微积分条记03：多元函数的极值
3.1 多元函数存在极值的必要条件
设存在函数\(f(x,y)\)，若该函数在点\((x_0,y_0)\)处具有偏导数，则有：
\[\tag{1}f(x,y)存在极值 \Rightarrow \begin{cases}f'_x(x_0,y_0)=0\\f'_y(x_0,y_0)=0\end{cases}\]
3.2 多元函数存在极值的充实条件及证明过程
3.2.1 多元函数存在极值的充实条件
设存在函数\(f(x,y)\)，该函数在点\((x_0,y_0)\)的邻域内具有一阶偏导数，且满足：
\[\begin{cases}f'_x(x_0,y_0)=0\\f'_y(x_0,y_0)=0\end{cases}\]
若函数\(f(x,y)\)在在点\((x_0,y_0)\)的邻域内还具有二阶偏导数：
\[设：f''_{xx}(x_0,y_0)=A，f''_{xy}(x_0,y_0)=B，f''_{yy}(x_0,y_0)=C\]
则有：
\[\qquad\qquad\qquad\qquad\quad①AC-B^2>0 \Rightarrow f(x,y)存在极值 \Rightarrow \begin{cases}A0时有极小值\end{cases}\]
\[②AC-B^2f(x_0,y_0)\]
\[\tag{2}即f(x,y)在(x_0,y_0)处取得极小值\]
又由正定矩阵相关性质可得：
\[矩阵\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}的特性值\lambda_1,\lambda_2>0\Rightarrow \begin{vmatrix}A&B\\B&C\end{vmatrix}>0\]
\[\tag{3}\Rightarrow \begin {cases}AC-B^2>0\\A+C>0\end {cases}\Rightarrow A,C>0\]
\(若\begin{bmatrix}\Delta x & \Delta y\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\Delta x \\ \Delta y\end{bmatrix}为负定二次型\)：
\[\Rightarrow f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) < f(x_0,y_0)\]
\[\tag{4}即f(x,y)在(x_0,y_0)处取得极大值\]
又由正定矩阵相关性质可得：
\[矩阵\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}的特性值\lambda_1,\lambda_20\]
\[\tag{5}\Rightarrow \begin {cases}AC-B^2>0\\A+C |
