C++ AVL树 详细讲解

目次
一、AVL树的概念
二、AVL树的实现
1.AVL树节点的界说
2.AVL树的插入
3.AVL树的旋转
4.AVL树的验证
三、AVL树的性能
四、完结撒❀

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一、AVL树的概念

   二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但  如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查     找元素相当于在次序表中搜索元素，效率低下  。因此，两位俄罗斯的数学家  G.M.Adelson-Velskii     和  E.M.Landis  在  1962  年  发明了一种解决上述问题的方法：  当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能包管每个结点的左右  子树高度之差的绝对值不超过  1(  需要对树中的结点进行调解  )  ，即可降低树的高度，从而淘汰均匀  搜索长度。     一棵  AVL  树大概是空树，大概是具有以下性子的二叉搜索树：         ● 它的左右子树都是   AVL   树        ● 左右子树高度之差   (   简称均衡因子   )   的绝对值不超过   1(-1/0/1）   

   如果一棵二叉搜索树是高度均衡的，它就是  AVL  树。如果它有  n  个结点，其高度可保持在    O(log2 n)  ，搜索时间复杂度  O(log2 n)  。    二、AVL树的实现

1.AVL树节点的界说

AVL树节点的界说：

1. template<class T>
2. struct AVLTreeNode
3. {
4.         AVLTreeNode(const T& data)
5.                 : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
6.                 , _data(data), _bf(0)
7.         {}
8.         AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
9.         AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
10.         AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
11.         T _data;
12.         int _bf;                  // 该节点的平衡因子
13. };

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2.AVL树的插入

   AVL  树就是在二叉搜索树的基础上引入了均衡因子，因此  AVL  树也可以看成是二叉搜索树。那么     AVL  树的插入过程可以分为两步：         1.    按照二叉搜索树的方式插入新节点        2.    调解节点的均衡因子    

1. bool Insert(const pair<K, V>& kv)
2. {
3.     // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
5.         if (_root == nullptr)
6.         {
7.                 _root = new Node(kv);
8.                 return true;
9.         }
11.         Node* parent = nullptr;
12.         Node* cur = _root;
13.         while (cur)
14.         {
15.                 if (cur->_kv.first > kv.first)
16.                 {
17.                         parent = cur;
18.                         cur = cur->_left;
19.                 }
20.                 else if (cur->_kv.first < kv.first)
21.                 {
22.                         parent = cur;
23.                         cur = cur->_right;
24.                 }
25.                 else
26.                 {
27.                         //插入相同值
28.                         return false;
29.                 }
30.         }
31.        
32.         //找到cur所在位置
33.         cur = new Node(kv);
34.         if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)
35.         {
36.                 parent->_left = cur;
37.                 cur->_parent = parent;
38.         }
39.         else
40.         {
41.                 parent->_right = cur;
42.                 cur->_parent = parent;
43.         }
45.      // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
46.     //破坏了AVL树的平衡性
47.    
48.      /*
49.      pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
50.      的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
51.       1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
52.       2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
53.  
54.      此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
55.      1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足
56. AVL树的性质，插入成功
57.      2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此
58. 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
59.      3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
60.      */
62.     //更新平衡因子
63.         while (parent)
64.         {
65.                 if (parent->_left == cur)
66.                 {
67.                         parent->_bf--;
68.                 }
69.                 else
70.                 {
71.                         parent->_bf++;
72.                 }
74.                 if (parent->_bf == 0)
75.                 {
76.                         //二叉树高度没问题，更新结束
77.                         break;
78.                 }
79.                 else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
80.                 {
81.            // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
82.            // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
83.                         cur = parent;
84.                         parent = parent->_parent;
85.                 }
86.                 else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
87.                 {
88.             //双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性
89.                         //二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡
90.                         //判断是右单旋还是左单旋还是双旋
91.                        
92.                         //右单旋
93.                         if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
94.                         {
95.                                 //...
96.                         }
97.                         //左单旋
98.                         else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
99.                         {
100.                                 //...
101.                         }
102.                         //左右双旋
103.                         else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
104.                         {
105.                 //...
106.                         }
107.                         //右左双旋
108.                         else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
109.                         {
110.                 //...
111.                         }
113.                 }
114.                 else
115.                 {
116.                         //理论上不会出现这种状况
117.                         assert(false);
118.                 }
119.         }
121.         return true;
122. }

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3.AVL树的旋转

   如果在一棵本来是均衡的  AVL  树中插入一个新节点，可能造成不均衡，此时必须调解树的结构，     使之均衡化。根据节点插入位置的差别，  AVL  树的旋转分为四种：      1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋   

1. /*
2.  上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
3. 子树增加
4.  了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
5. 树增加一层，
6.  即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
7. 右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
8. 的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
9.  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
10.  2. 60可能是根节点，也可能是子树
11.     如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
12.     如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
13.    
14. 此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
15. */
16. void _RotateR(Node Parent)
17. {
18.         // SubL: Parent的左孩子
19.         // SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该
20.         Node SubL = Parent->_Left;
21.         Node SubLR = SubL->_Right;
22.         // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
23.         Parent->_Left = SubLR;
24.         // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
25.         if (SubLR)
26.                 SubLR->_Parent = Parent;
27.         // 60 作为 30的右孩子
28.         SubL->_Right = Parent;
30.         // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
31.         Node Parent = Parent->_Parent;
33.         // 更新60的双亲
34.         Parent->_Parent = SubL;
36.         // 更新30的双亲
37.         SubL->_Parent = Parent;
38.         // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
39.         if (NULL == Parent)
40.         {
41.                 _root = SubL;
42.                 SubL->_Parent = NULL;
43.         }
44.         else
45.         {
46.                 // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
47.                 if (Parent->_Left == Parent)
48.                         Parent->_Left = SubL;
49.                 else
50.                         Parent->_Right = SubL;
51.         }
52.         // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
53.         Parent->_bf = SubL->_bf = 0;
54. }

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2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

  

1. //左单旋
2. void LNode(Node* parent)
3. {
4.         /*if (parent == _root)
5.         {
6.                 Node* pparent = nullptr;
7.         }
8.         else
9.         {
10.                 Node* pparent = parent->_parent;
11.         }*/
12.         Node* pparent = parent->_parent;
14.         Node* subR = parent->_right;
15.         Node* subRL = subR->_left;
17.         parent->_left = subRL;
18.         if (subRL)
19.                 subRL->_parent = parent;
21.         subR->_left = parent;
22.         parent->_parent = subR;
24.         if (pparent)
25.         {
26.                 subR->_parent = pparent;
28.                 if (pparent->_left = parent)
29.                 {
30.                         pparent->_left = subR;
31.                 }
32.                 else
33.                 {
34.                         pparent->_right = subR;
35.                 }
36.         }
37.         else
38.         {
39.                 _root = subR;
40.                 subR->_parent = nullptr;
41.         }
43.         parent->_bf = subR->_bf = 0;
44. }

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3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
  

   将双旋变成单旋后再旋转，即：  先对  30  进行左单旋，然后再对  90  进行右单旋  ，旋转完成后再     考虑均衡因子的更新。  

1. // 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
2. //行调整
3. void _RotateLR(Node Parent)
4. {
5.         Node SubL = Parent->_Left;
6.         Node SubLR = SubL->_Right;
8.         // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
9.         点的平衡因子
10.                 int bf = SubLR->_bf;
12.         // 先对30进行左单旋
13.         _RotateL(Parent->_Left);
15.         // 再对90进行右单旋
16.         _RotateR(Parent);
17.         if (1 == bf)
18.                 SubL->_bf = -1;
19.         else if (-1 == bf)
20.                 Parent->_bf = 1;
21. }

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4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

1. //右左双旋
2. void RLNode(Node* parent)
3. {
4.         Node* subR = parent->_right;
5.         Node* subRL = subR->_left;
7.         int bf = subRL->_bf;
9.         RNode(parent->_right);
10.         LNode(parent);
12.         if (bf == 1)
13.         {
14.                 subRL->_bf = 0;
15.                 subR->_bf = 0;
16.                 parent->_bf = -1;
17.         }
18.         else if (bf == -1)
19.         {
20.                 subRL->_bf = 0;
21.                 subR->_bf = 1;
22.                 parent->_bf = 0;
23.         }
24.         else if (bf == 0)
25.         {
26.                 subRL->_bf = 0;
27.                 subR->_bf = 0;
28.                 parent->_bf = 0;
29.         }
30.         else
31.         {
32.                 //理论没有该状况
33.                 assert(false);
34.         }
35. }

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  总结：      如果以  Parent  为根的子树不均衡，即  Parent  的均衡因子为  2  大概  -2  ，分以下环境考虑      1）Parent  的均衡因子为  2  ，说明  Parent  的右子树高，设  Parent  的右子树的根为  SubR        当   SubR   的均衡因子为   1   时，执行左单旋        当   SubR   的均衡因子为   -1   时，执行右左双旋       2）Parent  的均衡因子为  -2  ，说明  Parent  的左子树高，设  Parent  的左子树的根为  SubL        当   SubL   的均衡因子为   -1   是，执行右单旋        当   SubL   的均衡因子为   1   时，执行左右双旋       旋转完成后，原  Parent  为根的子树个高度降低，已经均衡，不需要再向上更新。  4.AVL树的验证

   AVL  树是在二叉搜索树的基础上参加了均衡性的限制，因此要验证  AVL  树，可以分两步：              1. 验证其为二叉搜索树                 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树              2. 验证其为均衡树                 ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有均衡因子  )                  ● 节点的均衡因子是否盘算准确

1. int _size(Node* root)
2. {
3.         return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1；
4. }
6. int _Height(Node* root)
7. {
8.         if (root == nullptr)
9.         {
10.                 return 0;
11.         }
13.         return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
14. }
16. bool _IsBalance(Node* root)
17. {
18.         if (root == nullptr)
19.         {
20.                 return true;
21.         }
23.         int LeftHeight = _Height(root->_left);
24.         int RightHeight = _Height(root->_right);
26.         if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2)
27.         {
28.                 return false;
29.         }
31.         //可以顺便再检查一下平衡因子
32.         if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf)
33.         {
34.                 cout << root->_kv.first << endl;
35.                 return false;
36.         }
38.         return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
39. }

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三、AVL树的性能

   AVL  树是一棵绝对均衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过  1  ，这     样可以包管查询时高效的时间复杂度，即  log2 N  。但是如果要对  AVL  树做一些结构修改的操  作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对均衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，  有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数  据的个数为静态的  (  即不会改变  )  ，可以考虑  AVL  树，但一个结构常常修改，就不太适合。   四、完结撒❀

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最后我想讲的是，听说点赞的都能找到美丽女朋友❤

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