关于2025广州中考22题的新思路

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正文

看到这个题目（未给出第(3)小题），一开始确实是没有什么思路的，它要求给出一个代数式去表示 \(a,b,c\) 。
要让门生在考场上解出这道题，是有点难度的（虽然这是大学数论课本经典例题），
但是我想到了一个绝妙的解法，惋惜就算考生们想到，他们也会由于试卷太小而写不下，
不过在博客里面就没有这个顾虑了。
首先观察表格：
标题五个字\(3,4,5\)\(7,24,25\)\(11,60,61\)\(15,112,113\)\(19,180,181\)\(4,3,5\)\(8,15,17\)\(12,35,37\)\(16,63,65\)\(20,21,29\)\(5,12,13\)\(9,12,15\)\(13,84,85\)\(17,144,145\)\(21,28,35\)\(6,8,10\)\(10,24,26\)\(14,48,50\)\(18,80,82\)\(22,120,122\)很显然，我们可以发现一个绝顶简单的规律：
\(a=x+2,x\in\mathbb{N}^+\)
这个式子只和一个未知数 \(x\) 有!关!!!相较各大网站上的其他答案，非常轻便！
那么我们是否可以通过一个未知数 \(x\) 来表达 \(b,c\) 呢？当然可以！
由于我们在毕氏小学二年级学过一个函数构造法叫做 拉格朗日插值法(\(Lagrange\) \(Interpolation\)) ，对付这类找规律的题目：

对于平面上的点列 \({(x_i,y_i)}\) ，存在一个函数 \(\displaystyle f(x)=\sum^n_{i=1}y_i\times\prod_{j=1,j\ne i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\) ，其经过这些点。

那么利用Python不难发现存在以下代数式式：
\(\begin{equation}b = - \frac{451471}{5529322745856000} x^{19} + \frac{6483539}{400148356608000} x^{18} - \frac{1596562211}{1067062284288000} x^{17} + \frac{267958189}{3138418483200} x^{16} - \frac{105822357853}{31384184832000} x^{15} + \frac{7378648987}{75442752000} x^{14} - \frac{203194463664329}{94152554496000} x^{13} + \frac{13405709915309}{362125209600} x^{12} - \frac{219539968554271}{438939648000} x^{11} + \frac{294084859825609}{54867456000} x^{10} - \frac{20040159235326953}{438939648000} x^{9} + \frac{74454314504436649}{241416806400} x^{8} - \frac{7724720124122995051}{4707627724800} x^{7} + \frac{39985039798132683307}{5884534656000} x^{6} - \frac{3123699160165055261} x^{5}{145297152000} + \frac{3305205687514423327}{65383718400} x^{4} - \frac{13073360767015742617}{154378224000} x^{3} + \frac{11210861194775401}{118752480} x^{2} - \frac{109037723343077}{1763580} x + 17632292\\c = - \frac{324119}{4054836680294400} x^{19} + \frac{50777329}{3201186852864000} x^{18} - \frac{52098757}{35568742809600} x^{17} + \frac{1311581969}{15692092416000} x^{16} - \frac{34531138541}{10461394944000} x^{15} + \frac{231141884693}{2414168064000} x^{14} - \frac{663041032309 x^{13}}{313841848320} + \frac{131231625978263 x^{12}}{3621252096000} - \frac{788013399319903 x^{11}}{1609445376000} + \frac{2303096317194389}{438939648000} x^{10} - \frac{7193228898296759}{160944537600} x^{9} + \frac{22776861894943559}{75442752000} x^{8} - \frac{3150858991179703399}{1961511552000} x^{7} + \frac{78286881149323241933}{11769069312000} x^{6} - \frac{305798235525966223} x^{5}{14529715200} + \frac{8089256632000159141}{163459296000} x^{4} - \frac{6399285030262770707}{77189112000} x^{3} + \frac{1097530961876365}{11875248} x^{2} - \frac{1761332979293291}{29099070} x + 17262026\end{equation}\)
\(x\in\mathbb{N}^+\)
不难验证：表格中全部数组均满足此代数式。
代码

1. import sympy as sp
2. x = sp.Symbol("x") # 创建一个未知数 "x"
3. y = [0,1,1] #所需要的 y 的列表，因为此题 x 为 1-20 所以懒得列了。
4. """
5. y = [0,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22]
6. y = [0,4,3,12,8,24,15,12,24,60,35,84,48,112,63,144,80,180,21,28,120]
7. y = [0,5,5,13,10,25,17,15,26,61,37,85,50,113,65,145,82,181,29,35,122]
8. """
9. n = len( y )
10. L = 0
11. for i in range(1 , n) :
12.     L_i = 1
13.     for j in range(1 , n) :
14.         if i != j :
15.             L_i *= ( x - j ) / ( i - j )
16.     L += L_i * y[i]
17. L = sp.simplify(L) # 化简，可以尝试删掉此行，看看你的控制带能输出得完不。
18. L = sp.expand(L) # 展开，即去因式分解
19. ans = sp.latex(L) # 转化为 Latex ，以此法转化出来的代数式未知数在分母上，如想要达成本文的效果请手动调整或者采用别的方法。
20. print(ans)

复制代码

参考答案

(按个人可信度排序)

• \(a=k\left(m^2-n^2\right),b=2kmn,c=k\left(m^2+n^2\right)\)
  
• \(a=x,b=y,c=\sqrt{x^2+y^2}\)
  
• \(a=x,b=y,c=z\) 此答案仅供整活(由于与1.一样均有3个未知数)
  

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