3. 线性空间
3.17 向量组的秩
【界说5】设 V \textbf{V} V是数域 K \textbf{K} K上的线性空间， V \textbf{V} V的一个子集 S \textbf{S} S如果满足两个条件：
（1） S \textbf{S} S是线性无关；
（2）对于 β ∉ S \boldsymbol\beta\not\in\textbf{S} β∈S（若有的话），有 S ∪ { β } \textbf{S}\cup\{\boldsymbol\beta\} S∪{β}线性相干，那么称 S \textbf{S} S是 V \textbf{V} V的一个极大线性无关集。
- S \textbf{S} S是 V \textbf{V} V的一个基 ⇒ S \Rightarrow\textbf{S} ⇒S是 V \textbf{V} V的一个极大线性无关集。
- 当 V ≠ { 0 } \textbf{V}\ne\{\boldsymbol{0}\} V={0}时， S \textbf{S} S是 V \textbf{V} V的一个基 ⇔ S \Leftrightarrow\textbf{S} ⇔S是 V \textbf{V} V的一个极大线性无关集。
- { 0 } , ∅ \{\boldsymbol{0}\},\emptyset {0},∅满足界说5中的（1），对于 0 ∉ ∅ \boldsymbol{0}\notin\emptyset 0∈/∅，有 ∅ ∪ { 0 } = { 0 } \empty\cup\{\boldsymbol{0}\}=\{\boldsymbol{0}\} ∅∪{0}={0}是线性相干的，因此 ∅ \emptyset ∅是 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0}的一个极大线性无关集。
【命题6】子空间 < α 1 , . . . , α s > : = { k 1 α 1 + . . . + k s α s ∣ k 1 . . . k s ∈ K } <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}>:=\{k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+...+k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}|k_{1}...k_{s}\in\textbf{K}\} <α1,...,αs>:={k1α1+...+ksαs∣k1...ks∈K}， < α 1 , . . . , α s > <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}> <α1,...,αs>的每一个向量都可以由 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs的一个极大线性无关组线性表出，则 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs是 < α 1 , . . . , α s > <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}> <α1,...,αs>的一个基，从而 dim < α 1 , . . . , α s > = rank { α 1 , . . . , α s } \dim <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}>=\text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} dim<α1,...,αs>=rank{α1,...,αs}
【命题7】 < α 1 , . . . , α s > = < β 1 , . . . , β r > ⇔ { α 1 , . . . , α s } <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}>=<\boldsymbol{\beta}_{1},...,\boldsymbol{\beta}_{r}>\Leftrightarrow\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} <α1,...,αs>=<β1,...,βr>⇔{α1,...,αs}与 { β 1 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,...,βr}互相线性表出，即 { α 1 , . . . , α s } ≅ { β 1 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}\cong\{\boldsymbol{\beta}_{1},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {α1,...,αs}≅{β1,...,βr}
3.18 矩阵的秩
数域 K \textbf{K} K上的 s × n s\times n s×n矩阵 A \boldsymbol{A} A， A = ( a 11 … a 1 n … … … a s 1 … a s n ) ∈ K n \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} a_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{s1} & \dots & a_{sn} \end{pmatrix}\in\textbf{K}^{n} A= a11…as1………a1n…asn ∈Kn，将每一行当作一个行向量，即 γ 1 = ( a 11 , … , a 1 n ) , . . . , γ s = ( a s 1 , . . . , a s n ) \boldsymbol\gamma_{1}=(a_{11},\dots,a_{1n}),...,\boldsymbol\gamma_{s}=(a_{s1},...,a_{sn}) γ1=(a11,…,a1n),...,γs=(as1,...,asn)，所以整个矩阵当作一个行向量组 { γ 1 , . . . , γ s } \{\boldsymbol\gamma_{1},...,\boldsymbol\gamma_{s}\} {γ1,...,γs}，每一列当作一个列向量，即 α 1 = ( a 11 ⋮ a s 1 ) , . . . , α n = ( a 1 n ⋮ a s n ) \boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{s1} \end{pmatrix},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}=\begin{pmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{sn} \end{pmatrix} α1= a11⋮as1 ,...,αn= a1n⋮asn ，则矩阵当作一个列向量组 { α 1 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,...,αn}，则列向量组的秩 rank { α 1 , . . . , α n } \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} rank{α1,...,αn}称为 A \boldsymbol{A} A的列秩，将行向量组的秩 rank { γ 1 , . . . , γ s } \text{rank}\{\boldsymbol\gamma_{1},...,\boldsymbol\gamma_{s}\} rank{γ1,...,γs}称为 A \boldsymbol{A} A的行秩，将列向量组生成的子空间 < α 1 , . . . , α n > <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}> <α1,...,αn>称为 A \boldsymbol{A} A的列空间，将行向量组生成的子空间 < γ 1 , . . . , γ s > <\boldsymbol\gamma_{1},...,\boldsymbol\gamma_{s}> <γ1,...,γs>称为 A \boldsymbol{A} A的行空间， rank { α 1 , . . . , α n } = dim < α 1 , . . . , α n > , rank { γ 1 , . . . , γ s } = dim < γ 1 , . . . , γ s > \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}=\dim <\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}>,\text{rank}\{\boldsymbol\gamma_{1},...,\boldsymbol\gamma_{s}\}=\dim <\boldsymbol\gamma_{1},...,\boldsymbol\gamma_{s}> rank{α1,...,αn}=dim<α1,...,αn>,rank{γ1,...,γs}=dim<γ1,...,γs>
探讨 A \boldsymbol{A} A的列秩与 A \boldsymbol{A} A的行秩有什么联系？
数域 K \textbf{K} K上 s × n s\times n s×n阶梯型矩阵 J \boldsymbol{J} J的行数和列数有什么关系？
设 J \boldsymbol{J} J的非0行的个数为 r r r，从而 J \boldsymbol{J} J有 r r r个主元， J = ( 0 ⋯ 0 c 1 j 1 ⋯ c 1 j 2 ⋯ c 1 j r ⋯ c 1 n 0 ⋯ 0 0 ⋯ c 2 j 2 ⋯ c 2 j r ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ c j r ⋯ c m 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ) \boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{cccccccccc} 0 & \cdots & 0 & c_{1 j_{1}} & \cdots & c_{1 j_{2}} & \cdots & c_{1 j_{r}} & \cdots & c_{1 n} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & c_{2 j_{2}} & \cdots & c_{2 j_{r}} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & c_{j_{r}} & \cdots & c_{m} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right) J= 00⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯00⋮00⋮0c1j10⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1j2c2j2⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1jrc2jr⋮cjr0⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1nc2n⋮cm0⋮0 ，将 J \boldsymbol{J} J的每一列视为列向量 α j , j = 1 , . . . , j 1 , . . . , j 2 , . . . , j r , . . . , j n \boldsymbol{\alpha}_{j},j=1,...,j_1,...,j_2,...,j_r,...,j_n αj,j=1,...,j1,...,j2,...,jr,...,jn<将每一行视为行向量 α i , i = 1 , 2 , . . . , r \boldsymbol{\alpha}_{i},i=1,2,...,r αi,i=1,2,...,r别的全为0向量，考虑 r r r个列向量： ( c 1 j 1 0 ⋮ 0 ) , ( c 1 j 2 c 2 j 2 ⋮ 0 ) , ⋯ , ( c 1 j r c 2 j r ⋮ c r r ) \left(\begin{array}{c} c_{1 j_{1}} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} c_{1 j_{2}} \\ c_{2 j_{2}} \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c} c_{1 j_{r}} \\ c_{2 j_{r}} \\ \vdots \\ c_{r_{r}} \end{array}\right) c1j10⋮0 , c1j2c2j2⋮0 ,⋯, c1jrc2jr⋮crr ，它组成的矩阵正好是上三角形矩阵，其行列式恰恰是上三角形行列式，其行列式为是对角线乘积不得0，则该向量组线性无关，这个向量组的延伸组（一个向量组线性无关，其延伸组（就是向量多添分量）也线性无关，这个是丘维声老师没讲的结论）也线性无关，从而 dim < α j 1 , . . . , α j r > = rank { α j 1 , . . . , α j r } = r \dim<\boldsymbol\alpha_{j_1},...,\boldsymbol\alpha_{j_r}>=\text{rank}\{\boldsymbol\alpha_{j_1},...,\boldsymbol\alpha_{j_r}\}=r dim<αj1,...,αjr>=rank{αj1,...,αjr}=r，考虑集合 U = { ( a 1 , ⋯ , a r , 0 , ⋯ , 0 ) ′ ∣ a i ∈ K , i = 1 , 2 , ⋯ , r } ⊆ K s , ( a 1 , ⋯ , a r , 0 , ⋯ , 0 ) ′ = a 1 ε 1 + . . . + a r ε r \textbf{U}=\left\{\left(a_{1}, \cdots, a_{r}, 0, \cdots, 0\right)^{\prime} \mid a_{i} \in K, i=1,2, \cdots, r\right\}\subseteq \textbf{K}^{s},\left(a_{1}, \cdots, a_{r}, 0, \cdots, 0\right)^{\prime}=a_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+...+a_{r}\boldsymbol{\varepsilon}_{r} U={(a1,⋯,ar,0,⋯,0)′∣ai∈K,i=1,2,⋯,r}⊆Ks,(a1,⋯,ar,0,⋯,0)′=a1ε1+...+arεr，从而 U \textbf{U} U的一个基是 ε 1 , . . . , ε r \boldsymbol{\varepsilon}_{1},...,\boldsymbol{\varepsilon}_{r} ε1,...,εr，从而 dim U = r \dim \textbf{U}=r dimU=r
< α j 1 , α j 2 , . . . , α j r > ⊆ < α 1 , α 2 , . . . , α n > ⊆ U <\boldsymbol\alpha_{j_1},\boldsymbol\alpha_{j_2},...,\boldsymbol\alpha_{j_r}>\subseteq <\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,...,\boldsymbol\alpha_n>\subseteq\textbf{U} <αj1,αj2,...,αjr>⊆<α1,α2,...,αn>⊆U
从而 r = dim < α j 1 , α j 2 , . . . , α j r > ≤ dim < α 1 , α 2 , . . . , α n > ≤ dim U = r r=\dim <\boldsymbol\alpha_{j_1},\boldsymbol\alpha_{j_2},...,\boldsymbol\alpha_{j_r}>\le\dim <\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,...,\boldsymbol\alpha_n>\le\dim\textbf{U}=r r=dim<αj1,αj2,...,αjr>≤dim<α1,α2,...,αn>≤dimU=r
因此 dim < α 1 , α 2 , . . . , α n > = r \dim<\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,...,\boldsymbol\alpha_n>=r dim<α1,α2,...,αn>=r即 J \boldsymbol{J} J的列秩等于 J \boldsymbol{J} J的非0行的个数；
向量组 ( c 1 j 1 , c 1 j 2 , . . . , c 1 j r ) , ( 0 , c 2 j 2 , . . . , c 2 j r ) , . . . , ( 0 , 0 , . . . , c r j r ) (c_{1j_1},c_{1j_2},...,c_{1j_r}),(0,c_{2j_2},...,c_{2j_r}),...,(0,0,...,c_{rj_r}) (c1j1,c1j2,...,c1jr),(0,c2j2,...,c2jr),...,(0,0,...,crjr)线性无关，从而它们的延伸组 γ 1 , γ 2 , . . . , γ r \boldsymbol\gamma_{1},\boldsymbol\gamma_{2},...,\boldsymbol\gamma_r γ1,γ2,...,γr线性无关，于是 J \boldsymbol{J} J的行向量组 γ 1 , γ 2 , . . . , γ r , 0 , . . . , 0 \boldsymbol\gamma_{1},\boldsymbol\gamma_{2},...,\boldsymbol\gamma_r,\boldsymbol{0},...,\boldsymbol{0} γ1,γ2,...,γr,0,...,0的一个极大线性无关组为 γ 1 , γ 2 , . . . , γ r \boldsymbol\gamma_{1},\boldsymbol\gamma_{2},...,\boldsymbol\gamma_r γ1,γ2,...,γr，从而 J \boldsymbol{J} J的行秩等于 J \boldsymbol{J} J的非0行的个数；
而且 α j 1 , α j 2 , . . . , α j r \boldsymbol\alpha_{j_1},\boldsymbol\alpha_{j_2},...,\boldsymbol\alpha_{j_r} αj1,αj2,...,αjr是 J \boldsymbol{J} J的列向量组的一个极大线性无关组，而且 J \boldsymbol{J} J的主元所在的列构成 J \boldsymbol{J} J的列向量组的一个极大线性无关组。
【定理1】数域 K \textbf{K} K上的 s × n s\times n s×n阶梯型矩阵 J \boldsymbol{J} J的列秩 = = =行秩 = = = J \boldsymbol{J} J的非0行的个数，而且 J \boldsymbol{J} J的主元所在的列构成 J \boldsymbol{J} J的列向量组的一个极大线性无关组。
【定理2】矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
【证】设矩阵 A \boldsymbol{A} A经过第 i i i行的 k k k倍加到第 j j j行得到矩阵 B \boldsymbol{B} B， A \boldsymbol{A} A的行向量组为 γ 1 , . . . , γ i , . . . , γ j , . . . γ n \boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma_i,...,\boldsymbol\gamma_j,...\boldsymbol\gamma_n γ1,...,γi,...,γj,...γn， B \boldsymbol{B} B的行向量组为 γ 1 , . . . , γ i , . . . , γ j + k γ i , . . . γ n \boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma_i,...,\boldsymbol\gamma_j + k\boldsymbol\gamma_i,...\boldsymbol\gamma_n γ1,...,γi,...,γj+kγi,...γn
γ j = ( γ j + k γ i ) + ( − k γ i ) \boldsymbol\gamma_j=(\boldsymbol\gamma_j+k\boldsymbol\gamma_i)+(-k\boldsymbol\gamma_i) γj=(γj+kγi)+(−kγi)
所以两个向量组可以互相线性表出，即两个向量组等价，秩相等，从而 A \boldsymbol{A} A的行秩等于 B \boldsymbol{B} B的行秩
两行交换，显然建立（向量顺序变了，但是秩稳定）
第 i i i行乘非0数 l l l：容易证明，两个矩阵秩相等。
【定理3】矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相干性。
【证】设矩阵 C \boldsymbol{C} C经过一系列初等行变换变为矩阵 B \boldsymbol{B} B， C \boldsymbol{C} C的列向量组 η 1 , . . , η n \boldsymbol{\eta}_1,..,\boldsymbol{\eta}_n η1,..,ηn， D \boldsymbol{D} D的列向量组 δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_1,...,\boldsymbol{\delta}_n δ1,...,δn
齐次线性方程组 x 1 η 1 + . . . + x n η n = 0 x_1\boldsymbol{\eta}_1+...+x_n\boldsymbol{\eta}_n=\boldsymbol{0} x1η1+...+xnηn=0与 x 1 δ 1 + . . . + x n δ n = 0 x_1\boldsymbol{\delta}_1+...+x_n\boldsymbol{\delta}_n=\boldsymbol{0} x1δ1+...+xnδn=0同解（线性方程组的初等行变换后同解）
从而 x 1 η 1 + . . . + x n η n = 0 x_1\boldsymbol{\eta}_1+...+x_n\boldsymbol{\eta}_n=\boldsymbol{0} x1η1+...+xnηn=0有非0解 ⇔ x 1 δ 1 + . . . + x n δ n = 0 \Leftrightarrow x_1\boldsymbol{\delta}_1+...+x_n\boldsymbol{\delta}_n=\boldsymbol{0} ⇔x1δ1+...+xnδn=0有非0解
即 η 1 , . . . , η n \boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_n η1,...,ηn线性相干， δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_1,...,\boldsymbol{\delta}_n δ1,...,δn线性相干。
因此 η 1 , . . . , η n \boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_n η1,...,ηn线性相干 ⇔ δ 1 , . . . , δ n \Leftrightarrow\boldsymbol{\delta}_1,...,\boldsymbol{\delta}_n ⇔δ1,...,δn线性相干
【定理】矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩
【证】设矩阵 A s × n \boldsymbol{A}_{s\times n} As×n经过初等行变换变为矩阵 B s × n \boldsymbol{B}_{s\times n} Bs×n，且 B \boldsymbol{B} B的第 j 1 j_1 j1列记为列向量 β j 1 \boldsymbol{\beta}_{j_1} βj1，…，且 B \boldsymbol{B} B的第 j r j_r jr列记为列向量 β j r \boldsymbol{\beta}_{j_r} βjr，且 β j 1 , . . . , β j r \boldsymbol{\beta}_{j_1},...,\boldsymbol{\beta}_{j_r} βj1,...,βjr是 B \boldsymbol{B} B的列向量组的一个极大线性无关组， A \boldsymbol{A} A的第 j 1 j_1 j1列记为列向量 α j 1 \boldsymbol{\alpha}_{j_1} αj1，…，且 A \boldsymbol{A} A的第 j r j_r jr列记为列向量 α j r \boldsymbol{\alpha}_{j_r} αjr，把 α j 1 , . . . , α j r \boldsymbol{\alpha}_{j_1},...,\boldsymbol{\alpha}_{j_r} αj1,...,αjr组成一个矩阵，即 A \boldsymbol{A} A的子矩阵 A 1 \boldsymbol{A}_1 A1，把 β j 1 , . . . , β j r \boldsymbol{\beta}_{j_1},...,\boldsymbol{\beta}_{j_r} βj1,...,βjr也组成一个矩阵，即即 B \boldsymbol{B} B的子矩阵 B 1 \boldsymbol{B}_1 B1，则 A 1 \boldsymbol{A}_1 A1经过上述的初等行变换变为 B 1 \boldsymbol{B}_1 B1，已知 B 1 \boldsymbol{B}_1 B1的列向量组 β j 1 , . . . , β j r \boldsymbol{\beta}_{j_1},...,\boldsymbol{\beta}_{j_r} βj1,...,βjr线性无关，由矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性相干性，则 A 1 \boldsymbol{A}_1 A1的列向量组 α j 1 , . . . , α j r \boldsymbol{\alpha}_{j_1},...,\boldsymbol{\alpha}_{j_r} αj1,...,αjr线性无关，任取 α l ∉ { α j 1 , . . . , α j r } \boldsymbol\alpha_l\notin\{\boldsymbol{\alpha}_{j_1},...,\boldsymbol{\alpha}_{j_r}\} αl∈/{αj1,...,αjr}，则 α j 1 , . . . , α j r , α l \boldsymbol{\alpha}_{j_1},...,\boldsymbol{\alpha}_{j_r},\boldsymbol\alpha_l αj1,...,αjr,αl按原顺序组成矩阵 A 2 \boldsymbol{A}_2 A2，
β j 1 , . . . , β j r , β l \boldsymbol{\beta}_{j_1},...,\boldsymbol{\beta}_{j_r},\boldsymbol{\beta}_l βj1,...,βjr,βl按原顺序组成矩阵 B 2 \boldsymbol{B}_2 B2
做上述初等行变换，且 β j 1 , . . . , β j r , β l \boldsymbol{\beta}_{j_1},...,\boldsymbol{\beta}_{j_r},\boldsymbol{\beta}_l βj1,...,βjr,βl线性相干，则 α j 1 , . . . , α j r , α l \boldsymbol{\alpha}_{j_1},...,\boldsymbol{\alpha}_{j_r},\boldsymbol\alpha_l αj1,...,αjr,αl线性相干
因此 α j 1 , . . . , α j r \boldsymbol{\alpha}_{j_1},...,\boldsymbol{\alpha}_{j_r} αj1,...,αjr就是 A \boldsymbol{A} A的列向量组的一个极大线性无关组。
即 A \boldsymbol{A} A的列秩 = r = B =r=\boldsymbol{B} =r=B的列秩。从而，矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
【定理】经过初等变换的矩阵的秩和原矩阵相等。
【证】设 A \boldsymbol{A} A经过初等行变换变为矩阵 B \boldsymbol{B} B，若 B \boldsymbol{B} B的第 j 1 , . . . , j l j_1,...,j_l j1,...,jl列构成 B \boldsymbol{B} B列向量组的一个极大线性无关组，则 A \boldsymbol{A} A的第 j 1 , . . . , j l j_1,...,j_l j1,...,jl列构成 A \boldsymbol{A} A的列向量的一个极大线性无关组。于是， A \boldsymbol{A} A的列秩 = r = B =r=\boldsymbol{B} =r=B的列秩。
【定理4】任一矩阵 A \boldsymbol{A} A的行秩 = = =列秩。
【证】把矩阵 A \boldsymbol{A} A经过初等行变换变为阶梯型矩阵 J \boldsymbol{J} J，从而 A \boldsymbol{A} A的行秩 = J =\boldsymbol{J} =J的行秩， J \boldsymbol{J} J的行秩 = J =\boldsymbol{J} =J的列秩（定理1）， = A =\boldsymbol{A} =A的列秩。（定理3）
【界说1】矩阵 A \boldsymbol{A} A的行秩和列秩（相等）统称为矩阵 A \boldsymbol{A} A的秩，记作 rank ( A ) \text{rank}(\boldsymbol{A}) rank(A).
【推论】设 A \boldsymbol{A} A经过初等行变换变为阶梯型矩阵 J \boldsymbol{J} J，则 rank ( A ) = J \text{rank}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{J} rank(A)=J的非0行的个数。而且，若 J \boldsymbol{J} J的主元在第 j 1 , . . . , j r j_1,...,j_r j1,...,jr列，则 A \boldsymbol{A} A的第 j 1 , . . . , j r j_1,...,j_r j1,...,jr列就构成 A \boldsymbol{A} A的列向量组的一个极大线性无关组。
由于 A \boldsymbol{A} A的行向量组是 A ′ \boldsymbol{A}' A′的列向量组，从而 A \boldsymbol{A} A的行秩 = = = A ′ \boldsymbol{A}' A′的列秩，因此得到推论2：
【推论2】 rank ( A ) = rank ( A ′ ) \text{rank}(\boldsymbol{A})=\text{rank}(\boldsymbol{A}') rank(A)=rank(A′)
将矩阵 A \boldsymbol{A} A经过初等列变换得到矩阵 B \boldsymbol{B} B，则与定理2的证法类似可以证得 A \boldsymbol{A} A的列秩 = B =\boldsymbol{B} =B的列秩，于是 A \boldsymbol{A} A的列秩 = A =\boldsymbol{A} =A的秩 = B =\boldsymbol{B} =B的列秩 = B =\boldsymbol{B} =B的秩，因此有如下推论：
【推论3】矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。
【定理5】 s × n s\times n s×n的非零矩阵 A \boldsymbol{A} A的秩等于 A \boldsymbol{A} A的不为零的子式的最高阶数。
【证】设矩阵 A \boldsymbol{A} A的秩 rank ( A ) \text{rank}(\boldsymbol{A}) rank(A)为 r r r，即 A \boldsymbol{A} A的行向量组的极大线性无关组有 r r r个向量，不妨设 A \boldsymbol{A} A的前 r r r行线性无关，将前 r r r行也形成一个矩阵作为 A \boldsymbol{A} A的子矩阵 A 1 \boldsymbol{A}_{1} A1，从而 rank ( A 1 ) = r \text{rank}(\boldsymbol{A}_{1})=r rank(A1)=r，于是 A 1 \boldsymbol{A}_{1} A1有 r r r列线性无关，则它们组成的 r r r阶子式不为0，设 m > r m>r m>r,任取 A \boldsymbol{A} A的一个 m m m阶子式 A ( k 1 , k 2 , ⋯ , k m l 1 , l 2 , ⋯ , l m ) \boldsymbol{A}\binom{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}}{l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{m}} A(l1,l2,⋯,lmk1,k2,⋯,km)（取第 k 1 , . . . , k m k_1,...,k_m k1,...,km行， l 1 , . . . , l m l_1,...,l_m l1,...,lm列），将 A \boldsymbol{A} A的第 l 1 l_1 l1列记为列向量 α l 1 \boldsymbol\alpha_{l_1} αl1，…， A \boldsymbol{A} A的第 l m l_m lm列记为列向量 α l m \boldsymbol\alpha_{l_m} αlm，由于 rank A = r \text{rank}\boldsymbol{A}=r rankA=r，从而 α l 1 , . . . , α l m \boldsymbol\alpha_{l_1},...,\boldsymbol\alpha_{l_m} αl1,...,αlm（ m > r m>r m>r）线性相干，于是它们的缩短组线性相干，它们的缩短组正好是原来矩阵 A \boldsymbol{A} A的第 k 1 , . . . , k m k_1,...,k_m k1,...,km行， l 1 , . . . , l m l_1,...,l_m l1,...,lm列交叉位置，即 A ( k 1 , k 2 , ⋯ , k m l 1 , l 2 , ⋯ , l m ) \boldsymbol{A}\binom{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}}{l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{m}} A(l1,l2,⋯,lmk1,k2,⋯,km)的列向量组， A ( k 1 , k 2 , ⋯ , k m l 1 , l 2 , ⋯ , l m ) \boldsymbol{A}\binom{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}}{l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{m}} A(l1,l2,⋯,lmk1,k2,⋯,km)的列向量组线性相干，于是 A ( k 1 , k 2 , ⋯ , k m l 1 , l 2 , ⋯ , l m ) = 0 \boldsymbol{A}\binom{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}}{l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{m}}=0 A(l1,l2,⋯,lmk1,k2,⋯,km)=0
因此 A \boldsymbol{A} A的不为0的子式的最高阶数就是 r r r.
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