c-primer-plus深入解读系列-从二进制到误差：逐行拆解C语言浮点运算中的400 ...

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小提示：阅读本篇内容，至少必要相识double和float的二进制表示规则。
书中的代码示比方下：

1. #include <stdio.h>
3. int main(void)
4. {
5.   float a,b;
7.   b = 2.0e20 + 1.0;
8.   a = b - 2.0e20;
9.   printf("%f \n",a);
11.   return 0;
12. }

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我的测试环境如下所示，在该测试环境中，a 等于 4008175468544.000000。

1. Linux version 5.15.0-134-generic (buildd@lcy02-amd64-092) (gcc (Ubuntu 9.4.0-1ubuntu1~20.04.2) 9.4.0, GNU ld (GNU Binutils for Ubuntu) 2.34) #145~20.04.1-Ubuntu SMP Mon Feb 17 13:27:16 UTC 2025

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为什么会产生这样的结果呢？由于书中的解释不够详细，以是我在阅读至此处时，天然而然产生了想要深入研究的想法，遂将研究结果写为本篇博客，供大家参考。
针对这个问题，我的思路是，逐行分析每一句代码都产生了什么结果，大概就可得知误差出现在那里。下面开始逐行分析。
逐行分析解读-第一行代码

起首是第一行：

1. b = 2.0e20 + 1.0;

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先从右边的盘算 2.0e20 + 1.0 开始，我们起首必要把这两个常量的二进制表示出来，然后做浮点数加法运算。
2.0e20 和 1.0的二进制表示

起首，2.0e20会被当作double类型的数据举行处理，根据double类型的存储规则，它的底层二进制如下：
0-10001000010-0101101011110001110101111000101101011000110001000000
其中：

• 符号位：0
  
• 指数部门：10001000010
  
• 尾数部门：0101101011110001110101111000101101011000110001000000
  

插播一个小知识（不关心的可略过）：给定一个大数，它的二进制是怎样盘算得出的呢？

• 起首，将\(2 \times 10^{20}\)举行质因式分解：
  

\(2 \times 10^{20} = 2 \times (2 \times 5)^{20} = 2^{21} \times 5^{20}\)
这表明，\(2 \times 10^{20}\)是由\(2^{21}\)和\(5^{20}\)的乘积构成，也就是说，这个大数的二进制形式可以看成5²⁰的二进制左移21位（即乘以2²¹），也就是说，我们必要求得\(5^{20}\)的二进制。

• 求\(5^{20}\)的二进制：
  

\(5^{20}\)的十进制为：95367431640625
十进制求得二进制的过程，简单来说，即用95367431640625不断除以2，得到余数1或者余数0的一个竖向序列，将其倒序便是所求二进制。这里我直接写出二进制：
10101101011110001110101111000101101011000110001（一共为47位）

• 整体二进制表示：
  

由上述盘算可得知，\(2 \times 10^{20}\)的二进制为：
\(10101101011110001110101111000101101011000110001 \times 2^{21}\) 我们将其规范化，得到
\(1.0101101011110001110101111000101101011000110001 \times 2^{67}\)

• 求出了整体的二进制，double类型的具体存储就简单很多了。
  

起首是指数部门：67 + 1023 = 1090，二进制为10001000010
然后是尾数部门：直接提取小数点之后的部门，只有46位，还必要填充6个0即可（满意尾数52位的需求）
（小知识后咱们继续）其次，1.0也会被当作double类型来接收，底层二进制如下：
0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
这个二进制就不详细阐明了，相信有了前文的基础，读者可以轻松盘算出来。
这里提供一套工具函数，用来打印float和double类型的二进制bit，用来验证很方便：
[code]#include #include void print_bits_float(float f){    union {        float a;        uint32_t b;    }c;    c.a = f;    for (int i = 0; i < 32; i++) {        printf("%d", c.b & 1  more than 31 is undefined behaviour.        printf("%d", c.b & (1 ULL