在《机器学习数学基础》中，有专门讲解贝叶斯定理的章节，在此就不对此定理的具体内容进行论述，下面仅列出定理的表达式：
贝叶斯定理
定理： 假如变乱 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1,A2,⋯,An 互不相容， B ⊂ ∪ j = 1 n A j B\subset\cup_{j=1}^nA_j B⊂∪j=1nAj ，则 P ( B ) > 0 P(B)\gt0 P(B)>0 时，有：
P ( A j ∣ B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) (1) \displaystyle{P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}}\tag{1} P(Aj∣B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj)(1)
其中 1 ≤ j ≤ n 1\le j\le n 1≤j≤n 。
对于分类问题，假设有 K K K 种类别标签，即 Y = { c 1 , c 2 , ⋯ , c K } {\cal{Y}}=\{c_1,c_2,\cdots,c_K\} Y={c1,c2,⋯,cK} （对应于（1）式中的互不相容的变乱 A j A_j Aj ）。对于样本 x \pmb{x} x ，要计算 P ( c j ∣ x ) P(c_j|\pmb{x}) P(cj∣x) ，根据（1）式，有：
P ( c j ∣ x ) = P ( c j ) P ( x ∣ c j ) P ( x ) (2) P(c_j|\pmb{x})=\frac{P(c_j)P(\pmb{x}|c_j)}{P(\pmb{x})}\tag{2} P(cj∣x)=P(x)P(cj)P(x∣cj)(2)
其中：
- P ( c j ) P(c_j) P(cj) 是先验概率。当训练集中包含充足的独立同分布样本时，可以用各类样本出现的频率估计此概率。
- P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) 是样本 x \pmb{x} x 相对类别 c j c_j cj 的条件概率，称为“似然”。
注意： 有的资料中以为 P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) 可以用频率来估计 [ 2 ] ^{[2]} [2] ，实则不然，参考资料 [3] 中对这个问题的完整分析。假设样本有 d d d 个特性，并且都是二值类型的数据，那么样本空间所有大概取值为 2 d 2^d 2d 个。在现实应用中，这个值每每远大于训练集的样本数。也就是，很多样本取值在训练集中根本没有出现。“未被观测到”与“出现概率为零”通常是差别的，以是，不能用频率来估计概率 P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) 。
假如从概率的角度来看，得到的训练集样本都具有随机性，假如要可以或许用频率估计概率，必须满足样本与总体是同分布的。但是，在样本数不是很充足的时候，就不能满足。以是，对于似然，不能用频率来估计。
- P ( x ) P(\pmb{x}) P(x) 与类别无关，对于一个训练集而言，它是一个常量。从（1）式中，分母对一个试验而言，是一个常量。以是，（2）式可以转化为：
P ( c j ∣ x ) ∝ P ( c j ) P ( x ∣ c j ) (3) P(c_j|\pmb{x})\propto\!P(c_j)P(\pmb{x}|c_j)\tag{3} P(cj∣x)∝P(cj)P(x∣cj)(3)
由此可以，假如可以或许得到似然 P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) 的值，就可以根据（3）式得到后验概率 P ( c j ∣ x ) P(c_j|\pmb{x}) P(cj∣x) 的值，从而可以或许判断出样本所属的类别。
怎样计算（3）式中的似然 P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) ，一种常用方法就是最大似然估计。
最大似然估计
在《机器学习数学基础》第6.2.1节，专门讲解了最大似然估计，这里使用其中的结论。
按照如下步骤计算 P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) ：
- 假设样本数据独立同分布，且为某种概率分布，但是不知道此概率分布的参数。
- 根据训练集样本数据，对概率分布的参数进行估计。假设 P ( x ∣ c j ) P(\pmb{x}|c_j) P(x∣cj) 的概率分布的参数向量是 θ \pmb{\theta} θ
根据参考资料 [1] 中的结论，可以得到如下似然：
L ( X c j ∣ θ ) = ∏ x ∈ X c j P ( x ∣ θ ) (4) L(\pmb{X}_{c_j}|\pmb{\theta})=\prod_{\pmb{x}\in\pmb{X}_{c_j}}P(\pmb{x}|\pmb{\theta})\tag{4} L(Xcj∣θ)=x∈Xcj∏P(x∣θ)(4)
其中： X c j \pmb{X}_{c_j} Xcj 是数据集中类别为 c j c_j cj 的样本集合。
在具体计算的时候，可以对（4）式取对数。例如参考资料 [1] 的358页中给出了对于数据符合正态分布的参数 μ \mu μ 和 σ 2 \sigma^2 σ2 （总体均值和方差）的估计。
设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) （正态分布）， μ 、 σ 2 \mu、\sigma^2 μ、σ2 是未知参数， x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn 是来自 X X X 的样本值，求 μ 、 σ 2 \mu、\sigma^2 μ、σ2 的最大似然估计值。
- 写出 X X X 的概率密度函数： f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 σ 2 π exp ( − 1 2 σ 2 ( x − μ ) 2 ) f(x;\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right) f(x;μ,σ2)=σ2π 1exp(−2σ21(x−μ)2)
- 写出似然函数（4）式：
L = ∏ i = 1 n 1 σ 2 π exp ( − 1 2 σ 2 ( x i − μ ) 2 ) = ( 2 π ) − n 2 ( σ 2 ) − n 2 exp ( − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 ) L = \prod_{i=1}^n\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x_i-\mu)^2\right)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}(\sigma^2)^{-\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right) L=i=1∏nσ2π 1exp(−2σ21(xi−μ)2)=(2π)−2n(σ2)−2nexp(−2σ21i=1∑n(xi−μ)2)
- 对上式取对数
log L = − n 2 log ( 2 π ) − n 2 log σ 2 − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \log L = -\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{n}{2}\log\sigma^2-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 logL=−2nlog(2π)−2nlogσ2−2σ21i=1∑n(xi−μ)2
- 将 log L \log L logL 分别对 μ \mu μ 和 σ 2 \sigma^2 σ2 求偏导数，并令其为 0 0 0 （注意， σ 2 \sigma^2 σ2 视作一个团体）
{ ∂ ∂ μ log L = 1 σ 2 ( ∑ i = 1 n x i − n μ ) = 0 ∂ ∂ σ 2 log L = − n 2 σ 2 + 1 2 ( σ 2 ) 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 = 0 \begin{cases}\frac{\partial}{\partial \mu}\log L &= \frac{1}{\sigma^2}(\sum_{i=1}^nx_i - n\mu)=0 \\ \frac{\partial}{\partial\sigma^2}\log L &= -\frac{n}{2\sigma^2}+ \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0 \end{cases} {∂μ∂logL∂σ2∂logL=σ21(∑i=1nxi−nμ)=0=−2σ2n+2(σ2)21∑i=1n(xi−μ)2=0
- 解方程组，分别得到 μ \mu μ 和 σ 2 \sigma^2 σ2 的极大似然估计
μ ^ = 1 n ∑ i = 1 n x i = x ‾ σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 ( 5 ) \begin{split}\hat\mu &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i=\overline x \\ \hat\sigma^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2\end{split}\quad(5) μ^σ^2=n1i=1∑nxi=x=n1i=1∑n(xi−x)2(5)
在《机器学习数学基础》中还以预测足球队比赛胜败概率为例，详细先容了最大似然估计的应用。请参阅。
朴素贝叶斯分类器
假如进一步假设“特性相互独立”，即每个特性独立地对分类结果产生影响。
假设一个样本 x \pmb{x} x 有 d d d 个特性，即： x = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x d ] \pmb{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_d] x=[x1,x2,⋯,xd] ，则条件概率为：
P ( x ∣ c j ) = P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x d ∣ c j ) = ∏ i = 1 d P ( x i ∣ c j ) , ( j = 1 , ⋯ , n ) ( 6 ) \begin{split} P(\pmb{x}|c_j)&=P(x_1,x_2,\cdots,x_d|c_j) \\&=\prod_{i=1}^dP(x_i|c_j),~(j=1,\cdots,n) \end{split}\quad(6) P(x∣cj)=P(x1,x2,⋯,xd∣cj)=i=1∏dP(xi∣cj), (j=1,⋯,n)(6)
将（6）式代入到（2）式，则：
P ( c j ∣ x ) = P ( c j ) P ( x ∣ c j ) P ( x ) = P ( c j ) P ( x ) ∏ i = 1 d P ( x i ∣ c j ) (7) P(c_j|\pmb{x})=\frac{P(c_j)P(\pmb{x}|c_j)}{P(\pmb{x})}=\frac{P(c_j)}{P(\pmb{x})}\prod_{i=1}^dP(x_i|c_j)\tag{7} P(cj∣x)=P(x)P(cj)P(x∣cj)=P(x)P(cj)i=1∏dP(xi∣cj)(7)
- 对于（7）式中的先验概率 P ( c j ) P(c_j) P(cj) ，按照之前所讲，可以用该类别样本数量占全体数据集样本数量标比例来估计，即用频率估计概率，用下面的方式表示：
- P ( c j ) = 1 K ∑ i = 1 K I ( y i = c j ) , ( j = 1 , 2 ⋯ , n ) (8) P(c_j)=\frac{1}{K}\sum_{i=1}^KI(y_i=c_j),~(j=1,2\cdots,n)\tag{8} P(cj)=K1i=1∑KI(yi=cj), (j=1,2⋯,n)(8)
其中 I ( ⋅ ) I(\cdot) I(⋅) 表示函数： I = { 1 , ( y = c ) 0 , ( o t h e r s ) \displaystyle{I=\begin{cases}&1,(y=c)\\&0,(others)\end{cases}} I={1,(y=c)0,(others) 。
- 对于 ∏ i = 1 d P ( x i ∣ c j ) \prod_{i=1}^dP(x_i|c_j) ∏i=1dP(xi∣cj) ，则是利用（4）式的最大似然估计计算。针对差别的概率分布，分别有差别的计算结果。
高斯朴素贝叶斯分类器
即特性的条件概率分布满足高斯分布：
p ( x i ∣ c j ) = 1 2 π σ j 2 exp ( − ( x i − μ j ) 2 2 σ j 2 ) (9) p(x_i|c_j)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_j}}\text{exp}\left(-\frac{(x_i-\mu_j)^2}{2\sigma^2_j}\right)\tag{9} p(xi∣cj)=2πσj2 1exp(−2σj2(xi−μj)2)(9)
伯努利朴素贝叶斯分类器
即特性的条件概率分布满足伯努利分布：
P ( x i ∣ c j ) = p x i + ( 1 − p ) ( 1 − x i ) , ( 其中 : p = P ( x i = 1 ∣ c j ) , x i ∈ { 0 , 1 } ) (10) P(x_i|c_j)=px_i+(1-p)(1-x_i),~(其中:p=P(x_i=1|c_j),x_i\in\{0,1\})\tag{10} P(xi∣cj)=pxi+(1−p)(1−xi), (其中:p=P(xi=1∣cj),xi∈{0,1})(10)
对（8）式和（9）式，利用最大似然估计，均可以估计到其中的参数，从而得到条件概率 P ( x i ∣ c j ) P(x_i|c_j) P(xi∣cj) ，最大似然估计的方法见参考资料 [1] 。
最大后验估计 [ 1 ] ^{[1]} [1]
前面用最大似然估计，可以或许计算出条件概率，在利用（2）式，得到后验概率。这种方法，背后隐蔽着一个根本观点，即以为分布的总体参数固然未知，但是它是客观存在的一个固定值，因此可以通过优化似然函数得到。这就是所谓的频率主义学派的观点。
别的，还有别的一种观点，把参数也看成随机变量，它们也有肯定的分布。于是就可以假定参数服从某种分布，即所谓先验分布。然后基于观测到的数据，计算参数的后验分布。并且得到的数据越多，后验分布可以得到不停的修正。持这种观点的人，也形成了一个学派，就是贝叶斯统计学。
贝叶斯学派强调“观察者”所把握的知识（即对被观察对象的熟悉）。假如“观察者”知识完备，则能准确而唯一的判断变乱的结果，不须要概率。
对于先验分布，假设为参数 θ 1 , ⋯ , θ k \theta_1,\cdots,\theta_k θ1,⋯,θk ，在已有的熟悉中，这些参数具有某种规律，设概率密度函数为 g ( θ 1 , ⋯ , θ k ) g(\theta_1,\cdots,\theta_k) g(θ1,⋯,θk) （简写为 g ( θ ) g(\pmb{\theta}) g(θ) 。此处以连续型分布为例，假如是离散型，可记作 p ( θ 1 , ⋯ , θ k ) p(\theta_1, \cdots, \theta_k) p(θ1,⋯,θk) ）。
先验分布 g ( θ 1 , ⋯ , θ k ) g(\theta_1,\cdots,\theta_k) g(θ1,⋯,θk) 中的参数也是未知的（或部分未知）——这就是知识不完备。为了能准确判断，还须要联合观测数据得到的知识，也就是似然函数 f ( x 1 , ⋯ , x n ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ) f(x_1,\cdots,x_n|\theta_1,\cdots,\theta_k) f(x1,⋯,xn∣θ1,⋯,θk) ，简写作 f ( x ∣ θ ) f(\pmb{x}|\pmb{\theta}) f(x∣θ)（假如是离散型，则可写作 p ( x 1 , ⋯ , x n ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ) p(x_1,\cdots,x_n | \theta_1,\cdots,\theta_k) p(x1,⋯,xn∣θ1,⋯,θk) ）。
然后将先验分布和似然函数，根据（1）式的贝叶斯定理，可得：
f ( θ ∣ x ) = f ( x ∣ θ ) g ( θ ) ∫ Θ f ( x ∣ θ ) g ( θ ) d θ (11) \displaystyle\!f(\pmb{\theta}|\pmb{x}) = \frac{f(\pmb{x}|\pmb{\theta})g(\pmb{\theta})}{\int_{\pmb{\Theta}}f(\pmb{x}|\boldsymbol{\theta})g(\pmb{\theta})d\pmb{\theta}} \tag{11} f(θ∣x)=∫Θf(x∣θ)g(θ)dθf(x∣θ)g(θ)(11)
- f ( θ ∣ x ) f(\pmb{\theta}|\pmb{x}) f(θ∣x) 就是后验概率或后验分布——“试验之后”。
- Θ \pmb{\Theta} Θ 是 g ( θ ) g(\pmb{\theta}) g(θ) 的值域，且 θ ∈ Θ \pmb\theta \in \pmb\Theta θ∈Θ 。分母 ∫ Θ f ( x ∣ θ ) g ( θ ) d θ = p ( x ) \int_{\pmb\Theta}f(\pmb{x}|\pmb\theta)g(\pmb\theta)d\pmb\theta = p(\pmb{x}) ∫Θf(x∣θ)g(θ)dθ=p(x) ，是观测到的数据的边缘分布，与 θ \pmb\theta θ 无关，在此相称于一个常数，故：
f ( θ ∣ x ) ∝ f ( x ∣ θ ) g ( θ ) (12) f(\pmb\theta|\pmb{x}) \propto f(\pmb{x}|\pmb\theta)g(\pmb\theta)\tag{12} f(θ∣x)∝f(x∣θ)g(θ)(12)
在（10）式中，似然函数 f ( x ∣ θ ) f(\pmb{x}|\pmb\theta) f(x∣θ) 的函数形式可以根据观测数据确定（注意，参数 θ \pmb\theta θ 未知），
那么先验分布 g ( θ ) g(\pmb\theta) g(θ) 的形式应该怎样确定？
在贝叶斯统计学中，假如先验分布 g ( θ ) g(\pmb\theta) g(θ) 和后验分布 f ( θ ∣ x ) f(\pmb\theta|\pmb{x}) f(θ∣x) 为同种类型的分布，称它们为共轭分布（conjugate distributions），此时的先验分布称为似然函数 f ( x ∣ θ ) f(\pmb{x}|\pmb\theta) f(x∣θ) 的共轭先验（conjugate prior）。
显然，要对后验分布 f ( θ ∣ x ) f(\pmb\theta|\pmb{x}) f(θ∣x) 求最大值。依据（12）式，进而计算 f ( x ∣ θ ) g ( θ ) f(\pmb{x}|\pmb\theta)g(\pmb\theta) f(x∣θ)g(θ) 的最大值，终极得到估计量 θ ^ \hat{\pmb\theta} θ^ 。
a r g max θ 1 , ⋯ , θ k f ( θ 1 , ⋯ , θ k ∣ x 1 , ⋯ , x n ) ∝ a r g max θ 1 , ⋯ , θ k f ( x 1 , ⋯ , x n ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ) g ( θ 1 , ⋯ , θ k ) (13) arg\max_{\theta_1,\cdots, \theta_k} f(\theta_1,\cdots,\theta_k|x_1,\cdots,x_n) \propto arg\max_{\theta_1,\cdots,\theta_k} f(x_1,\cdots,x_n|\theta_1,\cdots,\theta_k)g(\theta_1,\cdots,\theta_k)\tag{13} argθ1,⋯,θkmaxf(θ1,⋯,θk∣x1,⋯,xn)∝argθ1,⋯,θkmaxf(x1,⋯,xn∣θ1,⋯,θk)g(θ1,⋯,θk)(13)
对上式右侧取对数：
a r g max θ 1 , ⋯ , θ k log ∏ i = 1 n f ( x i ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ) + log ( g ( θ 1 , ⋯ , θ k ) ) = a r g max θ 1 , ⋯ , θ k ∑ i = 1 n ( log f ( x i ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ) ) + log ( g ( θ 1 , ⋯ , θ k ) ) \begin{split}& arg\max_{\theta_1,\cdots,\theta_k} \log\prod_{i=1}^nf(x_i|\theta_1,\cdots,\theta_k)+\log(g(\theta_1,\cdots,\theta_k))\\ = & arg \max_{\theta_1,\cdots,\theta_k}\sum_{i=1}^n(\log f(x_i|\theta_1,\cdots,\theta_k)) + \log(g(\theta_1,\cdots,\theta_k))\end{split} =argθ1,⋯,θkmaxlogi=1∏nf(xi∣θ1,⋯,θk)+log(g(θ1,⋯,θk))argθ1,⋯,θkmaxi=1∑n(logf(xi∣θ1,⋯,θk))+log(g(θ1,⋯,θk))
这样，通过计算上式的最大值，就得到了参数的估计量 θ ^ M A P \hat{\pmb\theta}_{MAP} θ^MAP ，这个估计方法称为最大后验估计（maximum a posteriori estimation，MAP）。
不丢脸出， a r g max θ 1 , ⋯ , θ k ∑ i = 1 n ( log f ( x i ∣ θ 1 , ⋯ , θ k ) ) \displaystyle{arg\max_{\theta_1,\cdots,\theta_k}\sum_{i=1}^n(\log f(x_i|\theta_1,\cdots,\theta_k))} argθ1,⋯,θkmaxi=1∑n(logf(xi∣θ1,⋯,θk)) 就是最大似然的估计量 θ ^ M L E \hat{\pmb\theta}_{MLE} θ^MLE 。以是，我们可以说， log g ( θ ) \log g(\pmb\theta) logg(θ) 就是对 θ ^ M L E \hat{\pmb\theta}_{MLE} θ^MLE 增长的正则项，此修正来自于我们的主观熟悉。注意一种特别环境，假如先验分布式均匀分布，例如 g ( θ ) = 0.8 g(\theta) = 0.8 g(θ)=0.8 ，那么最大后验估计就退化为最大似然估计了。
下面使用参考资料 [1] 中已经证明的一个结论：
二项分布 p ( x ∣ θ ) = ( n x ) θ x ( 1 − θ ) n − x p(x|\theta)=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}\theta^x(1-\theta)^{n-x} p(x∣θ)=(nx)θx(1−θ)n−x 的共轭服从 B \text{B} B 分布（Beta 分布），即：
g ( θ ) = p ( θ ) = B ( α , β ) = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) θ α − 1 ( 1 − θ ) β − 1 (14) g(\theta)=p(\theta) = \text{B}(\alpha, \beta)= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\tag{14} g(θ)=p(θ)=B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)θα−1(1−θ)β−1(14)
其中 Γ ( ⋅ ) \Gamma(\cdot) Γ(⋅) 是 Gamma 函数（ Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n) = (n-1)! Γ(n)=(n−1)! ）， α \alpha α 和 β \beta β 是与样本无关的超参数。
并得到：
p ( θ ∣ x ) ∝ B ( x + α , n − x + β ) (15) p(\theta|x) \propto \text{B}(x+\alpha, n-x+\beta)\tag{15} p(θ∣x)∝B(x+α,n−x+β)(15)
即后验分布也是 B \text{B} B 分布，与先验分布构成了共轭分布。
并且可以求得：
θ ^ = x + α − 1 n + α + β − 2 (16) \hat{\theta} = \frac{x+\alpha-1}{n+\alpha+\beta-2}\tag{16} θ^=n+α+β−2x+α−1(16)
以上结论见参考资料 [1] 的6.2.3节。
假如，对于 θ \theta θ 的先验估计是 θ 0 \theta_0 θ0 ，可以令：
α = λ θ 0 + 1 β = λ ( 1 − θ 0 ) + 1 ( 17 ) \begin{split} \alpha&=\lambda\theta_0+1 \\\beta&=\lambda(1-\theta_0)+1 \end{split}\quad(17) αβ=λθ0+1=λ(1−θ0)+1(17)
注意：（17）式是为了后面的目标而凑出来的一种假设，并引入了变量 λ \lambda λ 。
将（17）式代入（16）式，得到：
θ ^ = x + λ θ 0 n + λ (18) \hat{\theta}=\frac{x+\lambda\theta_0}{n+\lambda}\tag{18} θ^=n+λx+λθ0(18)
这就是所谓的拉普拉斯平滑，或曰拉普拉斯修正 。
多项朴素贝叶斯分类器
即特性的条件概率分布满足多项分布，其参数 θ \theta θ 的估计值就是经过拉普拉斯修正之后的值 [ 4 ] ^{[4]} [4]：
θ ^ y i = N y i + α N y + α n (19) \hat{\theta}_{y_i}=\frac{N_{y_i}+\alpha}{N_y+\alpha\!n}\tag{19} θ^yi=Ny+αnNyi+α(19)
其中 N y i = Σ x ∈ T x i \displaystyle{N_{y_i}=\Sigma_{x\in~\!T}}x_i Nyi=Σx∈ Txi 是测试集类别标签为 y y y 的样本中，特性 i i i 出现的次数。 N y = Σ i = 1 n N y i N_y=\Sigma_{i=1}^nN_{y_i} Ny=Σi=1nNyi 是所有类别标签是 y y y 的特性数量。
（21）式中的 α \alpha α ，称为平滑先验：
- 若 α ≥ 0 \alpha\ge0 α≥0 ，思量了学习样本中不存在的特性，并防止在进一步计算中出现零概率。
- 若 α = 1 \alpha=1 α=1 ，称为拉普拉斯平滑。
- 若 α < 0 \alpha\lt0 α<0 ，称为 Lidstone 平滑。
朴素贝叶斯实现
使用 scikit-learn 提供的模块实现朴素贝叶斯分类器，网址见参考资料 [4] 。
常见的三种：高斯朴素贝叶斯，伯努利朴素贝叶斯和多项朴素贝叶斯。
高斯朴素贝叶斯
- 加载数据
- # 加载数据
- from sklearn import datasets
- wine = datasets.load_wine()
- 了解数据
- # 数据集特征（13个）
- wine.feature_names
- # 样本的类别标签（3个）
- wine.target_names
- # 数据集（特征）形状
- wine.data.shape
- 划分数据集
- from sklearn.model_selection import train_test_split
- X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(wine.data, wine.target,
- test_size=0.3,
- random_state=20
- )
- 训练模型
- # 训练模型
- from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
- gnb = GaussianNB()
- gnb.fit(X_train, y_train)
- 简朴评估
- from sklearn import metrics
- # 预测
- y_pred = gnb.predict(X_test)
- metrics.accuracy_score(y_test, y_pred)
多项朴素贝叶斯
适合于离散特性，特别是文本分类。通常，要求特性下的数值是整数，但实际上，小数亦可以，例如 tf-idf 的数值。
案例：对消息数据进行分类
- 引入模块并加载数据、划分数据集
- from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
- from sklearn.datasets import fetch_20newsgroups
- from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer
- from sklearn.model_selection import train_test_split
- # 获取数据
- news = fetch_20newsgroups(subset="all")
- # 划分数据集
- X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(news.data, news.target, test_size=0.2, random_state=20)
- 特性工程：从文本中计算 tf-idf
- transfer = TfidfVectorizer()
- X_train = transfer.fit_transform(X_train)
- X_test = transfer.transform(X_test)
- 训练模型
- mnb = MultinomialNB() # 默认 alpha=1.0
- mnb.fit(X_train, y_train)
- 评估模型:拟合优度
- mnb.score(X_test, y_test)
- 观察 α \alpha α 对预测结果的影响
- # alpha的值对模型的影响import numpy as npalphas = np.logspace(-2, 5, num=200) # 10^-2 到 10^5scores = []for alpha in alphas: mnb = MultinomialNB(alpha=alpha) mnb.fit(X_train, y_train) scores.append(mnb.score(X_test, y_test)
- )
- # 绘图
- import matplotlib.pyplot as plt
- fig = plt.figure()
- ax = fig.add_subplot(1,1,1)
- ax.plot(alphas, scores)
- ax.set_xlabel(r"$\alpha$")
- ax.set_ylabel(r"score")
- ax.set_ylim(0, 1.0)
- ax.set_xscale('log')
伯努利朴素贝叶斯
适用于二分类问题。
案例：鉴别垃圾邮件
- 引入模块，加载数据
- import pandas as pd
- import numpy as np
- from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
- from sklearn.model_selection import train_test_split
- from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB
- data = pd.read_csv("./data/spam.csv", encoding='latin-1')
- data = data[['class', 'message']]
- 训练模型并评估
- # 特征 X，标签 y
- X = np.array(data["message"])
- y = np.array(data["class"])
- # 邮件内容向量化
- cv = CountVectorizer()
- X = cv.fit_transform(X)
- # 划分数据集
- X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.33, random_state=42)
- # 训练模型
- bnb = BernoulliNB(binarize=0.0) # 参数说明 1
- bnb.fit(X_train, y_train)
- # 模型评估
- print(bnb.score(X_test, y_test))
- binarize ：
- 假如为 None ，则假定原始数据已经二值化。
- 假如是浮点数，则以该数值为临界，特性取值大于此浮点数的作为 1，小于的作为 0 。用这种方式将特性数据二值化。
参考资料
[1]. 齐伟. 机器学习数学基础[M]. 北京：电子工业出书社
[2]. 谈继勇. 深度学习500问[M]. 北京:电子工业出书社, 2021:73.
[3]. 周志华. 机器学习[M]. 北京:清华大学出书社, 2016:148-149
[4]. Naive Bayes[EB/OL]. https://scikit-learn.org/stable/modules/naive_bayes.html#multinomial-naive-bayes . 2022.09.20
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