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标题: Python 实现 LM 算法（Levenberg-Marquardt） [打印本页]

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作者: 来自云龙湖轮廓分明的月亮    时间: 2024-9-17 00:15
标题: Python 实现 LM 算法（Levenberg-Marquardt）
博客：Python 实现 LM 算法（Levenberg-Marquardt）

目录

• 弁言
  
  
  
  • 什么是 Levenberg-Marquardt (LM) 算法？
    
  • LM 算法的应用场景
    
  • LM 算法的优点与局限性
    
  
  
• LM 算法的原理
  
  
  
  • LM 算法的基本思想
    
  • LM 算法的数学推导
    
  • 与高斯牛顿法和梯度下降法的比较
    
  
  
• Python 实现 LM 算法
  
  
  
  • 面向对象的设计思绪
    
  • 代码实现
    
  • 代码详解
    
  
  
• LM 算法应用实例：非线性曲线拟合
  
  
  
  • 场景形貌
    
  • 算法实现
    
  • 结果分析与可视化
    
  
  
• LM 算法的改进与扩展
  
  
  
  • LM 算法中的参数调节
    
  • LM 算法的改进与其他变种
    
  
  
• 总结
  
  
  
  • LM 算法的实用场景
    
  • 何时选择 LM 算法
    
  • 与其他算法的对比
    
  
  

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1. 弁言

什么是 Levenberg-Marquardt (LM) 算法？

Levenberg-Marquardt（LM）算法是求解非线性最小二乘问题的著名方法。它结合了高斯牛顿法和梯度下降法的优点，广泛用于非线性曲线拟合、机器学习、最优参数估计等领域。
LM 算法的一个主要特点是可以大概在问题接近线性时，像高斯牛顿法一样快速收敛；而在问题严峻非线性时，它通过梯度下降法的机制制止了求解发散。它是一个调和局部曲率信息与梯度信息的肴杂算法。
LM 算法的应用场景

• 非线性回归：通过 LM 算法来找到模子参数，使得拟合曲线与数据误差最小。
  
• 机器学习中的参数优化：在训练神经网络等模子时，LM 算法可以用于权重更新。
  
• 图像处置惩罚中的形变分析：用 LM 算法来计算形变参数，以最小化图像配准的误差。
  

LM 算法的优点与局限性

优点：

• 快速收敛：当模子接近线性时，LM 算法会像高斯牛顿法一样快速收敛。
  
• 制止局部极小：通过引入正则化，LM 算法可以大概更好地处置惩罚复杂的优化问题，制止陷入局部极小值。
  

局限性：

• 计算复杂度较高：每次迭代都须要计算雅可比矩阵和更新参数，复杂度较高。
  
• 对初始推测敏感：尽管比牛顿法鲁棒，但如果初始参数推测得过于禁绝确，收敛速度会减慢。
  

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2. LM 算法的原理

LM 算法的基本思想

LM 算法是一种在高斯牛顿法和梯度下降法之间动态调整的算法。当误差函数的二次近似足够好时，算法运动类似高斯牛顿法；当近似不好时，算法则趋向梯度下降法。这通过一个阻尼因子 (\lambda) 来调节，该因子控制了每次迭代时的步长和方向。
LM 算法的数学推导

LM 算法的目标是最小化非线性最小二乘问题：
                                                                min                                  ⁡                                          θ                                                 ∑                                           i                                  =                                  1                                          n                                                             (                                               y                                     i                                              −                                  f                                  (                                               x                                     i                                              ,                                  θ                                  )                                  )                                          2                                            \min_{\theta} \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - f(x_i, \theta) \right)^2                     θmin​i=1∑n​(yi​−f(xi​,θ))2
迭代的更新公式为：
                                         Δ                            θ                            =                            −                            (                                       J                               T                                      J                            +                            λ                            I                                       )                                           −                                  1                                                            J                               T                                      r                            (                            θ                            )                                  \Delta \theta = -(J^T J + \lambda I)^{-1} J^T r(\theta)                     Δθ=−(JTJ+λI)−1JTr(θ)
此中：

•                                         J                                  J                     J 是误差函数                                         r                            (                            θ                            )                                  r(\theta)                     r(θ) 的雅可比矩阵；
  
•                                         λ                                  \lambda                     λ 是调节参数；
  
•                                         I                                  I                     I 是单位矩阵；
  
•                                         r                            (                            θ                            )                                  r(\theta)                     r(θ) 是残差向量。
  

                                    λ                              \lambda                  λ 决定了算法的特性。当                                    λ                              \lambda                  λ 较大时，                                   λ                         I                              \lambda I                  λI 的影响增大，算法运动趋向于梯度下降法；当                                    λ                              \lambda                  λ 较小时，算法运动接近高斯牛顿法。
与高斯牛顿法和梯度下降法的比较

• 与高斯牛顿法的关系：高斯牛顿法不使用正则化项                                        λ                            =                            0                                  \lambda = 0                     λ=0，因此当误差模子线性化的假设不建立时，大概会导致收敛迟钝或不稳定。
  
• 与梯度下降法的关系：梯度下降法通过减少步长来制止发散，而 LM 算法通过动态调节                                         λ                                  \lambda                     λ 更灵活地控制步长。
  

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3. Python 实现 LM 算法

面向对象的设计思绪

为了实现 LM 算法，首先须要构建一个代表非线性模子的类，用于计算误差和雅可比矩阵；其次，设计一个 LM 算法的类，用于执行参数优化。通过这种面向对象的方式，我们可以清楚地封装模子和优化算法的功能。
代码实现

1. import numpy as np
3. class NonlinearModel:
4.     """表示非线性模型的类，包含残差和Jacobian矩阵的计算。"""
5.     def __init__(self, func, jacobian):
6.         """
7.         :param func: 非线性模型函数
8.         :param jacobian: Jacobian矩阵的计算函数
9.         """
10.         self.func = func
11.         self.jacobian = jacobian
12.    
13.     def residuals(self, x_data, y_data, theta):
14.         """计算残差向量"""
15.         return y_data - self.func(x_data, theta)
16.    
17.     def jacobian_matrix(self, x_data, theta):
18.         """计算给定参数下的Jacobian矩阵"""
19.         return self.jacobian(x_data, theta)
22. class LevenbergMarquardt:
23.     """Levenberg-Marquardt算法的实现类。"""
24.     def __init__(self, model, tolerance=1e-6, max_iters=100, lambda_init=0.01):
25.         """
26.         :param model: 待拟合的非线性模型对象
27.         :param tolerance: 收敛阈值
28.         :param max_iters: 最大迭代次数
29.         :param lambda_init: 初始阻尼因子lambda
30.         """
31.         self.model = model
32.         self.tolerance = tolerance
33.         self.max_iters = max_iters
34.         self.lambda_init = lambda_init
35.    
36.     def fit(self, x_data, y_data, initial_theta):
37.         """使用Levenberg-Marquardt算法拟合模型参数"""
38.         theta = initial_theta
39.         lambda_factor = self.lambda_init
40.         
41.         for i in range(self.max_iters):
42.             residuals = self.model.residuals(x_data, y_data, theta)
43.             jacobian = self.model.jacobian_matrix(x_data, theta)
44.             
45.             # 计算Hessian近似
46.             H = jacobian.T @ jacobian
47.             
48.             # 更新公式中增加lambda项
49.             delta_theta = np.linalg.inv(H + lambda_factor * np.eye(H.shape[0])) @ jacobian.T @ residuals
50.             
51.             # 更新参数
52.             theta_new = theta + delta_theta
53.             
54.             # 计算新的残差
55.             residuals_new = self.model.residuals(x_data, y_data, theta_new)
56.             
57.             # 判断是否收敛
58.             if np.linalg.norm(delta_theta) < self.tolerance:
59.                 print(f"迭代收敛，共迭代 {i+1} 次")
60.                 return theta_new
61.             
62.             # 动态调整lambda
63.             if np.linalg.norm(residuals_new) < np.linalg.norm(residuals):
64.                 lambda_factor /= 10  # 减少lambda
65.                 theta = theta_new
66.             else:
67.                 lambda_factor *= 10  # 增加lambda
68.         
69.         print("达到最大迭代次数，未能完全收敛。")
70.         return theta
73. # 使用示例
74. if __name__ == "__main__":
75.     # 定义非线性模型 y = a * exp(b * x)
76.     def func(x, theta):
77.         return theta[0] * np.exp(theta[1] * x)
78.    
79.     # 定义Jacobian矩阵
80.     def jacobian(x, theta):
81.         J = np.zeros((len(x), len(theta)))
82.         J[:, 0] = np.exp(theta[1] * x)
83.         J[:, 1] = theta[0] * x * np.exp(theta[1] * x)
84.         return J
85.    
86.     # 创建模型和LM算法实例
87.     model = NonlinearModel(func, jacobian)
88.     lm_solver = LevenbergMarquardt(model)
89.    
90.     # 生成数据
91.     x_data = np.linspace(0, 1,
93. 10)
94.     y_data = 2 * np.exp(3 * x_data) + np.random.normal(0, 0.1, size=x_data.shape)
95.    
96.     # 初始参数猜测
97.     initial_theta = np.array([1, 1])
98.    
99.     # 执行拟合
100.     optimal_theta = lm_solver.fit(x_data, y_data, initial_theta)
101.     print("最优参数:", optimal_theta)

复制代码

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4. LM 算法应用实例：非线性曲线拟合

场景形貌

我们将使用 Levenberg-Marquardt 算法来拟合非线性模子                                    y                         =                         a                         ⋅                                   e                                       b                               ⋅                               x                                                 y = a \cdot e^{b \cdot x}                  y=a⋅eb⋅x。生成一组具有噪声的样本数据，并通过算法找到最优的                                    a                              a                  a 和                                    b                              b                  b 参数，使得模子曲线与数据点的误差最小。
结果分析与可视化

通过 matplotlib 可视化拟合结果：

1. import matplotlib.pyplot as plt
3. # 绘制拟合曲线与真实数据点
4. y_fit = func(x_data, optimal_theta)
5. plt.scatter(x_data, y_data, label="数据点")
6. plt.plot(x_data, y_fit, label="拟合曲线", color='r')
7. plt.xlabel("x")
8. plt.ylabel("y")
9. plt.legend()
10. plt.show()

复制代码

结果显示，拟合的曲线与生成的数据点非常吻合，验证了 Levenberg-Marquardt 算法在非线性拟合问题中的有效性。

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5. LM 算法的改进与扩展

LM 算法中的参数调节

LM 算法中的阻尼因子 (\lambda) 是一个至关重要的调节参数。初始值的选择以及动态调整策略会影响算法的收敛速度和结果。通常的做法是根据误差的变化动态增大或减小 (\lambda) 的值，从而在梯度下降和高斯牛顿法之间做出均衡。
LM 算法的改进与其他变种

• Levenberg-Marquardt-Bayesian：结合贝叶斯理论的 LM 算法，使得模子的参数更新不仅仅依靠于当前的误差，还考虑参数的先验分布。
  
• Trust-region-reflective：一种在约束条件下的 LM 算法变种，实用于有约束的最小二乘问题。
  

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6. 总结

在本篇博客中，我们详细介绍了 Levenberg-Marquardt 算法的基本思想、数学原理以及其 Python 的面向对象实现。通过非线性曲线拟合的示例，我们展示了该算法在实际应用中的有效性。LM 算法以其快速收敛和较好的鲁棒性，成为处置惩罚非线性最小二乘问题的重要工具。

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