Burgers 方程的情势为：
u t + u u x = ϵ u x x , u_t + u u_x = \epsilon u_{xx}, ut+uux=ϵuxx,
其中， u u u 是待求函数， x x x 是空间变量， t t t 是时间变量， ϵ \epsilon ϵ 是黏性系数。
初始条件和界限条件
为了求解方程，我们需要指定初始条件和界限条件。在本文中，我们选择如下初始条件：
u ( x , 0 ) = − sin ( π x ) , u(x, 0) = -\sin(\pi x), u(x,0)=−sin(πx),
界限条件设定为常数界限条件：
u ( − 1 , t ) = 0 , u ( 1 , t ) = 0. u(-1, t) = 0, \quad u(1, t) = 0. u(−1,t)=0,u(1,t)=0.
数值方法
我们使用向后欧拉法进行时间离散，并使用中央差分法进行空间离散。时间步长为 d t dt dt，空间步长为 d x dx dx。
时间离散
向后欧拉法的时间离散情势为：
u n + 1 − u n d t + u n + 1 ∂ u n + 1 ∂ x = ϵ ∂ 2 u n + 1 ∂ x 2 \frac{u^{n+1} - u^n}{dt} + u^{n+1} \frac{\partial u^{n+1}}{\partial x} = \epsilon \frac{\partial^2 u^{n+1}}{\partial x^2} dtun+1−un+un+1∂x∂un+1=ϵ∂x2∂2un+1
空间离散
中央差分法用于空间离散， u x u_x ux 和 u x x u_{xx} uxx 的差分格式为：
∂ u ∂ x ≈ u i + 1 − u i − 1 2 d x . \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2 dx}. ∂x∂u≈2dxui+1−ui−1.
∂ 2 u ∂ x 2 ≈ u i + 1 − 2 u i + u i − 1 d x 2 . \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{dx^2}. ∂x2∂2u≈dx2ui+1−2ui+ui−1.
差分格式
综合时间离散和空间离散，得到差分格式：
u i n + 1 − u i n d t + u i n + 1 u i + 1 n + 1 − u i − 1 n + 1 2 d x = ϵ u i + 1 n + 1 − 2 u i n + 1 + u i − 1 n + 1 d x 2 . \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{dt} + u_i^{n+1} \frac{u_{i+1}^{n+1} - u_{i-1}^{n+1}}{2 dx} = \epsilon \frac{u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{dx^2}. dtuin+1−uin+uin+12dxui+1n+1−ui−1n+1=ϵdx2ui+1n+1−2uin+1+ui−1n+1.
数值求解过程
