二叉树-堆的详解

一，树的概念

1，树的概念

树是一种非线性的数据布局，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有条理关系的集合。
把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，别的结点被分成M(M>0)个互不相交的集合
T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵布局与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的

注意：树形布局中，子树之间不能有交集，否则就不是树形布局
2，树的相关概念

3，二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，序次不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的： 

特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是服从很高的数据布局，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 
 节点与高度关系

   设高度为h，节点个数为N  
  

 
4,堆的概念

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的全部元素按完全二叉树的序次存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： = 且 >= ) i = 0，1， 2…，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。  
   物理：数组
  逻辑：完全二叉树
  堆的性子

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

二，堆的实现

老规矩建立三个文件 Heap.c Heap.h Test.c
 1，堆的布局

1. typedef int HPDataType;
3. typedef struct Heap
4. {
5.         HPDataType* a;
6.         int size;
7.         int capacity;
8. }HP;

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2，堆的初始化

void HPInit(HP* php);

1. void HPInit(HP* php)
2. {
3.         assert(php);
4.         php->a = NULL;
5.         php->capacity = php->size = 0;
6. }

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3，堆的销毁

void HPDestroy(HP* php);

1. void HPDestroy(HP* php)
2. {
3.         assert(php);
4.         free(php->a);
5.         php->a = NULL;
6.         php->size = php->capacity = 0;
7. }

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4，数据的交换

 void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);

1. void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
2. {
3.         HPDataType tmp = *p1;
4.         *p1 = *p2;
5.         *p2 = tmp;
6. }

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5，向上调整（小堆为例）

void AdjustUp(HPDataType* a, int child);

1. void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
2. {
3.         // 初始条件
4.         // 中间过程
5.         // 结束条件
6.         int parent = (child - 1) / 2;
7.         //while (parent >= 0)
8.         while (child > 0)
9.         {
10.                 if (a[child] < a[parent])
11.                 {
12.                         Swap(&a[child], &a[parent]);
13.                         child = parent;
14.                         parent = (child - 1) / 2;
15.                 }
16.                 else
17.                 {
18.                         break;
19.                 }
20.         }
21. }

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  条件while (parent >= 0) 不正确，由于child==0时，parent = (child - 1) / 2;是整型还是为0，故可以实现 
  6，堆的插入

void HPPush(HP* php, HPDataType x);
判断空间是否足够

1. if (php->size == php->capacity)
2.         {
3.                 int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
4.                 HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
5.                 if (tmp == NULL)
6.                 {
7.                         perror("realloc fail");
8.                         return;
9.                 }

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插入数据

1. php->a = tmp;
2.                 php->capacity = newcapacity;
3.         }
5.         php->a[php->size] = x;
6.         php->size++;

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调整数据

1. AdjustUp(php->a, php->size - 1);

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总代码

1. void HPPush(HP* php, HPDataType x){        assert(php);        if (php->size == php->capacity)
2.         {
3.                 int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
4.                 HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
5.                 if (tmp == NULL)
6.                 {
7.                         perror("realloc fail");
8.                         return;
9.                 }                php->a = tmp;
10.                 php->capacity = newcapacity;
11.         }
13.         php->a[php->size] = x;
14.         php->size++;        AdjustUp(php->a, php->size - 1);}

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7，堆的删除（删除堆顶）

   挪动覆盖删除堆顶数据，会导致堆的关系错误
  可以将堆顶数据和堆尾数据互换，这样其两个左右子树还是小堆，然后使用向下调节算法 
   

void HPPop(HP* php);

1. void HPPop(HP* php)
2. {
3.         assert(php);
4.         assert(php->size > 0);
5.         Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
6.         php->size--;
8.         AdjustDown(php->a, php->size, 0);
9. }

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8，向下调整（小堆为例） 

 void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

1. void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
2. {
3.         // 先假设左孩子小
4.         int child = parent * 2 + 1;
6.         while (child < n)  // child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了
7.         {
8.                 // 找出小的那个孩子
9.                 if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
10.                 {
11.                         ++child;
12.                 }
14.                 if (a[child] < a[parent])
15.                 {
16.                         Swap(&a[child], &a[parent]);
17.                         parent = child;
18.                         child = parent * 2 + 1;
19.                 }
20.                 else
21.                 {
22.                         break;
23.                 }
24.         }
25. }

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 9，取堆顶数据

HPDataType HPTop(HP* php);

1. HPDataType HPTop(HP* php)
2. {
3.         assert(php);
4.         assert(php->size > 0);
6.         return php->a[0];
7. }

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10，判断堆是否为空

bool HPEmpty(HP* php);

1. bool HPEmpty(HP* php)
2. {
3.         assert(php);
5.         return php->size == 0;
6. }

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 三，堆的应用

使用堆排序

向上调整建堆

1. for (int i = 1; i < n; i++)
2.         {
3.                 AdjustUp(a, i);
4.         }

复制代码

 向下调整建堆

1. for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
2.         {
3.                 AdjustDown(a, n, i);
4.         }

复制代码

完备代码

1. void HeapSort(int* a, int n){        // 降序，建小堆        // 升序，建大堆        /*for (int i = 1; i < n; i++)
2.         {
3.                 AdjustUp(a, i);
4.         }*/        for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
5.         {
6.                 AdjustDown(a, n, i);
7.         }        int end = n - 1;        while (end > 0)        {                Swap(&a[0], &a[end]);                AdjustDown(a, end, 0);                --end;        }}

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   不可以用大堆进行降序，因为首先第一个定死了，后面接着用大堆会使关系庞杂
  建堆时间复杂度 

向下调整

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度原来看的 就是近似值，多几个结点不影响终极效果)：

 
向下调整建堆 O(N) 
向上调整

 

向上调整建堆O(N*logN)
n个数找最大的前K个

方法一

建一个N个数的大堆  O(N)
pop k次 O(K*logN)
方法二

用前k个数 建一个小堆 O(K)
剩下的数跟堆顶数据比较，如果比堆顶数据大，就替换堆顶数据进堆（覆盖跟位置然后向下调整）
O(log K*(N-K))



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