加噪过程如下图，下一时刻的图像是在上一时刻图像的基础上参加噪音天生的，
图中公式的寄义： x t x_t xt表示 t 时刻的图像， ϵ t \epsilon_t ϵt 表示 t 时刻天生的随机分布的噪声图像， β t \beta_t βt表示 t 时刻指定的常数，不同时刻的 β t \beta_t βt不同，随着时间 t 的递增而增加，但必要留意 β t \beta_t βt的值始终是比力小的，因为要让图像的数值占较大的比例，
2.1 加噪的详细细节
A、将图像 x x x像素值映射到[-1,1]之间
图像加噪不是在原有图像上进行加噪的，而是通过把图片的每个像素的值转换为-1到1之间，比如像素的值是 x x x，则必要颠末下面公式的处理 x 255 × 2 − 1 \frac{x}{255}\times2-1 255x×2−1，转换到范围是-1到1之间，
代码：
D、任一时刻的图像 x t x_t xt都可以由原图像 x 0 x_0 x0直接天生(可以由含 x 0 x_0 x0的公式直接表示)
x t x_t xt与 x 0 x_0 x0的关系： x t = 1 − α t ‾ ϵ + α t ‾ x 0 x_t=\sqrt{1-\overline{\alpha_t}}\epsilon+\sqrt{\overline{\alpha_t}}x_0 xt=1−αt ϵ+αt x0， α t = 1 − β t \alpha_t=1-\beta_t αt=1−βt， α t ‾ = α t α t − 1 . . . α 2 α 1 \overline{\alpha_t}=\alpha_t\alpha_{t-1}...\alpha_2\alpha_1 αt=αtαt−1...α2α1
由上式可知， β t \beta_t βt是常数，则 α t \alpha_t αt， 1 − α t ‾ \sqrt{1-\overline{\alpha_t}} 1−αt ， α t ‾ \sqrt{\overline{\alpha_t}} αt 也是常数， ϵ \epsilon ϵ也是已知的，所以可以直接由 x 0 x_0 x0天生 x t x_t xt，
def perturb_x(self, x, t, noise):
return (extract(self.sqrt_alphas_cumprod, t, x.shape) * x +
去噪是加噪的逆过程，由时间T时刻的图像逐渐去噪到时刻为0的图像，
下面介绍一下由时刻为T的图像 x T x_T xT去噪到时刻为T-1的图像 x T − 1 x_{T-1} xT−1，输入为时刻为t的图像 x t x_t xt和时刻t，喂给Unet网络天生 ϵ θ \epsilon_\theta ϵθ，其中 θ \theta θ是Unet网络的所有参数，然后由下图中的 x t − 1 {\bf x}_{t-1} xt−1的公式即可天生时刻为t-1的图像 x t − 1 {\bf x}_{t-1} xt−1，
假设数据集中有100张图片，每张图片的shape是4x4x3，假设每张图片的每个channel的每个像素点都服从正态分布， x t − 1 x_{t-1} xt−1的正态分布的均值 μ \mu μ 和方差 σ 2 \sigma^2 σ2 只和 x t x_t xt有关，已知在t时刻的图像，求t-1时刻的图像，
1、因为均值和方差 μ ( x t ) \mu(x_t) μ(xt)， σ 2 ( x t ) \sigma^2(x_t) σ2(xt) 无法求出，所以我们决定让网络来帮我们预测均值和方差，
2、因为每一个像素都有自己的分布，都要预测出一个均值和方差，所以网络输出的尺寸必要和图像尺寸一致，所以我们选用 Unet 网络，
3、作者在论文中表示，方差并不会影响效果，所以网络只要预测均值就可以了，
4、损失函数
我们要求极大似然的最大值，必要对 μ \mu μ和 σ \sigma σ求导，但是对于扩散的过程是不可行的，如下面的公式无法求出，因为 x 1 : x T x_1:x_T x1:xT的不同组合所求出的 x 0 x_0 x0的值也不同，
p ( x 0 ) = ∫ x 1 : x T p ( x 0 ∣ x 1 : x T ) d x 1 : x T p(x_0)=\int_{x_1:x_T}p(x_0|x_1:x_T)d_{x_1:x_T} p(x0)=∫x1:xTp(x0∣x1:xT)dx1:xT
为了实现对极大似然函数的求导，把对极大似然求导的问题转换为ELBO :Evidence Lower Bound
对ELBO的公式继续进行化简，
首先来看 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)表示已知 x 0 x_0 x0和 x t x_t xt的情况下推导 x t − 1 x_{t-1} xt−1，这个公式是可以求解的，如上图公式推导； p θ ( x t − 1 ∣ x t ) p_{\theta}(x_{t-1}|x_t) pθ(xt−1∣xt)必要利用 Unet 预测出该分布的均值，
q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)公式的推导如下：
下图是练习阶段的伪代码，第1行和第6行表示第2行到第5行的代码一直在循环，
第2行：从数据集中筛选出一张图像，即为 x 0 \bf{x}_0 x0,
第3行：从0到 T T T的均匀分布中筛选出 t t t，源码中 T T T的范围设为1000，
第4行：从均值为0，方差为1的标准正态分布中采样出 ϵ \epsilon ϵ， ϵ \epsilon ϵ的size和 x 0 \bf{x}_0 x0的size是雷同的，
第5行： x t x_t xt和从0到 T T T的均匀分布中筛选出 t t t喂给Unet，输出 ϵ θ \epsilon_\theta ϵθ，和第4行代码采样出的 ϵ \epsilon ϵ， ∣ ∣ ϵ − ϵ θ ( . . . ) ∣ ∣ 2 ||\epsilon-\epsilon_\theta(...)||^2 ∣∣ϵ−ϵθ(...)∣∣2的均方差作为损失函数，对这个损失函数求梯度进行参数更新，参数是Unet所有参数的聚集 θ \theta θ，
下图是推导/采样/天生图片阶段的伪代码，
第1行：从随机分布中采样一个 x T {\bf x}_T xT，
第2行：遍历从 T T T到1，
第3行：从随机分布中采样一个 z \bf{z} z，
第4行：已知 z \bf{z} z、 α t \alpha_t αt、 σ t \sigma_t σt， ϵ θ \epsilon_\theta ϵθ是Unet网络天生的，就可以得到 x t − 1 {\bf x}_{t-1} xt−1
循环2-4行代码，
