数据结构——二叉树

二叉树在树中是一种特殊的结构，二叉树又有好几种，完全二叉树、满二叉树等·····
目次
二叉树的概念及结构
树的特点 
二叉树的性子 
二叉树的存储结构 
顺序结构
链式结构
 创建一颗树
 树的遍历
前序遍历
中序遍历 
后序遍历
层序遍历 
树的结点个数计算 
 

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二叉树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有条理关系的集体。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

注意：在树形结构中，子集之间不能有交点，否则就不可以称之位树形结构 。

树的特点 

   节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有类似父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的条理：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大条理； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的先人：从根到该节点所经分支上的全部节点；如上图：A是全部节点的先人
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：全部节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林； 
  二叉树的性子 

   1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps： 是log以2
为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对全部节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
  1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
  二叉树的存储结构 

二叉树一般可以用两种结构来存储，一种是顺序结构，另一种是链式结构。
顺序结构

顺序结构就是用数组来存储，一般利用数组存储只实用完全二叉树，如果不是完全二叉树就会有空间浪费。

链式结构

链式结构是指，用链表来表现一颗二叉树，即用链表来表现元素的逻辑关系。

1. typedef struct BinaryTreeNode
2. {
3.         BTDataType data;//结点数据
4.         struct BinaryTreeNode* left;//存储左孩子的地址
5.         struct BinaryTreeNode* right;//存储右孩子的地址
6. }BTNode;

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 创建一颗树

1. typedef int BTDataType;
2. typedef struct BinaryTreeNode
3. {
4.         BTDataType data;
5.         struct BinaryTreeNode* left;
6.         struct BinaryTreeNode* right;
7. }BTNode;
9. BTNode* BuyNode(BTDataType x)
10. {
11.         BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
12.         if (node == NULL)
13.         {
14.                 perror("malloc");
15.         }
16.         node->data = x;
17.         node->left = NULL;
18.         node->right = NULL;
19.         return node;
20. }
21. int main()
22. {
23.         BTNode* node1 = BuyNode(1);
24.         BTNode* node2 = BuyNode(2);
25.         BTNode* node3 = BuyNode(3);
26.         BTNode* node4 = BuyNode(4);
27.         BTNode* node5 = BuyNode(5);
28.         BTNode* node6 = BuyNode(6);
29.         //BTNode* node7 = BuyNode(7);
31.         node1->left = node2;
32.         node1->right = node4;
33.         node2->left = node3;
34.         node4->left = node5;
35.         node4->right = node6;
36.     return 0;
37. }

复制代码

创建六个结点，利用malloc函数来开辟空间，巨细为一个结构体类型，通过BuyNode函数来初始化
结点，之后我们自己链接，想怎么样链接看自己，上面代码链接后的结构：

 树的遍历

树的遍历有前序遍历、中序遍历、后序遍历、以及层序遍历。
前序遍历

前序遍历也叫根序遍历，就是先遍历根结点，再遍历左结点，最后遍历右结点，一般利用递归来遍历：
代码展示：

1. void PreOrder(BTNode* root)
2. {
3.         if (root == NULL)
4.         {
5.                 printf("NULL ");
6.                 return;
7.         }
8.         printf("%d ", root->data);
9.         PreOrder(root->left);
10.         PreOrder(root->right);
11. }

复制代码

这里把为空的结点也打印出来了，进入函数，先判定该结点是否为空，为空就返回，不为空就打印该结点的值，接着进入下一个函数，传该结点的左孩子，循环往复，直到碰到空就返回上一个函数，进入函数传结点的右孩子，最后回到一开始的头结点，再去遍历该头结点的右孩子。
运行结果：

 
这就是创建一棵树后对其前序遍历的结果。
中序遍历 

中序遍历是先遍历左结点，再遍历根结点，最后遍历右结点。
代码展示：

1. void InOrder(BTNode* root)
2. {
3.         if (root == NULL)
4.         {
5.                 printf("NULL ");
6.                 return;
7.         }
8.         PreOrder(root->left);
9.         printf("%d ", root->data);
10.         PreOrder(root->right);
11. }

复制代码

和前序遍历基本千篇一律，只是遍历顺序变了。
直接看结果：

 
后序遍历

后序遍历是先遍历左结点，，再遍历右结点，最后遍历根结点。
代码展示：

1. void PostOrder(BTNode* root)
2. {
3.         if (root == NULL)
4.         {
5.                 printf("NULL ");
6.                 return;
7.         }
8.         PreOrder(root->left);
9.         PreOrder(root->right);
10.         printf("%d ", root->data);
11. }

复制代码

运行结果： 

层序遍历 

层序遍历是重新结点开始依次遍历，在树中如何做到依次遍历呢？单单靠树做不到依次遍历，我们需要用到队列，队列的特点是“先进先出”，我们可以利用这个特点来实现树的层序遍历。
思绪：第一步先把头结点入队，第二步出队再把出队的左右结点入队，循环往复，直到队列为空就制止。
也可以用这个思绪来判定一颗树是否为完全二叉树。

1. void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
2. {
3.         Queue q;
4.         QueInit(&q);
5.         if (root)
6.                 QuePush(&q,root);
7.         while (!QueJuS(&q))
8.         {
9.                 BTNode* front = QueTop(&q);
10.                 QuePop(&q);
11.                 printf("%d ", front->data);
12.                 if (front->left)
13.                         QuePush(&q, front->left);
14.                 if (front->right)
15.                         QuePush(&q, front->right);
16.         }
17.         QueDestroy(&q);
18.         printf("\n");
19. }

复制代码

这里要注意的是创建队列的类型，队列里存储的是一个结点，所以类型为该树的类型。 

树的结点个数计算 

代码展示：

1. int Sizetree(BTNode* root)
2. {
3.         if (root == NULL)
4.         {
5.                 return 0;
6.         }
7.         int sizeleft = Sizetree(root->left);
8.         int sizeright = Sizetree(root->right);
9.          return sizeleft + sizeright + 1;
10. }

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运行结果：

 
 
 

 
 



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