目次
一、AVL树的概念
二、AVL树的实现
1.AVL树节点的界说
2.AVL树的插入
3.AVL树的旋转
4.AVL树的验证
三、AVL树的性能
四、完结撒❀
一、AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查 找元素相当于在次序表中搜索元素,效率低下 。因此,两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年 发明了一种解决上述问题的方法: 当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能包管每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调解 ) ,即可降低树的高度,从而淘汰均匀 搜索长度。 一棵 AVL 树大概是空树,大概是具有以下性子的二叉搜索树: ● 它的左右子树都是 AVL 树 ● 左右子树高度之差 ( 简称均衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度均衡的,它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点,其高度可保持在 O(log2 n) ,搜索时间复杂度 O(log2 n) 。 二、AVL树的实现
1.AVL树节点的界说
AVL树节点的界说:
- template<class T>
- struct AVLTreeNode
- {
- AVLTreeNode(const T& data)
- : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
- , _data(data), _bf(0)
- {}
- AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
- AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
- AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
- T _data;
- int _bf; // 该节点的平衡因子
- };
复制代码 2.AVL树的插入
AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了均衡因子,因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步: 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点 2. 调解节点的均衡因子 3.AVL树的旋转
如果在一棵本来是均衡的 AVL 树中插入一个新节点,可能造成不均衡,此时必须调解树的结构, 使之均衡化。根据节点插入位置的差别, AVL 树的旋转分为四种: 1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左:右单旋 
- /*
- 上图在插入前,AVL树是平衡的,新节点插入到30的左子树(注意:此处不是左孩子)中,30左
- 子树增加
- 了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60左子树的高度减少一层,右子
- 树增加一层,
- 即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的右子树,而如果30有
- 右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点
- 的平衡因子即可。在旋转过程中,有以下几种情况需要考虑:
- 1. 30节点的右孩子可能存在,也可能不存在
- 2. 60可能是根节点,也可能是子树
- 如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点
- 如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树
-
- 此处可举一些详细的例子进行画图,考虑各种情况,加深旋转的理解
- */
- void _RotateR(Node Parent)
- {
- // SubL: Parent的左孩子
- // SubLR: Parent左孩子的右孩子,注意:该
- Node SubL = Parent->_Left;
- Node SubLR = SubL->_Right;
- // 旋转完成之后,30的右孩子作为双亲的左孩子
- Parent->_Left = SubLR;
- // 如果30的左孩子的右孩子存在,更新亲双亲
- if (SubLR)
- SubLR->_Parent = Parent;
- // 60 作为 30的右孩子
- SubL->_Right = Parent;
- // 因为60可能是棵子树,因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
- Node Parent = Parent->_Parent;
- // 更新60的双亲
- Parent->_Parent = SubL;
- // 更新30的双亲
- SubL->_Parent = Parent;
- // 如果60是根节点,根新指向根节点的指针
- if (NULL == Parent)
- {
- _root = SubL;
- SubL->_Parent = NULL;
- }
- else
- {
- // 如果60是子树,可能是其双亲的左子树,也可能是右子树
- if (Parent->_Left == Parent)
- Parent->_Left = SubL;
- else
- Parent->_Right = SubL;
- }
- // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
- Parent->_bf = SubL->_bf = 0;
- }
复制代码 2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右:左单旋
- //左单旋
- void LNode(Node* parent)
- {
- /*if (parent == _root)
- {
- Node* pparent = nullptr;
- }
- else
- {
- Node* pparent = parent->_parent;
- }*/
- Node* pparent = parent->_parent;
- Node* subR = parent->_right;
- Node* subRL = subR->_left;
- parent->_left = subRL;
- if (subRL)
- subRL->_parent = parent;
- subR->_left = parent;
- parent->_parent = subR;
- if (pparent)
- {
- subR->_parent = pparent;
- if (pparent->_left = parent)
- {
- pparent->_left = subR;
- }
- else
- {
- pparent->_right = subR;
- }
- }
- else
- {
- _root = subR;
- subR->_parent = nullptr;
- }
- parent->_bf = subR->_bf = 0;
- }
复制代码 3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右:先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转,即: 先对 30 进行左单旋,然后再对 90 进行右单旋 ,旋转完成后再 考虑均衡因子的更新。 - // 旋转之前,60的平衡因子可能是-1/0/1,旋转完成之后,根据情况对其他节点的平衡因子进
- //行调整
- void _RotateLR(Node Parent)
- {
- Node SubL = Parent->_Left;
- Node SubLR = SubL->_Right;
- // 旋转之前,保存pSubLR的平衡因子,旋转完成之后,需要根据该平衡因子来调整其他节
- 点的平衡因子
- int bf = SubLR->_bf;
- // 先对30进行左单旋
- _RotateL(Parent->_Left);
- // 再对90进行右单旋
- _RotateR(Parent);
- if (1 == bf)
- SubL->_bf = -1;
- else if (-1 == bf)
- Parent->_bf = 1;
- }
复制代码 4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左:先右单旋再左单旋
- //右左双旋
- void RLNode(Node* parent)
- {
- Node* subR = parent->_right;
- Node* subRL = subR->_left;
- int bf = subRL->_bf;
- RNode(parent->_right);
- LNode(parent);
- if (bf == 1)
- {
- subRL->_bf = 0;
- subR->_bf = 0;
- parent->_bf = -1;
- }
- else if (bf == -1)
- {
- subRL->_bf = 0;
- subR->_bf = 1;
- parent->_bf = 0;
- }
- else if (bf == 0)
- {
- subRL->_bf = 0;
- subR->_bf = 0;
- parent->_bf = 0;
- }
- else
- {
- //理论没有该状况
- assert(false);
- }
- }
复制代码 总结: 如果以 Parent 为根的子树不均衡,即 Parent 的均衡因子为 2 大概 -2 ,分以下环境考虑 1)Parent 的均衡因子为 2 ,说明 Parent 的右子树高,设 Parent 的右子树的根为 SubR 当 SubR 的均衡因子为 1 时,执行左单旋 当 SubR 的均衡因子为 -1 时,执行右左双旋 2)Parent 的均衡因子为 -2 ,说明 Parent 的左子树高,设 Parent 的左子树的根为 SubL 当 SubL 的均衡因子为 -1 是,执行右单旋 当 SubL 的均衡因子为 1 时,执行左右双旋 旋转完成后,原 Parent 为根的子树个高度降低,已经均衡,不需要再向上更新。 4.AVL树的验证
AVL 树是在二叉搜索树的基础上参加了均衡性的限制,因此要验证 AVL 树,可以分两步: 1. 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树 2. 验证其为均衡树 ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有均衡因子 ) ● 节点的均衡因子是否盘算准确 - int _size(Node* root)
- {
- return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1;
- }
- int _Height(Node* root)
- {
- if (root == nullptr)
- {
- return 0;
- }
- return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
- }
- bool _IsBalance(Node* root)
- {
- if (root == nullptr)
- {
- return true;
- }
- int LeftHeight = _Height(root->_left);
- int RightHeight = _Height(root->_right);
- if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2)
- {
- return false;
- }
- //可以顺便再检查一下平衡因子
- if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf)
- {
- cout << root->_kv.first << endl;
- return false;
- }
- return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
- }
复制代码 三、AVL树的性能
AVL 树是一棵绝对均衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 ,这 样可以包管查询时高效的时间复杂度,即 log2 N 。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操 作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对均衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时, 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数 据的个数为静态的 ( 即不会改变 ) ,可以考虑 AVL 树,但一个结构常常修改,就不太适合。 四、完结撒❀
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