其基本原理基于以下公式：
o u t p u t [ n ] = α ∗ i n p u t [ n ] + ( 1 − α ) ∗ o u t p u t [ n − 1 ] output[n] = α * input[n] + (1 - α) * output[n - 1] output[n]=α∗input[n]+(1−α)∗output[n−1]
对应电路模子一阶RC滤波器
Y ( s ) / X ( s ) = H ( s ) = 1 r c s + 1 = 1 r ⋅ j w c + 1 = 1 τ s + 1 Y(s)/X(s)=H(s) = \frac{1}{rcs +1} = \frac{1}{r·jwc + 1} =\frac{1}{\tau s + 1} Y(s)/X(s)=H(s)=rcs+11=r⋅jwc+11=τs+11
在自控中称为一阶惯性环节
转成时域方程
X ( s ) = Y ( s ) / H ( s ) = Y ( s ) ( τ s + 1 ) X(s) = Y(s)/H(s) = Y(s)(\tau s +1) X(s)=Y(s)/H(s)=Y(s)(τs+1)
x ( t ) = τ y ′ ( t ) + y ( t ) x(t) = \tau y'(t) + y(t) x(t)=τy′(t)+y(t)
将导数拆开(使用一阶后向差分法，对上面微分方程进行离散化)
x ( t ) = τ ( y ( t ) − y ( t − T ) T ) + y ( t ) x(t) = \tau (\frac {y(t) - y(t-T)}{T}) + y(t) x(t)=τ(Ty(t)−y(t−T))+y(t)
整理成可递归迭代函数
y ( t ) = ( 1 − T T + τ ) ⋅ y ( t − T ) + T T + τ x ( t ) y(t) = (1-\frac {T}{T+\tau})·y(t-T) + \frac{T}{T+\tau}x(t) y(t)=(1−T+τT)⋅y(t−T)+T+τTx(t)
令 a = T T + τ a = \frac{T}{T+\tau} a=T+τT 则可得一般表达式
y ( t ) = ( 1 − a ) y ( t − T ) + a x ( t ) y(t) = (1-a)y(t-T)+ax(t) y(t)=(1−a)y(t−T)+ax(t)
2. 截止频率 和 采样频率 推导
从模电课本即可知，截止频率处幅值衰减-3db。
f c = 1 2 π R C = 1 2 π τ f_c = \frac{1}{2\pi RC} = \frac{1}{2\pi \tau} fc=2πRC1=2πτ1
将 τ = 1 2 π f c \tau = \frac{1}{2\pi f_c} τ=2πfc1带入滤波器系数 a a a 可得：
a = T T + τ = 1 1 + f 2 π f c a = \frac{T}{T+ \tau} = \frac{1}{1+\frac{f}{2\pi f_c}} a=T+τT=1+2πfcf1
其中， f = 1 T f = \frac{1}{T} f=T1为采样频率。
实现
double filteredOutput = lowPassFilter(input, prevInputs, prevOutputs, a, b);
printf("滤波后的输出: %f\n", filteredOutput);
return 0;
}
/**
如果你在使用gcc编译含数学函数的 C 程序时，出现undefined reference to 'sin'、undefined reference to 'cos'等错误，一般是由于缺少库造成的。因为在 Ubuntu 系统中，gcc的数学函数（如sin、cos等）是定义在libm.so里面的，而数学库不在默认路径下。通过添加-lm选项，就可以告诉编译器到正确的库中查找这些函数。
二阶数字低通滤波器的时域上的开环传递函数为：
G ( s ) = w c 2 s 2 + 2 ξ w c s + w c 2 G(s) = \frac{w_c^2}{s^2+2\xi w_c s + w_c^2} G(s)=s2+2ξwcs+wc2wc2
其中 w c w_c wc是低通滤波器的截止频率， ξ \xi ξ为阻尼比。
采用双线性变换法 将 线性非时变体系 在 一连时域体系的传递函数 转换 成线性且平移稳定滤波器 在 离散时域的传递函数。
双线性变换法： S = 2 T Z − 1 Z + 1 S = \frac{2}{T}\frac{Z-1}{Z+1} S=T2Z+1Z−1
可得
G ( s ) = w c 2 T s w 2 ( z 2 + 2 z + 1 ) z 2 ( w c 2 T s w 2 + 4 ξ w c T s w + 4 ) + z ( 2 w c 2 T s w 2 − 8 ) + ( w c 2 T s w 2 − 4 ξ w c T s w + 4 ) G(s) = \frac{w_c^2T_{sw}^2(z^2+2z+1)}{z^2(w_c^2T_{sw}^2 + 4\xi w_cT_{sw}+4)+z(2w_c^2T_{sw}^2-8)+(w_c^2T_{sw}^2-4\xi w_c T_{sw} + 4)} G(s)=z2(wc2Tsw2+4ξwcTsw+4)+z(2wc2Tsw2−8)+(wc2Tsw2−4ξwcTsw+4)wc2Tsw2(z2+2z+1)
令系数为：
b 0 = w c 2 b_0 = w_c^2 b0=wc2
a 0 = 4 T 2 + 4 T ξ w c + w c 2 a_0 = \frac{4}{T^2 }+\frac{4}{T}\xi w_c +w_c^2 a0=T24+T4ξwc+wc2
a 1 = 2 w c 2 − 8 T 2 a_1 = 2w_c^2-\frac{8}{T^2} a1=2wc2−T28
a 2 = w 2 − 2 ξ w c 2 T + 4 T 2 a_2 = w_2-2\xi w_c \frac{2}{T}+\frac{4}{T^2} a2=w2−2ξwcT2+T24
等效为：
b 0 = w c 2 T b_0 = w_c^2T b0=wc2T
a 0 = w c 2 T 2 + 4 ξ w c T + 4 a_0 = w_c^2T^2 + 4\xi w_c T + 4 a0=wc2T2+4ξwcT+4
a 1 = 2 w c 2 T 2 − 8 a_1 = 2w_c^2T^2 - 8 a1=2wc2T2−8
a 2 = w 2 T 2 − 4 ξ w c T + 4 a_2 = w_2T^2-4\xi w_c T+ 4 a2=w2T2−4ξwcT+4
根据Z变换的时移性子
分母： Y ( n − 1 ) Y ( n ) = z − 1 \frac {Y(n-1)}{Y(n)} = z^{-1} Y(n)Y(n−1)=z−1, Y ( n − 2 ) Y ( n ) = z − 2 \frac{Y(n-2)}{Y(n)} = z^{-2} Y(n)Y(n−2)=z−2;
分子： X ( n − 1 ) X ( n ) = z − 1 \frac{X(n-1)}{X(n)} = z^{-1} X(n)X(n−1)=z−1， X ( n − 2 ) X ( n ) = z − 2 \frac{X(n-2)}{X(n)} = z^{-2} X(n)X(n−2)=z−2;
进一步可得：
Y ( n ) = b 0 X ( n ) + b 1 X ( n − 1 ) + b 2 X ( n − 2 ) − a 1 Y ( n − 1 ) − a 2 Y ( n − 2 ) a 0 Y(n) = \frac {b_0X(n) + b_1X(n-1) + b_2X(n-2)-a_1Y(n-1)-a_2Y(n-2)}{a_0} Y(n)=a0b0X(n)+b1X(n−1)+b2X(n−2)−a1Y(n−1)−a2Y(n−2)
其中， T s w T_{sw} Tsw为数据采样频率周期， ξ \xi ξ为阻尼比，取值0.707， w c = 2 π f c w_c = 2\pi f_c wc=2πfc (截止频率)
推导2
