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标题: 牛顿插值法【python，算法】 [打印本页]

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作者: 祗疼妳一个    时间: 2024-7-10 22:49
标题: 牛顿插值法【python，算法】
牛顿插值法是一种构建插值多项式的方法，它利用一系列已知的数据点来估算区间内任意点的函数值。这种方法的特点是通过计算差商（divided differences）来逐步构建插值多项式，具有较好的计算效率和承袭性，即在添加或删除数据点时，可以基于已有计算结果进行调整，无需完全重新计算。
根本步骤如下：

• 界说差商
                                                f                               (                                           x                                  0                                          ,                                           x                                  1                                          ,                               .                               .                               .                               .                               ,                                           x                                  n                                          )                               =                                                        f                                     (                                                   x                                        1                                                  ,                                                   x                                        2                                                  ,                                     .                                     .                                     .                                     .                                     .                                     ,                                                   x                                        n                                                  )                                     −                                     f                                     (                                                   x                                        0                                                  ,                                                   x                                        1                                                  ,                                     .                                     .                                     .                                     .                                     .                                     ,                                                   x                                                       n                                           −                                           1                                                                                                    x                                        n                                                  −                                                   x                                        0                                                                          f(x_0,x_1,....,x_n)=\frac{f(x_1,x_2,.....,x_n)-f(x_0,x_1,.....,x_{n-1}}{x_n-x_0}                        f(x0​,x1​,....,xn​)=xn​−x0​f(x1​,x2​,.....,xn​)−f(x0​,x1​,.....,xn−1​​
  
• 构造插值多项式
                                                      P                               n                                      (                            x                            )                            =                            f                            (                                       x                               0                                      )                            +                                       ∑                                           i                                  =                                  1                                          n                                      f                            (                                       x                               0                                      ,                                       x                               1                                      ,                            .                            .                            .                            ,                                       x                               i                                      )                                       ∏                                           k                                  =                                  0                                                      i                                  −                                  1                                                 (                            x                            −                                       x                               k                                      )                                  P_n(x)=f(x_0)+\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_0,x_1,...,x_i) \prod\limits_{k=0}^{i-1}(x-x_k)                     Pn​(x)=f(x0​)+i=1∑n​f(x0​,x1​,...,xi​)k=0∏i−1​(x−xk​)
  
• 插值过程
  
  
  
  • 从最低阶差商开始计算，逐步向上计算更高阶的差商。
    
  • 根据计算出的差商构造终极的插值多项式。
    
  • 计算                                                  x                                          x                           x的估计函数值                                                               P                                     n                                              (                                  x                                  )                                          P_n(x)                           Pn​(x)。
    
  
  

以下是牛顿插值法的 Python 实现：

1. import numpy as np
4. def newton_interpolation(x_points, y_points, target_x):
5.     n = len(x_points)
6.     # 初始化差商表
7.     divided_diff = np.zeros((n, n))
8.     if len(y_points) != n:
9.         raise ValueError('x_points and y_points must have the same length')
10.     # 第 0 列初始化为 y_points
11.     divided_diff[:, 0] = y_points
12.     # 计算 i 阶差商
13.     for i in range(1, n):
14.         for j in range(n - i):
15.             divided_diff[j, i] = (divided_diff[j + 1, i - 1] - divided_diff[j, i - 1]) / (x_points[j + i] - x_points[j])
17.     # 根据差商计算插值
18.     result = y_points[0]
19.     for i in range(1, n):
20.         # 第 i 阶差商
21.         p = divided_diff[0, i]
22.         # 计算 x-x_j,将所有的结果相乘
23.         for j in range(i):
24.             p *= (target_x - x_points[j])
25.         result += p
26.     return result
29. # 测试验证
30. x_points = [1, 2, 3, 4]
31. y_points = [1, 4, 9, 16]
32. print(newton_interpolation(x_points, y_points, 5))

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