数学建模条记——TOPSIS[优劣解距离]法

TOPSIS(优劣解距离)法

1. 基本概念

C. L.Hwang和 K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution),可翻译为逼近理想解排序法,国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS法是一种常用的综合评价方法,能充实利用原始数据的信息,其效果能正确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS法引入了两个基本概念:

• 理想解:假想的最优的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值;
  
• 负理想解:假想的最劣的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较,若此中有一个方案最接近理想解,而同时又远离负理想解,则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。
  

2. 模型原理

TOPSIS法是一种理想目标相似性的次序选优技能,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,得到各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。
3. 基本步调

• 将原始矩阵正向化
  将原始矩阵正向化，就是要将全部的指标范例同一转化为极大型指标
  
• 将正向化矩阵尺度化
  尺度化的方法有很多种，其重要目的就是去除量纲的影响，保证差别评价指标在同一数目级，且数据大小排序不
  
• 计算得分并归一化
                                                            S                                  i                                          =                                                        D                                     i                                     −                                                                         D                                        i                                        +                                                  +                                                   D                                        i                                        −                                                                          S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}}                        Si​=Di+​+Di−​Di−​​,此中                                                         S                                  i                                                 S_{i}                        Si​为得分,                                                         D                                  i                                  +                                                 {D_{i}^{+}}                        Di+​为评价对象与最大值的距离，                                                         D                                  i                                  −                                                 D_{i}^{-}                        Di−​
  

为评价对象与最小值的距离。
4. 典范例题

   明星Kun想找一个对象，但喜欢他的人太多，不知道怎么选，颠末层层考察，留下三个候选人。他认为身高165是最好的，体重在90-100斤是最好的。
  候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A910175120B8716480C6315790  4.1 矩阵正向化

常见的指标范例：
指标名称指标特点例子极大型 (效益型) 指标越大(多)越好成绩、 GDP增速、 企业利润极小型 (本钱型) 指标越小(少)越好费用、 坏品率、污染程度中心型指标越接近某个值越好水质量评估时的PH值区间型指标落在某个区间最好体温、 水中植物性营养物量 在 TOPSIS 方法中，就是要将全部指标举行同一正向化，即同一转化为极大型指标。 那么就必要极小型、中心型以及区间型的指标举行转化为极大型指标。
指标名称公式极大型(效益型)指标/极小型(本钱型)指标                                                               x                                     ~                                              =                                  m                                  a                                  x                                  −                                  x                                          \tilde{x} = max-x                           x~=max−x,                                                                x                                     ~                                                      \tilde{x}                           x~为指标值,                                                  m                                  a                                  x                                          max                           max为指标最大值,                                                  x                                          x                           x为指标值中心型指标                                                  {                                               x                                     i                                              }                                          \{x_i\}                           {xi​} 是一组中心型序列，最优值是                                                                x                                                   b                                        e                                        s                                        t                                                                   x_{best}                           xbest​，$M = max{区间型指标                                                               x                                     i                                                      {x_i}                           xi​是一组区间型序列，最佳区间为                                                  [                                  a                                  ,                                  b                                  ]                                          [a,b]                           [a,b]，正向化公式如下                                                  M                                  =                                  m                                  a                                  x                                  {                                  a                                  −                                  m                                  i                                  n                                  {                                               x                                     i                                              }                                  ,                                  m                                  a                                  x                                  {                                               x                                     i                                              }                                  −                                  b                                  }                                  ,                                                             x                                        ~                                                  i                                              =                                               {                                                                                                                     1                                                    −                                                                                           a                                                          −                                                                               x                                                             i                                                                                              M                                                                      ,                                                                       x                                                       i                                                                      <                                                    a                                                                                                                                                                        1                                                    ,                                                    a                                                    ≤                                                                       x                                                       i                                                                      ≤                                                    b                                                                                                                                                                        1                                                    −                                                                                                                x                                                             i                                                                              −                                                          b                                                                          M                                                                      ,                                                                       x                                                       i                                                                      >                                                    b                                                                                                                                 M=max\{a-min\{x_i\}, max\{x_i\}-b\}, \widetilde{x}_i=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M}, x_i<a\\1, a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}{M}, x_i>b\end{cases}                           M=max{a−min{xi​},max{xi​}−b},x                i​=⎩                 ⎨                 ⎧​1−Ma−xi​​,xi​<a1,a≤xi​≤b1−Mxi​−b​,xi​>b​

• 颜值为极大型指标
  
• 脾气为极小型指标
     候选人颜值                                                            m                                        a                                        x                                                  max                                 max                                                            m                                        a                                        x                                        −                                        x                                                  max-x                                 max−xA10100B7103C3107
  
• 身高为中心型指标
     候选人身高                                                                           x                                                           b                                              e                                              s                                              t                                                                               x_{best}                                 xbest​|                                                                           x                                           i                                                      −                                                       x                                                           b                                              e                                              s                                              t                                                                               x_i-x_{best}                                 xi​−xbest​|                                                                                           x                                              ^                                                          i                                                                \hat{x}_i                                 x^i​A175165101B16416511/10C15716588/10
  
• 体重为区间型指标
     候选人体重                                                            M                                                  M                                 M                                                                                           x                                              ^                                                          i                                                                \hat{x}_i                                 x^i​A120200B80201/2C90201
  

正向化后的矩阵为
候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A9000B830.90.5C670.21 4.2 正向矩阵尺度化

尺度化的目的是消除差别指标量纲的影响
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
                                         X                            =                                       [                                                                                                     x                                              11                                                                                                                            x                                              12                                                                                                            ⋯                                                                                                             x                                                               1                                                 m                                                                                                                                                                  x                                              21                                                                                                                            x                                              22                                                                                                            ⋯                                                                                                             x                                                               2                                                 m                                                                                                                                                                  ⋮                                                                                                                                                                          ⋮                                                                                                                                                          ⋱                                                                                                             ⋮                                                                                                                                                                                                x                                                               n                                                 1                                                                                                                                            x                                                               n                                                 2                                                                                                                            ⋯                                                                                                             x                                                               n                                                 m                                                                                                                ]                                            X=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1m}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nm}\end{bmatrix}                     X=               ​x11​x21​⋮xn1​​x12​x22​⋮xn2​​⋯⋯⋱⋯​x1m​x2m​⋮xnm​​               ​
那么对其尺度化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：
                                                    z                                           i                                  j                                                 =                                                   x                                               i                                     j                                                                                             ∑                                                       i                                           =                                           1                                                      n                                                                x                                                       i                                           j                                                      2                                                                                z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}}                     zij​=∑i=1n​xij2​                    ​xij​​
即（每一个元素/根号下地点列元素的平方和）得到尺度化矩阵Z:
                                         Z                            =                                       [                                                                                                     z                                              11                                                                                                                            z                                              12                                                                                                            ⋯                                                                                                             z                                                               1                                                 m                                                                                                                                                                  z                                              21                                                                                                                            z                                              22                                                                                                            ⋯                                                                                                             z                                                               2                                                 m                                                                                                                                                                  ⋮                                                                                                                                                                          ⋮                                                                                                                                                          ⋱                                                                                                             ⋮                                                                                                                                                                                                z                                                               n                                                 1                                                                                                                                            z                                                               n                                                 2                                                                                                                            ⋯                                                                                                             z                                                               n                                                 m                                                                                                                ]                                            Z=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm}\end{bmatrix}                     Z=               ​z11​z21​⋮zn1​​z12​z22​⋮zn2​​⋯⋯⋱⋯​z1m​z2m​⋮znm​​               ​
尺度化后，还必要给差别指标加上权重，接纳的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法、对数最小二乘法。这里认为各个指标权重雷同。
对上述矩阵举行尺度化，得
候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A0.669000B0.5950.3940.9760.447C0.4460.9190.2170.894 4.3 计算得分并归一化

定义最大值：
                                                    Z                               +                                      =                            (                            m                            a                            x                            {                                       z                               11                                      ,                                       z                               21                                      ,                            ⋯                             ,                                       z                                           n                                  1                                                 }                            ,                            m                            a                            x                            {                                       z                               12                                      ,                                       z                               22                                      ,                            ⋯                             ,                                       z                                           n                                  2                                                 }                            ,                            ⋯                             ,                            m                            a                            x                            {                                       z                                           1                                  m                                                 ,                                       z                                           2                                  m                                                 ,                            ⋯                             ,                                       z                                           n                                  m                                                 }                            )                                  Z^+=(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})                     Z+=(max{z11​,z21​,⋯,zn1​},max{z12​,z22​,⋯,zn2​},⋯,max{z1m​,z2m​,⋯,znm​})
定义最小值：
                                                    Z                               −                                      =                            (                            m                            i                            n                            {                                       z                               11                                      ,                                       z                               21                                      ,                            ⋯                             ,                                       z                                           n                                  1                                                 }                            ,                            m                            i                            n                            {                                       z                               12                                      ,                                       z                               22                                      ,                            ⋯                             ,                                       z                                           n                                  2                                                 }                            ,                            ⋯                             ,                            m                            i                            n                            {                                       z                                           1                                  m                                                 ,                                       z                                           2                                  m                                                 ,                            ⋯                             ,                                       z                                           n                                  m                                                 }                            )                                  Z^-=(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})                     Z−=(min{z11​,z21​,⋯,zn1​},min{z12​,z22​,⋯,zn2​},⋯,min{z1m​,z2m​,⋯,znm​})
定义第i (i=1,2,…,n) 个评价对象与最大值的距离：
                                                    D                               i                               +                                      =                                                                ∑                                                   j                                        =                                        1                                                  m                                              (                                               Z                                     j                                     +                                              −                                               z                                                   i                                        j                                                                        )                                     2                                                                   D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^+-z_{ij})^2}                     Di+​=j=1∑m​(Zj+​−zij​)2             ​
定义第i (i=1,2,…,n) 个评价对象与最小值的距离：
                                                    D                               i                               −                                      =                                                                ∑                                                   j                                        =                                        1                                                  m                                              (                                               Z                                     j                                     −                                              −                                               z                                                   i                                        j                                                                        )                                     2                                                                   D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^--z_{ij})^2}                     Di−​=j=1∑m​(Zj−​−zij​)2             ​
那么，我们可以计算得出第 i( i=1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分：
                                                    S                               i                                      =                                                   D                                  i                                  −                                                                   D                                     i                                     +                                              +                                               D                                     i                                     −                                                                   S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}                     Si​=Di+​+Di−​Di−​​
很显着 0≤Si≤1,且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。
我们可以将得分归一化并换成百分制：
                                                                S                                  i                                          ~                                      =                                                   S                                  i                                                                   ∑                                                   i                                        =                                        1                                                  n                                                           S                                     i                                                             ×                            100                                  \widetilde{S_{\mathrm{i}}}=\frac{S_{\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^{n}S_{\mathrm{i}}}\times100                     Si​             ​=∑i=1n​Si​Si​​×100
4.4 python代码实现

1. import numpy as np
3. # 从用户输入参评数目和指标数目
4. print("请输入参评数目：")
5. n = int(input())
6. print("请输入指标数目：")
7. m = int(input())
9. # 接受用户输入的类型矩阵
10. print("请输入类型矩阵：1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型")
11. kind = input().split(" ")
13. # 接受用户输入的矩阵并转化为向量
14. print("请输入矩阵：")
15. A = np.zeros(shape=(n, m))
16. for i in range(n):
17.     A[i] = input().split(" ")
18.     A[i] = list(map(float, A[i]))
19. print("输入矩阵为：\n{}".format(A))
21. # 极小型指标转化为极大型指标的函数
24. def minTomax(maxx, x):
25.     x = list(x)
26.     ans = [[(maxx-e) for e in x]]
27.     return np.array(ans)
29. # 中间型指标转化为极大型指标的函数
32. def midTomax(bestx, x):
33.     x = list(x)
34.     h = [abs(e-bestx) for e in x]
35.     M = max(h)
36.     if M == 0:
37.         M = 1  # 防止最大差值为0的情况
38.     ans = [[1-(e/M) for e in h]]
39.     return np.array(ans)
41. # 区间型指标转化为极大型指标的函数
44. def regTomax(lowx, highx, x):
45.     x = list(x)
46.     M = max(lowx-min(x), max(x)-highx)
47.     if M == 0:
48.         M = 1  # 防止最大差值为0的情况
49.     ans = []
50.     for i in range(len(x)):
51.         if x[i] < lowx:
52.             ans.append(1-(lowx-x[i])/M)
53.         elif x[i] > highx:
54.             ans.append(1-(x[i]-highx)/M)
55.         else:
56.             ans.append(1)
57.     return np.array([ans])
60. # 同一指标类型，将所有指标转化为极大型指标
61. X = np.zeros(shape=(n, 1))
62. for i in range(m):
63.     if kind[i] == "1":
64.         v = np.array(A[:, i])
65.     elif kind[i] == "2":
66.         maxA = max(A[:, i])
67.         v = minTomax(maxA, A[:, i])
68.     elif kind[i] == "3":
69.         print("类型三，请输入最优值：")
70.         bestA = eval(input())
71.         v = midTomax(bestA, A[:, i])
72.     elif kind[i] == "4":
73.         print("类型四，请输入区间[a,b]值a：")
74.         lowA = eval(input())
75.         print("类型四，请输入区间[a,b]值b：")
76.         highA = eval(input())
77.         v = regTomax(lowA, highA, A[:, i])
78.     if i == 0:
79.         X = v.reshape(-1, 1)  # 如果是第一个指标，直接赋值
80.     else:
81.         X = np.hstack((X, v.reshape(-1, 1)))  # 如果不是第一个指标，横向拼接
82. print("统一指标后矩阵为：\n{}".format(X))
84. # 对统一指标后的矩阵进行标准化处理
85. X = X.astype(float)  # 将X转化为浮点型
86. for i in range(m):
87.     X[:, i] = X[:, i]/np.sqrt(sum(X[:, i]**2))  # 对每一列进行归一化处理，即除以该列的欧几里得范数
88. print("标准化后矩阵为：\n{}".format(X))
90. # 最大值和最小值距离的计算
91. x_max = np.max(X, axis=0)  # 计算每一列的最大值
92. x_min = np.min(X, axis=0)  # 计算每一列的最小值
93. # 计算每一个参评对象与最优情况的距离d+
94. d_z = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_max, (n, 1))), axis=1))
95. # 计算每一个参评对象与最差情况的距离d-
96. d_f = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_min, (n, 1))), axis=1))
97. print("每个指标的最大值为：{}".format(x_max))
98. print("每个指标的最小值为：{}".format(x_min))
100. # 计算每一个参评对象的综合得分
101. s = d_f/(d_f+d_z)  # 根据d+和d-计算每一个参评对象的得分，其中s接近1表示越好，接近0表示越差
102. Score = 100*s/sum(s)  # 将得分转换为百分制
103. for i in range(n):
104.     print(f"第{i+1}个参评对象的得分为：{Score[i]}")

复制代码

输入：

1. 请输入参评数目：
2. 3
3. 请输入指标数目：
4. 4
5. 请输入类型矩阵：1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型
6. 1 2 3 4
7. 请输入矩阵：
8. 9 10 175 120
9. 8 7 164 80
10. 6 3 157 90
11. 输入矩阵为：
12. [[  9.  10. 175. 120.]
13. [  8.   7. 164.  80.]
14. [  6.   3. 157.  90.]]
15. 类型三，请输入最优值：
16. 165
17. 类型四，请输入区间[a,b]值a：
18. 90
19. 类型四，请输入区间[a,b]值b：
20. 100

复制代码

输出:

1. 统一指标后矩阵为：
2. [[9.  0.  0.  0. ]
3. [8.  3.  0.9 0.5]
4. [6.  7.  0.2 1. ]]
5. 标准化后矩阵为：
6. [[0.66896473 0.         0.         0.        ]
7. [0.59463532 0.3939193  0.97618706 0.4472136 ]
8. [0.44597649 0.91914503 0.21693046 0.89442719]]
9. 每个指标的最大值为：[0.66896473 0.91914503 0.97618706 0.89442719]
10. 每个指标的最小值为：[0.44597649 0.         0.         0.        ]
11. 第1个参评对象的得分为：8.886366735657832
12. 第2个参评对象的得分为：45.653341055701134
13. 第3个参评对象的得分为：45.46029220864103

复制代码

免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！更多信息从访问主页：qidao123.com:ToB企服之家，中国第一个企服评测及商务社交产业平台。