面面垂直的判断与证明

前言

• 判定线线垂直
  

图形语言文字语言符号语言如果一条直线和一个平
面垂直，那么它和这个
平面的任意一条直线垂
直，简称：线面垂直，
则线线垂直\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{b\subsetneqq\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp b\)

• 判定线面垂直
  

图形语言文字语言符号语言如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线都
垂直，那么这条直线和
这个平面垂直，简称：
线线垂直，则线面垂直\(\left.\begin{array}{r}{a\subsetneqq\alpha，b\subsetneqq\alpha}\\{a\cap b=O}\\{l\perp a，l\perp b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow l\perp\alpha\)两个平面垂直，如果一
个平面内的直线和其交
线垂直，那么这条直线
和另一个平面垂直\(\left.\begin{array}{r}{\alpha\perp \beta}\\{\alpha\cap\beta=l}\\{a\subsetneqq\alpha，a\perp l}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp\beta\)如果一条直线和两个[可
引申为一组]平行平面中
的一个垂直，则它和另
一个平面也垂直\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp \beta\)如果一个平面和两条[可
引申为一组]平行直线中
的一条垂直，则它和另
一条直线也垂直\(\left.\begin{array}{r}{a//b}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow b\perp \alpha\)

• 判定面面垂直
  

图形语言文字语言符号语言如果一条直线和一个平
面垂直，那么经过这条
直线的平面和这个平面
垂直\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a\subsetneqq\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)如果一条直线和一个平
面垂直，那么与这条直
线平行的平面和这个平
面垂直\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a//\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)【临考谨记】利用定理证明空间中线、面位置关系时，要注意结合几何体的结构特征，尤其是注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间中线、面位置关系的相互转化。
$\fbox{线线平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{线面平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{面面平行与垂直}$典例剖析

【2022年高考全国卷乙卷文数第18题】如图， 四面体 \(ABCD\) 中， \(AD\perp CD\)， \(AD=CD\)， \(\angle ADB=\angle BDC\)， \(E\) 为 \(AC\) 的中点。

(1). 证明: 平面 \(BED\) \(\perp\) 平面 \(ACD\)；
分析：证明面面垂直的题目，常常需要先转化为线面垂直来完成，此时就需要确定一条直线 这条直线就在给定的两个平面内来找，一般寻找确定的顺序是，先找边界线[三角形的平面就是三角形的边]，再找中线、中位线、角平分线、高线等这些比较特殊的直线，最后考虑没有这些特殊的直线时，是不是可以做出这些直线，和一个平面 这个平面就是要证明的两个平面中的一个，当你确定了所要的直线的来源平面后，此时的平面就是另外一个平面。，当确定好直线和平面后，就需要在这个平面内找两条直线，然后证明这两条来自平面内的直线分别和前面提到的直线都垂直，从而问题转化为线线垂直，而证明线线垂直时，就能用到初中和高中的相关知识了。
分析过程思维导图：
\[\require{AMScd}\begin{CD}{面面垂直}@>{\Leftarrow\;\alpha\perp\beta}>{性质定理}>线面垂直@>{\Leftarrow\left\{\begin{array}{l}{m[线]\perp\alpha[面]}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right.}>{性质定理}>线线垂直@>{\Leftarrow\left\{\begin{array}{l}{m[线]\perp a[线]}\\{m[线]\perp b[线]}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right.}>{依次证明即可}>\end{CD}\]
证明过程思维导图：
\[\require{AMScd}\begin{CD}    线线垂直 @>{\left.\begin{array}{l}{m\perp a}\\{m\perp b}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right\}\Rightarrow m\perp \alpha}>{判断定理}> 线面垂直@>{\left.\begin{array}{l}{m\perp\alpha}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right\}\Rightarrow \alpha\perp \beta}>{判定定理}>面面垂直 \end{CD}\]
〖证明〗：由于 \(AD=CD\)， \(E\) 是 \(AC\) 的中点， 所以 \(AC\perp DE\)[线线垂直]，

在  \(\triangle ADB\)和 \(\triangle CDB\)中，由于 \(\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\BD=BD\\\angle ADB=\angle CDB\end{array}\right.\)， 所以 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\)[SAS]，
所以 \(AB=CB\)， \(E\) 是 \(AC\) 的中点， 故 \(AC\perp BE\)[线线垂直]，
[注意，当上述的垂直关系你若写成  \(DE\perp AC\) 和 \(BE\perp AC\)，则此时我们往往会转换视角，将上述的垂直关系转换为  \(AC\perp DE\) 和  \(AC\perp BE\)，便于我们梳理线面垂直的5个条件]
由于 \(DE\cap BE=E\)， \(DE\), \(BE\subset\) 平面 \(BED\)，
所以 \(AC\perp\) 平面 \(BED\)[线面垂直]，
由于 \(AC\subset\) 平面 \(ACD\)， 所以平面 \(BED\perp\) 平面 \(ACD\)[面面垂直].
(2). 设 \(AB=BD=2\)， \(\angle ACB=60^{\circ}\)， 点 \(F\) 在 \(BD\) 上， 当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时， 求三棱锥 \(F\)\(-\)\(ABC\) 的体积.
分析：由题目可知当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时， \(S_{\triangle AFC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\)，\(AC\)已是定值，故取决于 \(EF\) 最小，而点 \(F\) 是 \(BD\) 上的动点，那它何时最小呢，此时一般考虑其特殊位置，分别可能是 \(EF\) 为 \(\triangle BED\) 的高线，中线，角平分线。
解析：依题意 \(AB=BD=BC=2\)， \(\angle ACB=60^{\circ}\)， 三角形 \(ABC\) 是等边三角形，
所以 \(AC=2\)， \(AE=CE=1\)， \(BE=\sqrt{3}\)，
由于 \(AD=CD\)， \(AD\perp CD\)， 所以三角形 \(ACD\) 是等腰直角三角形， 所以 \(DE=1\)，
\(DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}\)， 所以 \(DE\perp BE\)，
又由于 \(DE\perp BE\)，\(DE\perp AC\)， \(AC\cap BE=E\)， \(AC\),\(BE\subset\) 平面 \(ABC\)，所以 \(DE\perp\) 平面 \(ABC\).

由于 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\)， 所以 \(\angle FBA=\angle FBC\)，
由于 \(\left\{\begin{array}{l}BF=BF\\\angle FBA=\angle FBC\\AB=CB\end{array}\right.,\) 所以， \(\triangle FBA\cong\triangle FBC\)，
所以 \(AF=CF\)， 所以 \(EF\perp AC\)，
由于 \(S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\)，所以当 \(EF\) 最短时从直线 \(BD\) 外的一点 \(E\) 向直线所作的线段中，只有垂线段最短，故接下来我们需要过点 \(E\) 做 直线 \(BD\) 的垂线段。， 三角形 \(AFC\) 的面积取得最小值.
过 \(E\) 作 \(EF\perp BD\)， 垂足为 \(F\)，
在 \(Rt\triangle BED\) 中， \(\cfrac{1}{2} \cdot BE \cdot DE=\cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot EF\) ，
解得 \(EF=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，所以 \(DF=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\cfrac{1}{2}\)，
\(BF=2-DF=\cfrac{3}{2}\) ，所以 \(\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\)
过 \(F\) 作 \(FH\perp BE\)， 垂足为 \(H\)， 则 \(FH//DE\)， 所以 \(FH\perp\) 平面 \(ABC\)，
且 \(\cfrac{FH}{DE}=\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\)，所以 \(FH=\cfrac{3}{4}\)，
所以 \(V_{F-ABC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot FH=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\).

免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！