扩展欧几里得算法（Exgcd）
裴蜀定理
对于任意一组整数 \(a,b\)，存在一组整数 \(x,y\)，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。
Proof：
考虑数学归纳法。
当 \(b=0\) 时，由于 \(\gcd(a,0)=a\)，则对于 \(ax+0y=a\) 这个不定方程，\(x=1\)，\(y\) 取任意整数。
假设存在一组整数 \(x,y\)，满足 $bx+(a\bmod b)y=\gcd(b,a\bmod b)=\gcd(a,b) $。
那么接下来证明也存在一组整数 \(x',y'\) 满足 \(ax'+by'=\gcd(a,b)\)。
\[\begin{aligned}bx+(a\bmod b)y &= bx+(a-b\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor)y\\&= bx+ay-b\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y\\&= ay+b(x-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y)\end{aligned}\]
当 \(x'=y,y'=x-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y\) 时满足条件。
那么利用辗转相除法举行递归，总能递归到 \(b=0\) 的环境。命题得证。
Exgcd
求关于 \(x,y\) 的方程 \(ax+by=c\) 的整数解。
设 \(d=\gcd(a,b)\)，方程有整数解的充要条件是 \(d\mid c\)。
Proof：
设 \(a=k_1d,b=k_2d\)，则有 \(k_1dx+k_2dy=c \Rightarrow k_1x+k_2y=\dfrac{c}{d}\)。
先证须要性： 由于 \(\dfrac{c}{d}\) 必须为整数，则 \(d \mid c\)。
再证充实性：上式中，\(k_1\perp k_2\)，则方程 \(k_1x'+k_2y'=1\) 肯定有整数解。由于 \(\dfrac{c}{d} \in\mathbb{Z}\)，那么原方程也肯定有整数解。
先将方程化简，两边同除以 \(d\)。此时 \(a,b\) 互质。
为了方便表述，下面提到的方程都是化简后的方程。
那么我们可以先利用裴蜀定理求出 \(ax'+by'=1\) 的一组特解 \(x',y'\)，从而求出原方程的一组特解 \(x_0=cx’,y_0=cy'\)。
考虑怎样求出通解。
让 \(x\) 加上一个数，那么 \(y\) 就要减去一个数。设这两个数为 \(\Delta_x,\Delta_y\)，则有：
\[\begin{aligned}a(x+\Delta_x)+b(y-\Delta_y) &= c\\ax+a\Delta_x+by-b\Delta_y &= c\\a\Delta_x-b\Delta_y&=0\\a\Delta_x &= b\Delta_y \\\dfrac{a}{b} &= \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}\end{aligned}\]
由于 \(a,b\) 互质，则 \(\dfrac{a}{b}\) 为最简整数比，则有 \(a \mid \Delta_y\) 且 \(\ b\mid \Delta_x\)。
由于 \(\Delta_x,\Delta_y \in \mathbb{Z}\)，则 \(\Delta_x\) 最小取到 \(b\)，\(\Delta_y\) 最小取到 \(a\)。
通解即为：
\[\begin{cases}x=x_0+kb\\y=y_0+ka\\\end{cases}(k\in \mathbb{Z})\]
代回原方程，可以消掉 \(kb,ka\)。
接下来考虑，当存在正整数解时，怎样求出最小正整数解与正整数解的个数。
对 \(x\) 的通解举行变形，求 \(x\) 的最小正整数解 \(x_1\)：
\[\begin{aligned}x_1 \bmod b &= (x_0+kb) \bmod b\\x_1 \bmod b &= x_0 \bmod b\\x_1&=(((x_0-1) \bmod b)+b)\bmod b+1\end{aligned}\]
先减一是为了制止 $x_0 \bmod a $ 一开始就为 \(0\) 的环境，从而保证 \(x_1>0\)。
易得，当 \(x\) 增大时，\(y\) 减小。当 \(x\) 取 \(x_1\) 时，\(y\) 取到最大正整数解 \(y_2\)。
同理，求出 \(y\) 的最小正整数解 \(y_1\)，当 \(y\) 取 \(y_1\) 时，\(x\) 取到最大正整数解 \(x_2\)。
由通解公式可得，\(x\) 每两个整数解之间相差 \(b\)，\(y\) 每两个整数解之间相差 \(a\)。
正整数解的个数即为 \(\dfrac{x_2-x_1}{b}+1\) 或 \(\dfrac{y_2-y_1}{a}+1\)。
Ex.1 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
根据上面的分析，套用公式即可。
[code]ll T,A,B,C,x,y,d,x1,x2,y1,y2,cnt; ll GetX(ll Y){return (C-B*Y)/A;}ll GetY(ll X){return (C-A*X)/B;}ll Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(b==0) return x=1,y=0,a; ll res=Exgcd(b,a%b,x,y); ll z=x; x=y; y=z-(a/b)*y; return res;}void Solve(){ read(A),read(B),read(C); d=Exgcd(A,B,x,y); if(C%d) return puts("-1"),void(); A/=d,B/=d,C/=d; x*=C,y*=C; x1=((x-1)%B+B)%B+1; y2=GetY(x1); y1=((y-1)%A+A)%A+1; x2=GetX(y1); cnt=(x2-x1)/B+1; if(y2 |
