 图论-最小生成树-根本 [打印本页]

作者: 玛卡巴卡的卡巴卡玛 时间: 2025-4-23 20:57
标题: 图论-最小生成树-根本
0x0f 前置

前置芝士：并查集，图论根本，数论根本
实在最小生成树只是某个人用来装*的 —— 某老师

1x0f 简介

首先给出生成子图的界说（From OI Wiki）：

嗯……有点抽象，不妨简化一下：
有一个图 \(G\)，如果删去 \(G\) 中的多少条边与多少个点得到一个图 \(G'\)，且图 \(G'\) 还保证连通，则称 \(G'\) 为 \(G\) 的生成子图。
那么显然，如果 \(G'\) 是一棵树，那么 \(G'\) 称为 \(G\) 的生成树。
显然，生成树不一定唯一。
那么，最小生成树的“最小”决定于你要求什么，是点权或是边权？由你自己决定。
1x1f 分析

这是一张较为经典的图：

那么这方案求最小生成树：

使用 dfs 递归选或不选，再判断是否联通
但是 dfs 递归时间本来就慢，而判连通则需更多的时间复杂度，显然不可行。

但是，我们可以当和珅贪心！

按照边权排序

选择边7-4，连通7,4

选择边2-8，连通2,8

选择边1-0，连通1,0

选择边0-5，连通0,5

选择边1-8，连通1,8

选择边1-6，连通1-6

选择边3-7，连通3,7

选择边6-5，但是由于6,5已经连通，以是可以不加此边

选择边1-2，但是由于1,2已经连通，以是可以不加此边

选择边6-7，连通6,7

已经形成一棵树，后面的边都不选了

那么我们发现，这个方法需要两种操作：

判断两个点是否在同连续通块内
将两个点添加到同一个连通块内
于是，基于并查集与贪心实现的Kruskal闪亮登场！！！

1x2f 实现

1x2f0fLuogu P3366【模板】最小生成树

首先，界说布局体数组Edge{u,v,w}来表示一条边，使用fa数组来表示并查集
输入及初始化：

并查集根本操作：

kruskal操作：
特殊处理：
可以发现，在末了如果图自己不连通，还需输出 orz ，我们可以发现，如果图自己不连通，那么末了就不会是一棵树，即 \(n-1\not=m\)，判断即可。

1x2f1f Luogu P2820 局域网

读题后可以发现，依旧是求最小生成树，只需在一开始求出边权总和，在末了求差值即可。
主要代码：

3x0f 练习题

根本题：

附加题：

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