python之二维几何学习笔记

一、概要

资料泉源《机器工程师Python编程：入门、实战与进阶》安琪儿·索拉·奥尔巴塞塔 2024年6月

• 点和向量：向量的缩放、范数、点乘、叉乘、旋转、平行、垂直、夹角
  
• 直线和线段：线段中点、离线段最近的点、线段的交点、直线交点、线段的垂直中分线
  
• 多边形：一样平常多边形、圆、矩形
  
• 仿射变更
  

书中强调了单位测试的紧张性。
二、点和向量

数字比力

1. # geom2d/nums.py
3. import math
5. def are_close_enough(a,b,tolerance=1e-10):
6.     return math.fabs(a-b)<tolerance
8. def is_close_to_zero(a,tolerance=1e-10):
9.     return are_close_enough(a,0.0,tolerance)
11. def is_close_to_one(a,tolerance=1e-10):
12.     return are_close_enough(a,1.0,tolerance)

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点

1. # geom2d/point.py
3. import math
5. from geom2d import nums
6. from geom2d.vector import Vector
9. class Point:
10.     def __init__(self, x, y):
11.         self.x = x
12.         self.y = y
14.     # 计算两点间的距离
15.     def distance_to(self, other):
16.         delta_x = other.x - self.x
17.         delta_y = other.y - self.y
18.         return math.sqrt(delta_x ** 2 + delta_y ** 2)
20.     # 对点进行加操作
21.     def __add__(self, other):
22.         return Point(
23.             self.x + other.x,
24.             self.y + other.y
25.         )
27.     # 对点进行减操作
28.     def __sub__(self, other):
29.         return Vector(
30.             self.x - other.x,
31.             self.y - other.y
32.         )
34.     # 用向量移动点
35.     def displaced(self, vector: Vector, times=1):
36.         scaled_vec = vector.scaled_by(times)
37.         return Point(
38.             self.x + scaled_vec.u,
39.             self.y + scaled_vec.v
40.         )
42.     # 比较点是否相等
43.     def __eq__(self, other):
44.         if self is other:
45.             return True
47.         if not isinstance(other, Point):
48.             return False
50.         return nums.are_close_enough(self.x, other.x) and \
51.             nums.are_close_enough(self.y, other.y)
53.     def __str__(self):
54.         return f'({self.x},{self.y})'

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向量

1. # geom2d/vector.py
3. import math
5. from geom2d import nums
8. class Vector:
9.     def __init__(self, u, v):
10.         self.u = u
11.         self.v = v
13.     # 向量的加法
14.     def __add__(self, other):
15.         return Vector(
16.             self.u+other.u,
17.             self.v+other.v
18.         )
20.     # 向量的减法
21.     def __sub__(self, other):
22.         return Vector(
23.             self.u-other.u,
24.             self.v-other.v
25.         )
27.     # 向量的缩放
28.     def scaled_by(self,factor):
29.         return Vector(factor*self.u,factor*self.v)
31.     # 计算向量的范数
32.     @property
33.     def norm(self):
34.         return math.sqrt(self.u**2+self.v**2)
36.    # 验证向量是否为单位向量
37.     @property
38.     def is_normal(self):
39.         return nums.is_close_to_one(self.norm)
41.     # 计算单位长度的向量
42.     def normalized(self):
43.         return self.scaled_by(1.0/self.norm)
45.    # 计算指定长度的向量
46.     def with_length(self,length):
47.         return self.normalized().scaled_by(length)
49.     # 向量的投影
50.     def projection_over(self,direction):
51.         return self.dot(direction.normalized())
53.     # 向量点乘
54.     def dot(self,other):
55.         return (self.u*other.u)+(self.v*other.v)
57.     # 向量叉乘
58.     def cross(self,other):
59.         return (self.u*other.v)-(self.v*other.u)
61.     # 检验两向量是否平行，即叉乘是否为0
62.     def is_parallel_to(self,other):
63.         return nums.is_close_to_zero(self.cross(other))
65.     # 检验两向量是否垂直，即点乘是否为0
66.     def is_perpendicular_to(self,other):
67.         return nums.is_close_to_zero(self.dot(other))
69.     # 向量的夹角（角度值）
70.     def angle_value_to(self,other):
71.         dot_product=self.dot(other)  # 计算点乘值
72.         norm_product=self.norm*other.norm # 范数的乘积
73.         return math.acos(dot_product/norm_product) # （点乘值/范数乘积）取反余弦，即角度值
75.     # 向量的夹角（带叉乘符号的角度值）
76.     def angle_to(self,other):
77.         value=self.angle_value_to(other)
78.         cross_product=self.cross(other)
79.         return math.copysign(value,cross_product) #math.copysign(x, y)函数返回x的大小和y的符号
81.     # 向量的旋转,旋转一定角度
82.     def rotated_radians(self,radians):
83.         cos=math.cos(radians)
84.         sin=math.sin(radians)
85.         return Vector(
86.             self.u*cos-self.v*sin,
87.             self.u*sin+self.v*cos
88.         )
90.     # 垂直向量，旋转90度
91.     def perpendicular(self):
92.         return Vector(-self.v,self.u)
94.     # 相反向量，旋转180度
95.     def opposite(self):
96.         return Vector(-self.u,-self.v)
98.     # 向量的正旋和余弦
99.     @property
100.     def sine(self):
101.         return self.v/self.norm
103.     @property
104.     def cosine(self):
105.         return self.u/self.norm
107.     # 比较向量是否相等
108.     def __eq__(self, other):
109.         # 检查是否在比较相同的实例
110.         if self is other:
111.             return True
113.         # other不是Vector类的实例
114.         if not isinstance(other,Vector):
115.             return False
117.         return nums.are_close_enough(self.u,other.u) and \
118.             nums.are_close_enough(self.v,other.v)
120.     def __str__(self):
121.         return f'({self.u},{self.v}) with norm {self.norm}'

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1. #geom2d/vectors.py
2. # 向量工厂
4. from geom2d.point import Point
5. from geom2d.vector import Vector
7. # 创建一个从点p到点q的向量
8. def make_vector_between(p:Point,q:Point):
9.     return q-p
11. # 创建单位方向向量
12. def make_versor(u:float,v:float):
13.     return Vector(u,v).normalized()
15. # 在两点之间创建一个单位方向向量
16. def make_versor_between(p:Point,q:Point):
17.     return make_vector_between(p,q).normalized()

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向量范数

向量的范数(norm)是指它的长度。单位范数的长度为一个单位。拥有单位范数的向量在确认向量方向时非常有用，因此，我们经常会想知道一个向量的范数是否为单位范数（它是否是单位向量）​。我们也经常需要归一化(normalize)一个向量：方向不变，长度变为1。
向量点乘

点乘(dot product)会得到一个标量，它可以反映两个向量方向的差异。
图上有一个参考向量

和另外三个向量：

、

和

。一条垂直于

的直线将空间分成两个半平面。向量

在直线上，因此

和

的夹角θ等于90°。而cos(90°)=0，因此

。垂直向量的点乘为零。向量

所在的半平面和

相同，因此，

。末了，

在与

相对的半平面上，因此，

。
向量叉乘

向量叉乘(cross product)会得到一个垂直于这两个向量所在平面的新向量。向量的顺序很紧张，它决定了效果向量的方向。可以使用右手法则得到叉乘的方向。
叉乘不满足互换律：

二维向量叉乘的一个紧张应用是确定角度的旋转方向。

，因为从

到

的角度为正（逆时针）​。相反，从

到

的角度为负，因此叉乘

。末了，平行向量的叉乘为0，这很显然，因为sin 0=0。
向量旋转

cos(π/2)=0, sin(π/2)=1，cos(π)=-1, sin(π)=0
向量的正弦和余弦

三、直线和线段 

线段

1. # geom2d/segment.py
3. from geom2d.point import Point
4. from geom2d.vectors import make_vector_between,make_versor_between
5. from geom2d import tparam
7. class Segment:
8.     def __init__(self,start:Point,end:Point):
9.         self.start=start
10.         self.end=end
12.     # 线段的方向向量
13.     @property
14.     def direction_vector(self):
15.         return make_vector_between(self.start,self.end)
17.     # 线段的单位方向向量
18.     @property
19.     def direction_versor(self):
20.         return make_versor_between(self.start,self.end)
22.     # 垂直于线段方向的向量，法向量
23.     # 调用self的direction_versor来得到线段的方向向量，同时也是Vector类的实例
24.     # 调用perpendicular方法，返回垂直于线段方向的向量
25.     def normal_versor(self):
26.         return self.direction_versor.perpendicular()
28.     # 线段的长度
29.     @property
30.     def length(self):
31.         return self.start.distance_to(self.end)
33.     # 使用参数t获取线段上的任意一点
34.     def point_at(self,t:float):
35.         tparam.ensure_valid(t)  # 验证t值
36.         return self.start.displaced(self.direction_vector,t)
38.     # 线段的中点
39.     @property
40.     def middle(self):
41.         return self.point_at(tparam.MIDDLE)
43.     # 线段上的最近点
44.     # 计算从线段的端点S到外部点P的向量v
45.     # 计算在线段方向上投影的单位向量d
46.     # 将投影的长度设为vs
47.     def closest_point_to(self,p:Point):
48.         v=make_vector_between(self.start,p)
49.         d=self.direction_versor
50.         vs=v.projection_over(d)
52.         if vs<0:
53.             return self.start
55.         if vs>self.length:
56.             return self.end
58.         return self.start.displaced(d,vs)

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线段的方向向量

方向(direction)是线段的一个紧张性子，定义为从起点S到尽头E的向量。用

来表现该向量。
方向向量(direction vector)是一个与线段平行且长度相同的向量，其方向是从起点到尽头。
单位方向(direction versor)是方向向量的归一化版本，即与方向向量的方向相同，但长度为一个单位。
垂直于线段的方向也同样紧张。将单位方向向量

旋转方向π/4 rad(90°)，就可以得到线段的单位法向量(normalversor)。

线段上最靠近外部点的点

如果外部点没有与线段对齐，穿过该点且垂直于线段的直线不与线段相交，那么最近的点必然是两个端点S或E中的一个。
如果该点与该段对齐，则垂直线与线段的交点就是最近的点。
如图：点S≡A'是离A最近的点，点E≡B'是最靠近B的点，C'是最靠近C的点。

线段的交点

四、多边形

一样平常多边形——用它们的顶点来定义；
圆是平面内与指定点（圆心）的距离（半径）相同的所有点的集合。因此，圆由圆心C的位置和半径R的值定义
矩形——由原点、宽度和高度定义
多边形中一个紧张性子是质心(centroid)，即所有顶点坐标的算术均匀值。
五、仿射变更

仿射变更：它使我们可以或许通过缩放、旋转、平移和剪切来改变几何形状。
六、单位测试

断言方法

断言方法形貌assertAlmostEqual定义在我们引用的类unittest.TestCase中，用指定的公差来检查浮点数是否相称，公差用小数点后的位数表现，默认是7。请记住，在比力浮点数时，必须有公差，或者像上述例子，给定小数点后的位数assertEqual使用==操作符来比力这两个参数assertTrue检验给定表达式的计算效果是否为TrueassertFalse检验给定表达式的计算效果是否为FalseassertRaises向其传入三个参数。首先是预期要触发的非常(TParamError)。其次，传入了期望触发非常的方法。末了，传入需要转达给前面的方法（在本例中为point_at）的实参。assertIsNone检查传入的值是否是None（无）​ 单位测试的三个规则

1、失败原因须唯一
单位测试应该有且仅有一个失败的原因。如果测试失败只有一个原因，那么很容易找到代码中的错误。如果一个测试失败可能有五个不同的原因。当测试失败时，你会发现本身耗费太多时间去阅读错误消息和调试代码。
2、受控环境
测试的输入和输出应该是已知的。发生在测试中的一切都应该是确定的(deterministic)，也就是说，不应该出现随机性或依赖任何你无法控制的东西：日期或时间、操作系统、未在测试中设置的机器环境变量，等等。
3、测试独立性
测试不应依赖于其他测试。每个测试都应该独立运行，绝不能依赖于其他测试所设置的运行测试的环境。这至少有三个原因。首先，你需要独立地运行或调试测试。其次，很多测试框架并不能保证测试的执行顺序。末了，不依赖于其他测试的测试要易读得多。


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