数模方法论-无约束问题求解

一、基本概念

        无约束问题在数学建模中是指优化过程中没有任何限制条件的环境。这种问题旨在探求一个决策变量集合，使得某个目的函数（如资本、效益或其他需要优化的量）达到最大或最小值。详细来说，无约束问题通常可以表现为：

此中是

目的函数，

是决策变量。在这种环境下，优化过程仅依赖于目的函数的性质，而无需考虑其他限制条件。假设我们要最大化某公司利润，利润函数为

。这是一个无约束的优化问题，我们可以通过求导和分析得到最优解。
        无约束问题的求解方法包括但不限于：

• 梯度下降法：通过计算目的函数的梯度，逐步调解变量值以找到最优解。
  
• 牛顿法：利用二阶导数信息来加快收敛。
  
• 遗传算法、粒子群优化等开导式算法：在更复杂的环境中探求近似最优解。
  

        无约束问题常见于经济学、工程、运筹学等范畴，适用于那些目的明确、且不受其他条件限制的优化任务。
二、例题求解

例题一

        求解多元函数

的极值

        假如在驻点处 Hessian 阵为正定阵,则在该点取极小值;假如在驻点处 Hessian 阵为负定阵则在该点取极大值;假如在驻点处 Hessian 阵为不定阵,则该驻点不是极值点。可以验证: 

Matlab求解

1. clc, clear
2. f=@(x) x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1);  %定义匿名函数
3. g=@(x) -f(x);
4. [xy1,z1]=fminunc(f, rand(2,1))  %求极小值点
5. [xy2,z2]=fminsearch(g,rand(2,1)); %求极大值点
6. xy2, z2=-z2

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Python求解

1. import numpy as np
2. from scipy.optimize import minimize
4. # 定义函数 f
5. def f(x):
6.     return x[0]**3 - x[1]**3 + 3*x[0]**2 + 3*x[1]**2 - 9*x[0]
8. # 求极小值点
9. x0 = np.random.rand(2)  # 随机初始化
10. result_min = minimize(f, x0)
12. xy1 = result_min.x
13. z1 = result_min.fun
15. # 定义函数 g
16. def g(x):
17.     return -f(x)
19. # 求极大值点
20. result_max = minimize(g, np.random.rand(2))
22. xy2 = result_max.x
23. z2 = -result_max.fun
25. print("最小值点:", xy1, "最小值:", z1)
26. print("最大值点:", xy2, "最大值:", z2)

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例题二

求函数

的极小值。
Matlab求解

1. function main()
2.     % 主程序
4.     % 优化 fun3
5.     options = optimset('GradObj', 'on');
6.     [x3, y3] = fminunc(@fun3, rand(1, 2), options);
7.     fprintf('fun3 最小值点: [%f, %f], 最小值: %f\n', x3(1), x3(2), y3);
9.     % 优化 fun4
10.     options = optimset('GradObj', 'on', 'Hessian', 'on');
11.     [x4, y4] = fminunc(@fun4, rand(1, 2), options);
12.     fprintf('fun4 最小值点: [%f, %f], 最小值: %f\n', x4(1), x4(2), y4);
13. end
15. function [f, g] = fun3(x)
16.     f = 100 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
17.     g = [-400 * x(1) * (x(2) - x(1)^2) - 2 * (1 - x(1));
18.           200 * (x(2) - x(1)^2)];
19. end
21. function [f, df, d2f] = fun4(x)
22.     f = 100 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
23.     df = [-400 * x(1) * (x(2) - x(1)^2) - 2 * (1 - x(1));
24.            200 * (x(2) - x(1)^2)];
25.     d2f = [-400 * x(2) + 1200 * x(1)^2 + 2, -400 * x(1);
26.            -400 * x(1), 200];
27. end
29. % 调用主程序
30. main();

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Python求解

1. import numpy as np
2. from scipy.optimize import minimize
4. # 定义函数 fun3
5. def fun3(x):
6.     f = 100 * (x[1] - x[0]**2)**2 + (1 - x[0])**2
7.     g = np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0]**2) - 2 * (1 - x[0]),
8.                   200 * (x[1] - x[0]**2)])
9.     return f, g
11. # 定义函数 fun4
12. def fun4(x):
13.     f = 100 * (x[1] - x[0]**2)**2 + (1 - x[0])**2
14.     df = np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0]**2) - 2 * (1 - x[0]),
15.                    200 * (x[1] - x[0]**2)])
16.     d2f = np.array([[-400 * x[1] + 1200 * x[0]**2 + 2, -400 * x[0]],
17.                     [-400 * x[0], 200]])
18.     return f, df, d2f
20. # 使用 fminunc 求解最小值
21. x0 = np.random.rand(2)
23. # 优化 fun3
24. result_min3 = minimize(lambda x: fun3(x)[0], x0, jac=lambda x: fun3(x)[1])
25. x3, y3 = result_min3.x, result_min3.fun
27. # 优化 fun4
28. result_min4 = minimize(lambda x: fun4(x)[0], x0, jac=lambda x: fun4(x)[1],
29.                        hess=lambda x: fun4(x)[2])
30. x4, y4 = result_min4.x, result_min4.fun
32. print("fun3 最小值点:", x3, "最小值:", y3)
33. print("fun4 最小值点:", x4, "最小值:", y4)

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例题三

求函数

取极小值时候的

值。
Matlab求解

1. function main()
2.     % 初始值
3.     x0 = 2;
4.    
5.     % 调用优化函数
6.     [x, y] = fminsearch(@fun5, x0);
7.    
8.     % 输出结果
9.     fprintf('最优点: %f, 最小值: %f\n', x, y);
10. end
12. function f = fun5(x)
13.     % 目标函数
14.     f = sin(x) + 3;
15. end
17. % 调用主程序
18. main();

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Python求解

1. import numpy as np
2. from scipy.optimize import minimize
4. def fun5(x):
5.     # 目标函数
6.     return np.sin(x) + 3
8. def main():
9.     # 初始值
10.     x0 = 2
11.    
12.     # 调用优化函数
13.     result = minimize(fun5, x0)
14.    
15.     # 输出结果
16.     print(f'最优点: {result.x[0]:.6f}, 最小值: {result.fun:.6f}')
18. # 调用主程序
19. if __name__ == "__main__":
20.     main()

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例题四

求多项式

的零点。
Matlab求解

1. clc, clear
2. xishu=[1 -1 2 -3]; %多项式是用向量定义的，系数从高次幂到低次幂排列
3. x0=roots(xishu)
5. syms x
6. x0=solve(x^3-x^2+2*x-3) %求函数零点的符号解
7. x0=vpa(x0,5)  %化成小数格式的数据
9. y=@(x) x^3-x^2+2*x-3;
10. x=fsolve(y,rand)  %只能求给定初始值附近的一个零点

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Python求解

1. import numpy as np
2. from scipy.optimize import fsolve
3. from sympy import symbols, solve, N
5. # 定义多项式系数
6. coefficients = [1, -1, 2, -3]
8. # 求多项式的根
9. roots = np.roots(coefficients)
10. print(f'多项式的根: {roots}')
12. # 使用符号解求零点
13. x = symbols('x')
14. symbolic_roots = solve(x**3 - x**2 + 2*x - 3, x)
15. symbolic_roots_decimal = [N(root, 5) for root in symbolic_roots]
16. print(f'符号解的零点（小数格式）: {symbolic_roots_decimal}')
18. # 定义目标函数
19. def y(x):
20.     return x**3 - x**2 + 2*x - 3
22. # 使用 fsolve 求给定初始值附近的一个零点
23. initial_guess = np.random.rand()
24. numerical_root = fsolve(y, initial_guess)
25. print(f'给定初始值附近的零点: {numerical_root[0]}')

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例题五

        求方程组的解

。
Matlab求解

1. syms x y
2. [x,y]=solve(x^2+y-6,y^2+x-6)
4. f=@(x) [x(1)^2+x(1)-6; x(2)^2+x(1)-6];
5. xy=fsolve(f,rand(2,1)) %只能求给定初始值附近的一组解

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Python求解

1. import numpy as np
2. from scipy.optimize import fsolve
3. from sympy import symbols, solve
5. # 定义符号变量
6. x, y = symbols('x y')
8. # 求解方程组
9. solutions = solve((x**2 + y - 6, y**2 + x - 6), (x, y))
10. print(f'方程组的符号解: {solutions}')
12. # 定义目标函数
13. def equations(vars):
14.     x_val, y_val = vars
15.     return [x_val**2 + y_val - 6, y_val**2 + x_val - 6]
17. # 使用 fsolve 求解
18. initial_guess = np.random.rand(2)
19. numerical_solution = fsolve(equations, initial_guess)
20. print(f'给定初始值附近的解: {numerical_solution}')

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