优选算法系列（4.前缀和 _下） k

目次
五：和为 k 的子数组（medium）
标题链接：560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
六：和可被 K 整除的子数组（medium）
标题链接：974. 和可被 K 整除的子数组 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
七：一连数组（medium）
标题链接：525. 一连数组 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：
八：矩阵区域和（medium）
标题链接：1314. 矩阵区域和 - 力扣（LeetCode）
解法：
代码：

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五：和为 k 的子数组（medium）

标题链接：560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）

解法：

 
   解法二（前缀和）：   

    设 i 为数组中的任意位置，用sum 表现 [0, i] 区间内全部元素的和。    想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的全部元素的和为 k 。那么 [0, x] 区间内的和是不是就是 sum - k 了。    于是问题就变成：  

• 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和即是 sum - k 的即可。
  

   我们不用真的初始化⼀个前缀和数组，由于我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和即是    sum - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种    前缀和出现的次数。  

 
代码：

C++：

java：

 
六：和可被 K 整除的子数组（medium）

标题链接：974. 和可被 K 整除的子数组 - 力扣（LeetCode）

   （本题是某一年的蓝桥杯竞赛原题）  解法：

   前置知识：  

• 同余定理
  

     如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n == b % n 。⽤文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果雷同。           例如： (26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。                 

• c++ 中负数取模的结果，以及怎样修正「负数取模」的结果
  

       a. c++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。          例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1          b. 由于有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。          例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2                          算法思绪：              思绪与上道题的思绪相似。                   设 i 为数组中的任意位置，用 sum 表现 [0, i] 区间内全部元素的和。                想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的全部元素的和可被 k 整除。                                 设 [0, x - 1] 区间内全部元素之和即是 a ， [0, i] 区间内全部元素的和即是 b ，可得                (b - a) % k == 0 。                                 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：                          

• 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数即是 sum % k 的即可。
  

           我们不用真的初始化⼀个前缀和数组，由于我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和即是                sum - k 。因此，我们仅需用⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前                缀和出现的次数。                     代码：

C++：

java：

七：一连数组（medium）

标题链接：525. 一连数组 - 力扣（LeetCode）

解法：

   稍微转化⼀下标题，就会变成我们熟悉的题：    本题让我们找出⼀段一连的区间， 0 和 1 出现的次数雷同。    如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和即是 0 。    于是，就和 560. 和为 K 的子数组 这道题的思绪⼀样  

         设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum 表现 [0, i] 区间内全部元素的和。    想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的子 0数1组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i]    区间内的全部元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 sum 了。于是问题    就变成：    找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum 的位置即可。     我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，由于我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和即是 sum    的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的    位置。   
代码：

C++：

java：

八：矩阵区域和（medium）

标题链接：1314. 矩阵区域和 - 力扣（LeetCode）

解法：

   ⼆维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时间，要找到原矩阵对应区域的「左上    角」以及「右下角」的坐标（推荐画图）   

    回顾：   

         左上⻆坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会「凌驾矩阵」的范围，因此需要对 0 取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;   

    右下⻆坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「凌驾矩阵」的范围，因此需要对 m - 1 ，以及 n - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 = min(m - 1, i + k) ,  y2 = min(n - 1, j + k) 。   

       然后将求出来的坐标代入到「二维前缀和矩阵」的盘算公式上即可~（但是要注意下标的映射关       系）   

            代码：

C++：

java：

 

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