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标题: 集合的子集类 [打印本页]

作者: 飞不高 时间: 2024-9-17 19:26
标题: 集合的子集类
已知                                  W                      =                      {                      A                      ，                      B                      }                            W=\{A，B\}                W={A，B}
                                 P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W)表示是全集                                  W                      =                      {                      A                      ，                      B                      }                            W=\{A，B\}                W={A，B}构成的子集全体，包罗空集、全集。
那么                                     P                         (                         W                         )                               P(W)                   P(W)的具体情势长啥样？
  1. 计算                                  W                            W                W 的幂集                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W)

集合                                  W                            W                W 包含两个元素                                  A                            A                A 和                                  B                            B                B。幂集                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 包含                                  W                            W                W 的所有子集：
                                       P                         (                         W                         )                         =                         {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                               P(W) = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\}                   P(W)={∅,{A},{B},{A,B}}
那么，                                     P                         (                         W                         )                               P(W)                   P(W)的非空子集类                                     Y                               Y                   Y，                                     Y                               Y                   Y的具体情势是啥样？
  2. 列出                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集

我们现在须要列出                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集。对于                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 中的每个非空子集，我们可以按以下方式列出：

1 个元素的子集：
- { { A } } \{\{A\}\} {{A}}
- { { B } } \{\{B\}\} {{B}}
- { { A , B } } \{\{A, B\}\} {{A,B}}
2 个元素的子集：
- { ∅ , { A } } \{\emptyset, \{A\}\} {∅,{A}}
- { ∅ , { B } } \{\emptyset, \{B\}\} {∅,{B}}
- { ∅ , { A , B } } \{\emptyset, \{A, B\}\} {∅,{A,B}}
- { { A } , { B } } \{\{A\}, \{B\}\} {{A},{B}}
- { { A } , { A , B } } \{\{A\}, \{A, B\}\} {{A},{A,B}}
- { { B } , { A , B } } \{\{B\}, \{A, B\}\} {{B},{A,B}}
3 个元素的子集：
- { ∅ , { A } , { B } } \{\emptyset, \{A\}, \{B\}\} {∅,{A},{B}}
- { ∅ , { A } , { A , B } } \{\emptyset, \{A\}, \{A, B\}\} {∅,{A},{A,B}}
- { ∅ , { B } , { A , B } } \{\emptyset, \{B\}, \{A, B\}\} {∅,{B},{A,B}}
- { { A } , { B } , { A , B } } \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} {{A},{B},{A,B}}
4 个元素的子集：
- { ∅ , { A } , { B } , { A , B } } \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\} {∅,{A},{B},{A,B}}

3. 总结                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集

因此，所有非空子集的集合类                                  Y                            Y                Y 是：
                                       Y                         =                         {                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         ,                                  {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         B                         }                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                         {                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         }                         ,                         {                         {                         A                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                                  {                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         }                         ,                                  {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                         {                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                                  {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         }                               Y = \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\},\\ \{\emptyset, \{A\}\}, \{\emptyset, \{B\}\}, \{\emptyset, \{A, B\}\}, \{\{A\}, \{B\}\}, \{\{A\},\{A, B\}\},\\ \{\{B\}, \{A, B\}\}, \{\emptyset, \{A\}, \{B\}\},\\ \{\emptyset, \{A\}, \{A, B\}\}, \{\emptyset, \{B\}, \{A, B\}\}, \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\}\},\\ \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\}\}                   Y={{A},{B},{A,B},{∅,{A}},{∅,{B}},{∅,{A,B}},{{A},{B}},{{A},{A,B}},{{B},{A,B}},{∅,{A},{B}},{∅,{A},{A,B}},{∅,{B},{A,B}},{{A},{B},{A,B}},{∅,{A},{B},{A,B}}}
这个集合类                                  Y                            Y                Y 包含了                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有可能的非空子集。
若指                                     P                         (                         W                         )                               P(W)                   P(W) 的非空子集                                     X                               X                   X满意某些条件称之为                                     Z                               Z                   Z-类，则指的是遍历                                     Y                               Y                   Y中每一元素（                                     X                               X                   X集合），观察其是否满意条件，满意则为                                     Z                               Z                   Z-类，也许存在多个                                     Z                               Z                   Z-类。

                                       P                         (                         W                         )                               P(W)                   P(W)的所有非空子集和                                     P                         (                         W                         )                               P(W)                   P(W)的所有非空子集类是一个意思吗？
  “                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集”和“                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集类”这两个术语在某些上下文中可以有差别的寄义。让我们逐一解释它们的寄义和区别：
1.                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集

这个术语指的是                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有可能的非空子集。具体来说，如果                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 是                                  W                            W                W 的幂集，那么                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集包罗了                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 中每一个非空集合的所有组合。也就是说，你思量的是                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 中所有非空的集合（子集）的所有可能的组合。
例如，如果                                  P                      (                      W                      )                      =                      {                      ∅                      ,                      {                      A                      }                      ,                      {                      B                      }                      ,                      {                      A                      ,                      B                      }                      }                            P(W) = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\}                P(W)={∅,{A},{B},{A,B}}，那么                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集包罗：

单个非空子集： { { A } } \{\{A\}\} {{A}}， { { B } } \{\{B\}\} {{B}}， { { A , B } } \{\{A, B\}\} {{A,B}}，等等。
多个非空子集的组合： { { A } , { B } } \{\{A\}, \{B\}\} {{A},{B}}， { { A } , { A , B } } \{\{A\}, \{A, B\}\} {{A},{A,B}}，等等。

2. P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类

这个术语通常用来形貌一类具有特定性子的集合族（即子集的集合），而不仅仅是所有的非空子集。例如：

λ类（Lambda class）：这是一类特定的集合族，满意补集封闭性和有限加法封闭性。即，若一个集合族是λ类，则它包含了集合的补集和两个互不相交集合的并集。
σ-代数（Sigma algebra）：这是另一个特定类型的集合族，满意可数加法封闭性，即如果一个集合族是σ-代数，它会包含所有集合的可数并集。

区别

P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集：这是指所有的非空子集的集合，即所有可能的组合，但不一定满意特定的封闭性子。
P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类：这通常是指满意特定封闭性子的子集族，例如λ类或σ-代数。它不仅仅是所有非空子集的集合，而是满意特定命学条件的子集集合。

例子

假设                                  W                      =                      {                      A                      ,                      B                      }                            W = \{A, B\}                W={A,B}，则                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的所有非空子集为：
                                       {                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         B                         }                         }                         ,                         {                         ∅                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                         ,                         {                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         }                         ,                         …                         }                               \{\{A\}, \{B\}, \{A, B\}, \{\emptyset, \{A\}\}, \{\emptyset, \{B\}\}, \{\emptyset, \{A, B\}\}, \{\{A\}, \{B\}\}, \ldots\}                   {{A},{B},{A,B},{∅,{A}},{∅,{B}},{∅,{A,B}},{{A},{B}},…}
而                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的非空子集类可能指的是满意某些特定条件的子集族。例如，如果思量 λ 类：
                                       Y                         =                         {                         ∅                         ,                         {                         A                         }                         ,                         {                         B                         }                         ,                         {                         A                         ,                         B                         }                         }                               \mathcal{Y} = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}\}                   Y={∅,{A},{B},{A,B}}
这个                                  Y                            \mathcal{Y}                Y 满意补集封闭性和有限加法封闭性（这是一个 λ 类的例子），而它是                                  P                      (                      W                      )                            P(W)                P(W) 的一个特定的非空子集类。
总结

P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集是一个集合，包含了 P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集。
P ( W ) P(W) P(W) 的所有非空子集类通常是指满意特定条件的子集族，这些条件可以包罗补集封闭性、有限加法封闭性等。

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