概念
割边(Bridge 或 Cut Edge)
定义:
- 在一个无向连通图中,如果删除某条边后,图不再连通(即恣意两点之间不能相互到达),则称该边为割边。割边也被称为桥,由于它像桥梁一样连接着图的两部分,一旦移除,这两部分就被隔断了。
特性:
- 割边只存在于无向连通图中。
- 删除割边会导致图的连通分量数目增加。
- 割边是图中的一个“薄弱环节”,对于图的连通性有重要影响。
边双连通分量(Edge Biconnected Component)
- 定义:
- 一个无向图的边双连通分量是一个极大连通子图,删除恣意一条边后,图仍然连通。
- 类似于点双连通分量,边双连通分量中的恣意两个节点之间都有两条不相交的边(即,如果删除一条边,仍然可以保持连通)。
- 性质:
- 边双连通分量的每个分量都是连通的。
- 边双连通分量可用于分析图中冗余的边以及提高图的可靠性。
割点(Articulation Point 或 Cut Vertex)
定义:
- 在一个无向连通图中,如果删除了某个顶点后,图不再连通(即恣意两点之间不能相互到达),则称该顶点为割点。割点也被称为关节点,由于它像关节一样连接着图的差别部分,一旦移除,这些部分就被分开了。
特性:
- 割点同样只存在于无向连通图中。
- 删除割点会导致图的连通分量数目增加或减少(详细取决于割点的位置和图的布局)。
- 割点是图中的一个重要节点,对于维护图的连通性至关重要。
点双连通分量(Vertex Biconnected Component)
- 定义:
- 一个无向图的点双连通分量是一个极大连通子图,删除恣意一个节点后,图仍然连通。
- 换句话说,点双连通分量中的恣意两个节点之间都有两条不相交的路径(即,如果删除一个节点,仍然可以保持连通)。
- 性质:
- 点双连通分量的每个分量都是连通的。
- 点双连通分量可用来检测图中的割点(即删除后会增加连通分量的节点)。
割点与割边的关系
- 存在割点时必有割边:如果一个节点是割点,那么至少存在一条通过该节点的割边。删除割点会导致图分裂为多个部分,每个部分之间至少存在一条割边。
- 割边连接的节点可能是割点:割边的两个端点节点至少有一个可能是割点。特别是在边的两个端点是差别的双连通分量时,这两个节点通常是割点。
- 独立的关系:固然割点和割边精密相关,但它们也可以独立存在。一个图可以有割点而没有割边,大概有割边而没有割点。比方,星型图的中心节点是割点,但星型图的每条边都是割边。
Tarjan算法
算法头脑
- DFS 访问顺序: 每个节点都有一个 dfn 值,表现节点在 DFS 中被访问的时间戳(第几个被访问)。同时,尚有一个 low 值,表现节点能通过回边或子节点到达的最早访问的节点的时间戳。
- 割点判断:
- 对于根节点,如果它有两个或两个以上的子树,则它是割点。
- 对于非根节点,如果某个子节点的 low 值不小于该节点的 dfn 值,则该节点是割点。
- 割边判断: 如果某个节点 u 和它的子节点 v 之间的边满足 low[v] > dfn,则边 (u, v) 是割边。
算法步骤
- 初始化 dfn 和 low 数组,初始值为 -1,表现未被访问。初始化一个时间戳变量 time 为 0。
- 使用 DFS 遍历图,对于每个未被访问的节点调用 DFS 函数。
- 在 DFS 函数中:
- 设置当前节点的 dfn 和 low 值为当前时间戳,并将时间戳加 1。
- 对于每个邻接节点,如果该邻接节点未被访问,递归调用 DFS 函数,更新当前节点的 low 值。
- 如果邻接节点已被访问且不是父节点,更新当前节点的 low 值为邻接节点的 dfn 值。
- 在返回时,根据 low 值判断是否是割点或割边。
- 记载所有割点和割边。
算法模板
- // 求解割点的函数
- vector<int> findCutPoints(const vector<vector<int>> &graph) {
- int n = graph.size();
- vector<int> cutPoints; // 存储割点
- vector<int> dfn(n, -1), low(n), parent(n, -1); // 初始化 dfn, low, parent 数组
- vector<bool> visited(n, false); // 记录节点是否已被访问
- int time = 0; // 时间戳
- // DFS 函数
- function<void(int)> dfs = [&](int u) {
- visited[u] = true; // 标记节点 u 为已访问
- dfn[u] = low[u] = time++; // 设置 dfn 和 low 值
- int childCount = 0; // 子节点数量
- bool isCutPoint = false; // 是否为割点
- // 遍历邻接节点
- for (int v : graph[u]) {
- if (!visited[v]) { // 如果 v 未被访问
- parent[v] = u; // 设置 v 的父节点为 u
- dfs(v); // 递归调用 DFS
- childCount++; // 增加子节点数量
- // 更新 low[u]
- low[u] = min(low[u], low[v]);
- // 判断是否为割点
- if (parent[u] == -1 && childCount > 1) { // 根节点且有两个以上子树
- isCutPoint = true;
- }
- if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u]) { // 非根节点且满足条件
- isCutPoint = true;
- }
- } else if (v != parent[u]) { // 如果 v 已被访问且不是父节点
- low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新 low[u]
- }
- }
- // 如果是割点,加入结果
- if (isCutPoint) {
- cutPoints.push_back(u);
- }
- };
- // 遍历每个节点,进行 DFS
- for (int i = 0; i < n; ++i) {
- if (!visited[i]) {
- dfs(i);
- }
- }
- return cutPoints; // 返回割点列表
- }
- // 求解割边的函数
- vector<pair<int, int>> findBridges(const vector<vector<int>> &graph) {
- int n = graph.size();
- vector<pair<int, int>> bridges; // 存储割边
- vector<int> dfn(n, -1), low(n), parent(n, -1); // 初始化 dfn, low, parent 数组
- vector<bool> visited(n, false); // 记录节点是否已被访问
- int time = 0; // 时间戳
- // DFS 函数
- function<void(int)> dfs = [&](int u) {
- visited[u] = true; // 标记节点 u 为已访问
- dfn[u] = low[u] = time++; // 设置 dfn 和 low 值
- // 遍历邻接节点
- for (int v : graph[u]) {
- if (!visited[v]) { // 如果 v 未被访问
- parent[v] = u; // 设置 v 的父节点为 u
- dfs(v); // 递归调用 DFS
- // 更新 low[u]
- low[u] = min(low[u], low[v]);
- // 判断是否为割边
- if (low[v] > dfn[u]) {
- bridges.push_back({u, v}); // 记录割边
- }
- } else if (v != parent[u]) { // 如果 v 已被访问且不是父节点
- low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新 low[u]
- }
- }
- };
- // 遍历每个节点,进行 DFS
- for (int i = 0; i < n; ++i) {
- if (!visited[i]) {
- dfs(i);
- }
- }
- return bridges; // 返回割边列表
- }
复制代码 例题
P3388 【模板】割点(割顶)
给出一个 n 个点,m 条边的无向图,求图的割点。
- #include <bits/stdc++.h>
- using namespace std;
- vector<int> findCutPoints(const vector<vector<int>> &graph);
- signed main() {
- int n,m;
- cin>>n>>m;
- vector<vector<int>> G(n+1);
- while(m--){
- int u,v;
- cin>>u>>v;
- G[u].push_back(v);
- G[v].push_back(u);
- }
- vector<int> CutPoints=findCutPoints(G);
- cout<<CutPoints.size()<<endl;
- sort(CutPoints.begin(),CutPoints.end());
- for(int p:CutPoints)cout<<p<<' ';
- return 0;
- }
复制代码 P1656 炸铁路
将军uim需要选择一条铁路进行炸毁,以使得B国的物流体系瘫痪,导致至少存在两个城市无法通过铁路相互到达。要选择的铁路被称为“关键铁路”。
- #include <bits/stdc++.h>
- using namespace std;
- vector<pair<int, int>> findBridges(const vector<vector<int>> &graph);
- signed main() {
- int n,m;
- cin>>n>>m;
- vector<vector<int>> G(n+1);
- while(m--){
- int u,v;
- cin>>u>>v;
- G[u].push_back(v);
- G[v].push_back(u);
- }
- vector<pair<int, int>> Bridges=findBridges(G);
- for(auto&[x,y]:Bridges)if(x>y)swap(x,y);
- sort(Bridges.begin(),Bridges.end());
- for(auto[x,y]:Bridges)cout<<x<<' '<<y<<endl;
- return 0;
- }
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