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标题: 【数据库之关系代数】 [打印本页]

作者: 半亩花草 时间: 2024-11-7 19:22
标题: 【数据库之关系代数】
关系代数（Relational Algebra）是关系型数据库理论的基础之一，它提供了一组操作，用于从一个或多个关系（即数据库中的表）中提取和处置惩罚数据。这些操作本质上是一种查询语言，通过对关系的操作生成新的关系，类似于 SQL 中的查询语句。关系代数的每个操作都是针对关系的，操作的效果也是一个关系。
关系代数可以用于表达查询的逻辑运算，是查询执行的理论基础。它使用数学符号和规则来描述数据查询的操作，并且通过这些操作可以组合成更复杂的查询。
1. 关系代数的基本概念

1.1 关系（Relation）

在关系代数中，关系就是表，表由多少个元组（即行）组成，表中的列称为属性。一个关系可以看作一个集合，其中每个元素是一个元组。
1.2 属性（Attribute）

属性是关系中的列，描述了元组中的一个数据点。比方，关系 “学生” 中可能有属性 “学号”、“姓名”、“班级”。
1.3 元组（Tuple）

元组是关系中的一行数据，每个元组由多少个属性的值组成。每个元组的值是不同的属性的详细数据点。

2. 关系代数的基本操作

关系代数中的操作可以分为两类：基本操作和派生操作。基本操作包括选择、投影、并、差、笛卡尔积、重命名，派生操作包括交、自然毗连、左外毗连等。基本操作是其他操作的基础，任何复杂的查询都可以由基本操作组合而成。
2.1 选择（Selection, σ）

选择操作用于从关系中选取符合某些条件的元组，即按行选择。选择操作的效果是原关系的一个子集。

语法： σ 条件 ( R ) \sigma_{条件}(R) σ条件(R)
寄义：从关系 R R R 中选择满意某个条件的元组。

示例：

假设有一个关系学生(Student)，属性为学号、姓名、班级。
学号姓名班级101张三一班102李四二班103王五一班选择班级为“一班”的学生：

σ 班级 = ’一班’ ( 学生 ) \sigma_{\text{班级 = '一班'}}(学生) σ班级 = ’一班’(学生)

效果为：
学号姓名班级101张三一班103王五一班 2.2 投影（Projection, π）

投影操作用于从关系中选择特定的属性，即按列选择。投影操作会删除不需要的列，并去除效果中的重复元组。

语法： π 属性列表 ( R ) \pi_{\text{属性列表}}(R) π属性列表(R)
寄义：从关系 R R R 中选择指定的列（属性）。

示例：

在学生(Student) 关系中，投影出学生的学号和姓名：

π 学号, 姓名 ( 学生 ) \pi_{\text{学号, 姓名}}(\text{学生}) π学号, 姓名(学生)

效果为：
学号姓名101张三102李四103王五 2.3 并（Union, ∪）

并操作用于将两个关系中的全部元组归并，去掉重复的元组。要求两个关系的属性必须类似。

语法： R 1 ∪ R 2 R_1 \cup R_2 R1∪R2
寄义：返回关系 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的并集，包罗 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 中全部的元组，重复元组只保存一个。

示例：

假设有两个关系：
关系A：
学号姓名101张三102李四 关系B：
学号姓名102李四103王五执行并操作：

A ∪ B A \cup B A∪B

效果为：
学号姓名101张三102李四103王五 2.4 差（Difference, −）

差操作用于返回属于第一个关系但不属于第二个关系的元组。

语法： R 1 − R 2 R_1 - R_2 R1−R2
寄义：返回属于 R 1 R_1 R1 而不属于 R 2 R_2 R2 的元组。

示例：

对于上面的关系A和关系B，执行差操作：

A − B A - B A−B

效果为：
学号姓名101张三 2.5 笛卡尔积（Cartesian Product, ×）

笛卡尔积用于将两个关系中的每个元组归并，生成一个包罗全部可能组合的新关系。

语法： R 1 × R 2 R_1 \times R_2 R1×R2
寄义：返回 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的笛卡尔积，每个元组是 R 1 R_1 R1 的一个元组与 R 2 R_2 R2 的一个元组的组合。

示例：

假设有两个关系：
关系A：
学号姓名101张三 关系B：
课程ID课程名201数学202英语执行笛卡尔积：

A × B A \times B A×B

效果为：
学号姓名课程ID课程名101张三201数学101张三202英语 2.6 重命名（Rename, ρ）

重命名操作用于为关系或其属性赋予新的名字，以方便理解或解决关系代数表达式中的属性名辩说标题。

语法： ρ 新名 ( R ) \rho_{新名}(R) ρ新名(R)
寄义：将关系 R R R 重命名为新名新名新名。

示例：

假设有一个关系学生(Student)：

ρ S ( S t u d e n t ) \rho_{S}(Student) ρS(Student)

将 Student 关系重命名为 S。

3. 关系代数的派生操作

派生操作是基于基本操作构建的更复杂的操作，用于表达更复杂的查询逻辑。
3.1 交（Intersection, ∩）

交操作返回两个关系的交集，包罗两个关系共有的元组。

语法： R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1∩R2
寄义：返回同时属于 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的元组。

3.2 自然毗连（Natural Join, ⨝）

自然毗连是笛卡尔积的一个变体，它联合了选择和笛卡尔积，要求只有类似属性的元组才被毗连。

语法： R 1 ⋈ R 2 R_1 \bowtie R_2 R1⋈R2
寄义：根据两个关系中具有类似属性值的列进行毗连，去掉重复的列。

示例：

假设有两个关系：
学生表：
学号姓名101张三102李四 选课表：
学号课程101数学102英语自然毗连操作：

学生 ⋈ 选课学生 \bowtie 选课学生⋈选课

效果为：
学号姓名课程101张三数学102李四英语 3.3 外毗连（Outer Join）

外毗连是自然毗连的扩展。它包括左外毗连（Left Outer Join）、右外毗连（Right Outer Join）和全外毗连（Full Outer Join），外毗连保存了不匹配的元组。

左外毗连（Left Outer Join）：保存左表的全部元组，纵然右表中没有匹配的元组。
右外毗连（Right Outer Join）：保存右表的全部元组，纵然左表中没有匹配的元

组。

全外毗连（Full Outer Join）：保存左右表的全部元组。

4. 关系代数和 SQL 的关系

关系代数是 SQL 查询语言的理论基础，SQL 的很多操作都可以通过关系代数来描述。比如：

SQL中的SELECT 对应关系代数中的 选择（Selection, σ）。
SQL中的JOIN 对应关系代数中的 自然毗连（Natural Join, ⨝）。

通过关系代数，可以用数学的形式表达数据库查询逻辑，资助理解 SQL 语句的执行原理。

总结

关系代数 是关系型数据库理论中的一种操作体系，它使用一组数学操作符对关系（表）进行查询操作。通过选择、投影、并、差、笛卡尔积、重命名等基本操作，关系代数为数据库提供了一个强大的查询工具。复杂的查询可以通过这些基本操作组合实现，理解关系代数对理解 SQL 查询优化和执行至关重要。

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